1、关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 2022 届高三年级第二次月考 理 科 数 学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1集合2 , 1P的真子集的个数是 A7B3C4D8 2已知i为虚数单位，复数 2i1 i1 z ，则z的虚部为 A 3 i 2 B 3 2 C 3 2 D 3 i 2 3已知命题 :,sin1pxx
2、 R 命题 :qx R | | e1 x ，则下列命题中为真命题的是 A pq B pq Cp q D pq 4若 fx是R上周期为 3 的偶函数，且当 3 0 2 x时， 4 logf xx ，则 13 2 f A2B2C 1 2 D 1 2 5数学猜想是推动数学理论发展的强大动力，是 数学发展中最活跃最主动最积极的因素之一， 是人类理性中最富有创造性的部分.1927 年德 国的一个大学生考拉兹提出一个猜想：对于每 一个正整数，如果它是奇数，对它乘 3 再加 1， 如果它是偶数，对它除以 2，这样循环，最终 结果都能得到 1.如图是根据这个猜想设计的程 序框图，则输出的 i 为 A4B5C6
3、D7 6 8 3 1 x x 的展开式中的常数项为 A8B28C56D70 7有 12 名同学合影，站成了前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排， 若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 A168B260C840D560 8 袋子中有四个小球， 分别写有“和、 平、 世、 界”四个字， 有放回地从中任取一个小球， 直到“和”“平” 两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数值的随机数，分别用 0，1，2，3 代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个 随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟
4、产生了以下 24 个随机数组： 232321230023123021132220011203331100 231130133231031320122103233221020132 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为 A 8 1 B 6 1 C 4 1 D 3 1 9 1 2 0 (1) x exdx A 4 e B1 4 e C1 2 e D 2 e 10把不超过实数 x 的最大整数记为x，则函数 f(x)=x称作取整函数，又叫高斯函数，在2,5上 任取 x，则x=x2的概率为 A 4 1 B 3 1 C 2 1 D 3 2 11已知定义域为R的函数 fx满足 0fxf x ，且 11fx
5、fx ，则下列结论一定 正确的是（） A 2f xf x B函数 yf x的图象关于点2,0对称 C函数1yf x是奇函数D21fxf x 12已知定义在 1 ,e e 上的函数 fx满足 1 fxf x ，且当 1 ,1x e 时， ln1f xxx，若 方程 1 0 2 f xxa有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是 A 11 ,1 3ee B 13 ,1 32ee C 1 2 1 1,1e e D 1 2 3 11 2 ,e e 二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知函数 2 4 f xx x ，则)(xf在2x处的切线方程是_ 14在一个不透明
6、的袋中装有 5 个白球，3 个红球（除颜色外其他均相同） ，从中任意取出 2 个小 球，记事件A为“取出的球中有红色小球”，事件B为“取出的 2 个小球均是红球”，则 P B A _ 15一道四个选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同 赵说：“我选的是 A” 钱说：“我选的是 B，C，D 之一” 孙说：“我选的是 C” 李说：“我选的是 D” 已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是_. 16已知函数( )| xx f xeex 下面四个结论 ( )f x是奇函数 ( )f x在0,) 上为增函数 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 若0
7、x ，则 2 1 2fxe x (3 )( )fxff x 对任意实数 x 恒成立 其中正确的是_. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每 个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一一)必考题：共必考题：共 60 分分 17. (12 分) 设( )lg(2)f xax，其中a为实数 （1）设集合( )Ax yf x，集合 2 ,0 x By yx ，若BA，求实数a的取值范围； （2）若集合 lg(1)lg(3)( )Cxxxf x中的元素有且仅有 2 个，求实数a的取值范围 18(12 分) 设函数 1
8、 x f xkxe （1）当2k 时，求曲线 yf x 的极值； （2）若函数 fx在区间2,2 内单调递减，求k的取值范围 19(12 分) 核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽 拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性某检测点根据统计发 现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 1 4 现有 4 例疑似病例，分别对其取样检测，多个样 本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验混合样本中只要有病毒，则 混合样本化验结果就会呈阳性若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化 验；若混合样本呈阴性，则判
9、定该组各个样本均为阴性，无需再检验现有以下三种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：四个样本混合在一起化验； 方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验 在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优” （1）求 4 个疑似病例中至少有 1 例呈阳性的概率； （2）现将该 4 例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？做出判断并 说明理由 20. (12 分) 2021 年 3 月 1 日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部长肖亚庆先生提出了 芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度中华技术有限公司
10、拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升 级直接纯收益y（亿元）的数据统计如下： 序号123456789101112 x2346810132122232425 y 1322314250565868.56867.56666 当017x时，建立了y与x的两个回归模型：模型： 4.111.8yx ；模型： 21.314.4yx；当17x 时，确定y与x满足的线性回归方程为 0.7yxa （1）根据下列表格中的数据，比较当017x时模型、的相关指数 2 R的大小，并选择拟 合精度更高、更可靠的模型 回归模型模型模型 回归方程 4.111.8yx 21.3
11、14.4yx 7 2 1 ii i yy 182.479.2 （附：刻画回归效果的相关指数 2 2 1 2 1 1 n ii i n i i yy R yy ，174.1） （2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于 20 亿元时，国家给予公司补贴 5 亿元，以 回归方程为预测依据，应用（1）的结论，比较科技升级投入 17 亿元与 20 亿元时公司实际收益的 大小 （附：线性回归方程 ybxa的系数关系：xb y a ） （3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布 2 0.52,0.01N公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励
12、：若 芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励 2 元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖 励 4 元记Y为每部芯片获得的奖励，求 E Y（精确到 0.01） （附：若随机变量 2 ,0XN ，则 ()0.6827PX ， (22 )0.9545PX ） 21. (12 分) 已知函数 f(x)=ex-1，g(x)lnx1，其中 e 为自然对数的底数 （1）当 x0 时，求证：f(x)g(x)2； （2）是否存在直线与函数 yf(x)及 yg(x)的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？ 并给出证明若不存在，请说明理由 (二二)选考题选考题：共 10 分。请考生在第 22、23
13、两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题 记分。 22选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点、x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐 标方程为 2 sin4sin0，直线l过定点1,1P且与曲线C交于A，B两点. （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l的斜率为 2，求 11 PAPB 的值. 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 23选修 45：不等式选讲 已知函数 3fxxxm （1）若1m ，求不等式 6f x 的解集； （2）若x R，使得 2fxm ，求m的取值范围. 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（73492
14、4357） 2022 届高三第二次月考数学届高三第二次月考数学(理科理科)（参考答案）（参考答案） 题号123456789101112 答案BBACCBCABBBD 二、填空题二、填空题 13.14. 1 6 15 孙孙李李16 .2 3 4 三、解答题三、解答题 17解： （1）化简 ( )(,2 ),2 ,0 1,0) x Ax yf xaBy yx ， 又BA，所以2 0,0aa （2）由lg( 1)lg(3)( )lg(2)xxf xax ， 得 1 32 10 30 20 xxax x x ax 等价于 2 253axx ，且13x， 设 2 ( )53g xxx ，在 5 1, 2
15、 上严格增， 在 5 ,3 2 上严格减，g(1)=1,g(3)=3, g(x)在(0,3)内的图象如图所示. 由题意等价于直线 2ya 与函数 2 ( )53g xxx 在(1,3)上恰有两个交点， 此时 513313 32, 2428 afa . 18解： （1）2k ， 21 x f xxe， 01f ， 21 x fxxe ，所以函数在 x=-处取得极小值 （2） 1 x fxkxke 函数 fx在区间2,2 内单调递减， 0fx 在区间 2,2 上恒成立； 即10 x kxke， 0 x e 10kxk 即10kxk 在区间 2,2 上恒成立 210 210 kk kk ，解得 1
16、1 3 kk ， k的取值范围是 1 1 3 kk 19 【解】 （1）用表示 4 个疑似病例中化验呈阳性的人数，则 1 4, 4 B ， 由题意可知，4 个疑似病例中至少有 1 例呈阳性的概率为 4 1175 1011 4256 P ； （2）方案一：逐个检验，检验次数为 4 方案二：混合在一起检测，记检测次数为X，则随机变量X的可能取值为 1，5，所以 4 181 11 4256 P X ， 81175 51 256256 P X ， 所以随机变量X的分布列为： X15 P 81 256 175 256 所以方案二检测次数X的数学期望为 81175239 15 25625664 E X ；
17、 方案三：每组两个样本检测时，呈阴性的概率为 2 19 1 416 ， 设方案三的检测次数为随机变量Y，则Y的可能取值为 2，4，6，所以 2 981 2 16256 P Y ， 1 2 97126 4 1616256 P YC， 2 749 6 16256 P Y ， 所以随机变量Y的分布列为： Y246 P 81 256 126 256 49 256 所以方案三检测次数Y的期望为 811264996015 246 2562562562564 E Y ， 因为 4E XE Y ， 所以选择方案二最优 20 【解】 （1）由表格中的数据，182.479.2，所以 77 22 11 182.47
18、9.2 ii ii yyyy ， 所以 77 22 11 182.479.2 11 ii tt yyyy 可见模型的相关指数 2 1 R小于模型的相关指数 2 2 R 所以回归模型的拟合效果更好 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） （2）由（1）回归模型的拟合效果更好，其回归方程为21.314.4yx， 所以当17x 亿元时，科技升级直接收益的预测值为 21.31714.4y 21.3 4.1 14.472.93（亿元） 当17x 时，由已知可得 21 22232425 23 5 x 68.56867.56666 67.2 5 y 所以0.767.20.72383.3a
19、yx 所以当17x 时，y与x满足的线性回归方程为 0.783.3yx 当20 x=时，科技升级直接收益的预测值为 0.72083.369.3y 亿元 当20 x=亿元时，实际收益的预测值为69.3574.3亿元72.93亿元， 所以技术升级投入 20亿元时，公司的实际收益更大 （3）因为 20.50 ， 0.53 ， 所以0.500.532PXPX 2PXPX 0.95450.6827 0.68270.8186 2 ； 10.6827 0.53 2 P XP X 所以 10.6827 02 0.818642.27182.27 2 E Y （元） 21解（1）设 1 2ln1 x h xfxg
20、 xex ，0 x ， 1 1 x h xe x . 因为 yh x 在 0, 为增函数，且 1 0 h ， 所以 0,1x ， 0h x ， h x为减函数， 1,x， 0h x ， h x为增函数. 所以 0 min 1ln1 10h xhe ， 0h x ，即证 2f xg x . （2）设直线与 yf x切于 1 1 1, x A x e ，与 yg x 切于 22 ,ln1B xx ， 2 0 x . 1x fxe ， 1 gx x ， 1 1 1 x kfxe ， 所以切线为 11 11 1 xx yeexx . 因为 1 1 2 1 x e x ，即1 2 2 1 1lnlnxx
21、 x ，即 12 1 lnxx . 又因为 11 11 221 ln1 xx xeexx ， 将 1 1 2 1 x e x ， 12 1 lnxx 代入 11 11 221 ln1 xx xeexx ， 得： 222 22 11 ln11 lnxxx xx ，整理得 2 2 2 ln ln20 x x x . 设 ln ln2 x k xx x ， 22 11 ln1 lnxxx kx xxx ， 因为 1 lnyxx 在0,为增函数，且1x 时， 0y ， 所以 0,1x ， 0kx ， h x为减函数， 1,x， 0kx ， h x为增函数. min 120k xk ， 又因为 3 33
22、 33 ln3 ln210 e k ee ee ， 3 3 33 3 1 ln 11 ln230 1 e ke ee e ， 所以 ln ln2 x k xx x 在0,上有两个零点， 即方程 2 2 2 ln ln20 x x x 有两个根， 所以有两条直线与函数 yf x及 yg x 的图象均相切. 22 （1） 2 4xy； （2） 4 15 15 . 【详解】 （1）由 2 sin4sin0得 222 sin4 sin0. 于是 2 4 sin( cos )， 2 4xy， 所以曲线C的直角坐标方程为 2 4xy. （2）设直线l的倾斜角为，则tan2，于是 2 5 sin 5 ， 5
23、 cos 5 ， 所以直线l的参数方程为 5 1 5 2 5 1 5 xt yt （t为参数）. 将 5 1 5 2 5 1 5 xt yt ，代入 2 4xy得 2 6 5150tt， 所以 12 6 5tt， 1 2 15t t ， 所以 11PAPB PAPBPA PB 2 121 2 12 1 21 2 4 4 15 15 ttt ttt t tt t . 23 （1） | x4x 或2x； （2）答案见解析. 【详解】 解： （1）当1m 时， ( ) |3|1|f xxx 当1x 时， ( )312262f xxxxx ，所以2x； 当13x- 时， ( )3146f xxx ，不成立； 当3x 时， ( )312264f xxxxx ，所以4x ， 所以，综上可知，所求解集为 | x4x 或2x （2）要求xR ，使得 ( )2f xm 时，m的取值范围， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 可先求xR ，使得( )2f xm时，m的取值范围， xR ， ( ) |3| |3()|3|2f xxxmxxmmm ， 当0m时，| 3|2mm 恒成立； 当0m 时，3m， 综上，xR ，使得( )2f xm时，m的取值范围为( 3， ， 故x R，使得 ( )2f xm 时，m的取值范围为(3 ) ，
