1、1 2022 届浙江省届浙江省“山水联盟山水联盟”高三上学期数学开学联考试题高三上学期数学开学联考试题答案答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1-5：CBDCA6-10：ABBCD 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11. 16 29 12. 1，12a13. 2，553 214. 2， 6 6 15. 2， 2 9 16. 14 4 17. 5 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 解： （）
2、 2 31 ( )2sincoscoscos3sincos 22 f xxxxxxx 1 cos231 sin2sin 2 2262 x xx ， 函数( )f x的最小正周期T. 令222() 262 kxkkZ ，解得() 36 kxkkZ ， 递增区间为,() 36 kkkZ . （） 11 ()sin 2()sin 22 6262 f xxx . f x是偶函数，sin 21 6 ， 2 62 k ， 62 k ，kZ， 0， min 6 . 19. 解： （）ABBC， 1 ABBB且 1 BBBCB， AB 平面 11 BCC B， 2 1 ABBC， 又四边形 11 BCC B是
3、菱形， 11 BCBC， 1 ABBCB， 1 BC 平面 1 ABC， 1 BC 平面 1 ABC， 平面 1 ABC 平面 1 ABC. （）法一：由2BCAB可设1AB ，2BC ， 1 2BCBB， 1 60B BC， 1 BCB为正三角形， O为BC的中点， 1 BO 平面ABC， 过点B作BMAO，垂足为M，连接 1 B M， 1 BO 平面ABC， 1 BOBM， 1 AOBO， 3 BM 平面 1 ABO， 1 BBM就是直线 1 BB与平面 1 ABO所成的角. 在RtABO中求得 2 2 BM ， 1 1 2 2 2 sin 24 BM BBM BB ， 即直线 1 BB与
4、平面 1 ABO所成角的正弦值为 2 4 . 法二：以点B为坐标原点如图建立空间直角坐标系Bxyz， 则1,0,0O，0,1,0A， 同法 1 得 1 BO 平面ABC， 1 1,0, 3B， 1 1,0, 3BB ， 1 1, 1, 3AB ，1, 1,0AO ， 设平面 1 ABO的法向量为, ,nx y z ， 则 30 0 xyz xy ， 令1x 得1y ，0z ，即1,1,0n ， 1 12 sincos, 422 BB n . 即直线 1 BB与平面 1 ABO所成角的正弦值为 2 4 . 4 20. 解： （）当1n 时， 11 232aa， 1 2a ， 当2n时，由 2 2
5、 11 2(21)2 2(21)2(1) nn nn Snan Snan 得 22 1 2(21)(21)22(1) nnn ananann ，即 1 2 nn aa ， 数列 n a是公差为 2 的等差数列， 1 2a ，2 n an. 由条件得 1 2b ， 1 2 nn nbnb ， 1 2 nn bb ，即数列 n b是公比为 2 的等比数列， 2n n b . （） 1 2 22 n nn n ann b ，设数列 n n a b 的前n项和为 n T，则 231 234 1 2222 n n n T ， 231 11231 222222 n nn nn T ， 231 1 1 11
6、1112 2 12 1 22222222 1 2 n n nnnn nnn T ， 1 2 4 2 n n n T ， 由 1 n nn n a cc b 得 1 n nn n a cc b ，累加得 11nn ccT ， 5 即 2 1 44 2 n n n c ， 2 1 2 n n n c ， 2 1395 222 nnn nnn ， 令 5 ( ) 2n n f n ，则 11 456 (1)( ) 222 nnn nnn f nf n ， (1)(2)(6)(7)(8)fffff， max 1 ( )(6)(7) 64 f nff， 1 64 . 21. 解： （）由题意知抛物线的焦
7、点,0 2 p F ， 245 17 1717 p ，245p， 0p ， 1 2 p ， 抛物线C的方程为 2 yx，准线方程为 1 4 x . （）设 11 ,A x y， 22 ,B xy， 00 ,P xy，则切线PA的方程为 1 1 2 xx y y ， 同理切线PB的方程为 2 2 2 xx y y ， 分别代入点 00 ,P xy可得 10 10 20 20 2 2 xx y y xx y y ， 对比可知直线AB的方程为： 0 0 2 xx y y . 由 0 20 00 2 202 xx y x yy yx yx ，可知 120 120 2yyy y yx ， 2 22 12
8、12120000 4442yyyyy yyxyx， 点 00 ,P xy到直线 0 0 2 xx y y 的距离为 2 00 2 0 2 14 xy d y ， 12 2 11 1 2 PAB Syy d k ， 6 2 3 00 222 2 00000 2 0 2 1 1422 2 14 xy yyxyx y ， 而 2 22 0 0000 16363 1 486464 y yxyy ， 3 3 2 2 2 00 63189 7 22 64256 PAB Syx . 当且仅当 0 1 8 y ，即 31 1 , 32 8 P 时， PAB S的最小值为 189 7 256 . 22. 解：
9、（）( )( ) x g xfxea. 设切点 11 ,P x y，( ) x g xe，则 1 1 1 11 2 21 x x e yea yx ，得32ln2a . 不等式( )ln0g xx即，ln0 x eax，则ln x aex. 设函数( )ln x h xex， 1 ( ) x h xe x ， 1 20 2 he ， 110he 且( )h x在0,上是增函数， 存在唯一实数 0 1 ,1 2 x ，使得( )0h x ，即 0 0 1 x e x ， ( )h x在 0 0,x内单调递减，在 0, x 内单调递增， 0 min000 0 15 ( )ln2, 2 x h xh
10、 xexx x ， 整数a的最大值为 2. （）( )1 (1)ln(32)1 (1)ln2(1) xx F xeaxaxaxeaxax ， 则 1 ( )2(1) x a F xea x ， 由题意可知( )F x在0,内有两个变号零点， 7 由( )0Fx 得 1 (1)2 x ae x ， 1 2 x ，1 1 2 x xe a x ， 设( ) 1 2 x xe x x （0 x 且 1 2 x ） 22 (1 2 )( 2) (1)(21) ( ) (1 2 )(1 2 ) xxx x exexxe xxe x xx ， ( )x在 1 0, 2 内递增，在 1 ,1 2 内递增，在1,内递减. 1e ，1ae ，得1ae ， 即实数a的取值范围为, 1 e . 欢迎
