1、第一讲第一讲 数与式数与式 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简 称为数与式代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式它们具有实数的属性，可以进行运算在 多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多 项式的运算简便由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内 容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数 的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本 节中要补充基于同样的
2、原因，还要补充“繁分式”等有关内容 一、乘法公式一、乘法公式 【公式【公式 1 1】平方差公式： 22 ()()abab ab 【公式【公式 2 2】完全平方公式： 222 ()2abaabb 【公式【公式 3 3】完全立方公式： 33223 ()33abaa babb 【公式【公式 4 4】cabcabcbacba222)( 2222 （完全平方公式完全平方公式） 证明证明： 2222 )(2)()()(ccbabacbacba cabcabcbacbcacbaba222222 222222 . 等式成立 【例例 1 1】计算： 22 ) 3 1 2(xx 解解：原式= 22 3 1 )2(
3、xx 222222 432 111 ()(2 )( )2(2)22(2 ) 333 82 21 2 2. 339 xxxxxx xxxx 说明说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列 【公式【公式 5 5】 3322 )(babababa( (立方和公式立方和公式) ) 证明证明: : 3332222322 )(bababbaabbaabababa. . 【公式【公式 6 6】 3322 )(babababa( (立方差公式立方差公式) ) 证明证明： 22223333 ()()()()() ()ab aabbabaabbabab . . 【例例 2 2】计算： （1）)416)
4、(4( 2 mmm（2）) 4 1 10 1 25 1 )( 2 1 5 1 ( 22 nmnmnm （3）)164)(2)(2( 24 aaaa（4） 22222 )(2(yxyxyxyx 解解：（1）原式= 333 644mm. （2）原式= 3333 8 1 125 1 ) 2 1 () 5 1 (nmnm. （3）原式=644)()44)(4( 63322242 aaaaa. （4）原式= 2222222 )()()(yxyxyxyxyxyx 6336233 2)(yyxxyx. 说明说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构 【例例 3 3】已知
5、2 310 xx ，求 3 3 1 x x 的值 解解： 2 310 xx 0 x3 1 x x 原式=18)33(33) 1 )( 1 () 1 1)( 1 ( 22 2 2 x x x x x x x x 说明说明：本题若先从方程 2 310 xx 中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦本题则根据条件 式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算 引申引申：)(3 222333 cabcabcbacbaabccba 二、指数式二、指数式 当nN时， an n aaaa 个 . 当nQ时，零指数 0 1(0)aa，负指数 1 (0) n n aa a . 分数指数(0, n mn
6、 m aaam n为正整数). 幂运算法则：(1),(2)(),(3)() ( ,0,) mnm nmnmnnnn aaaaaaba ba bm nZ . 【例例 4 4】求下列各式的值： 3 2 8 ， 2 1 100 ， 4 3 ) 81 16 ( 解:422)2(8 2 3 3 3 2 3 2 3 2 ； 10 1 )10( 1 100 1 100 2 1 2 1 2 1 2 ； 8 27 2 3 3 2 ) 3 2 () 81 16 ( 3 3 3 3 4 4 4 3 4 3 【例例 5 5】计算下列各式 )3()6)(2( 6 5 6 1 3 1 2 1 2 1 3 2 bababa
7、 ； 8 )( 8 3 4 1 qp 解: aabbabababa444)3()6)(2( 0 6 5 3 1 2 1 6 1 2 1 3 2 6 5 6 1 3 1 2 1 2 1 3 2 ； 3 2 32888 )()()( 8 3 4 1 8 3 4 1 q p qpqpqp 三、根式三、根式 式子(0)a a 叫做二次根式，其性质如下： (1) 2 ()(0)aa a(2) 2 |aa (3)(0,0)abab ab(4)(0,0) bb ab a a 如果有 n xa，那么x叫做a的n次方根，其中n为大于1的整数 当当 n n 为奇数时，为奇数时， nn aa，当，当 n n 为偶数
8、时，为偶数时， ,0 | ,0 nna a aa a a . . 【例例 6 6】化简下列各式化简下列各式： (1) 22 ( 32)( 31)(2) 22 (1)(2) (1)xxx 解解：(1) 原式=|32|31| 2331 1 (2) 原式= (1)(2)23 (2) |1|2| (1)(2)1 (1x2) xxxx xx xx 说明说明：请注意性质 2 |aa的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论 【例例 7 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： (1) 3 23 (2) 11 ab (3) 3 28 2 x xx 解解：(1) 原式= 2
9、 3(23)3(23) 63 3 23(23)(23) (2) 原式= 22 aba bab abab (3) 原式= 22 2 22222 23 2 22 x x xxxx xxxx x . 说明说明：(1)二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数不含能 开得尽方的因数或因式 (2)二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或整式化简时，先将它分解因数或因 式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；分母中有根式(如 3 23 )或被开方数有分母(如 2 x )这时 可将其化为 a b 形式(如 2 x 可化为 2 x ) ，转化为 “分母中有根式”的情况化简时，
10、要把分母中的根 式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简(如 3 23 化为 3(23) (23)(23) ，其中23 与23叫做互为有理化因式) 四、分式四、分式 当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时， A B 就叫做繁分式繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法： (1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质 【例例 8 8】化简 1 1 x x x x x 解法一解法一：原式= 22 2 (1)1 1(1) 1(1)(1)1 1 x xxxxxx xxxx xxxxx xxx xxxx x x 解法二解法二：原式= 2 2 (1)1 (1)(1) 11 1 () x
11、 xxxxx xxxxx xxxx xxx xx xx x 说明说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式 的基本性质 AAm BBm 进行化简一般根据题目特点综合使用两种方法 【例例 9 9】化简 2 33 3961 62279 xxxx xxxx 解解：原式= 2 23 3961161 2(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9) xxxxx xxxxxxxxxx 2 2(3)12(1)(3)(3)3 2(3)(3)2(3)(3)2(3) xxxxx xxxxx . 说明说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简； (2) 分式的计算结果应是最简分式或整式
