1、1 教学基本信息 课题解决问题（归一问题） 是否属于地方课程或校本课程否 学科数学学段第一学段年级三 相关领域数与代数 教材 书名：义务教育课程标准实验教科书数学出版社：人民教育出版社 出版日期：2014 年 3 月第 1 版 教学设计参与人员 姓名单位联系方式 设计者 实施者 指导者 课件制作者 指导思想与理论依据 史宁中教授在谈数学核心素养与小学数学教学时提出，在义务教育阶段数学核心素 养就表现在会用数学的眼光观察现实世界、 会用数学的思维思考现实世界、 会用数学的语言 表达现实世界。这三方面分别对应着数学抽象、逻辑推理和数学模型，也分别体现了数学的 一般性、严谨性和广泛应用性的特征。目前
2、，数学教育者普遍认为抽象能力、推理能力和应 用能力是数学核心素养的主要内容。 “解决问题”的内容本身就带有鲜明的“应用性”特点， 因此这部分内容的教学一定离不开数学模型的建立与应用。 而学生要掌握解决问题的方法和 策略，必然离不开抽象和推理。 关于解决问题的目标要求，在数学课程标准（2011 版） 中的具体要求（第一学段） 是：能在教师的指导下，从日常生活中发现和提出简单的数学问题，并尝试解决。了解分析 问题和解决问题的一些基本方法，知道同一个问题可以有不同的解决方法。 关于解决问题的方法与策略，在数学课程标准（2011 年版）解读中指出在日常教 学中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。能画
3、图时尽量画，其实质是将抽象的思考对 象“图形化”，尽量把问题、计算等数学过程变得直观，更易于学生展开形象思维。此外，也 强调引导学生经历从问题提出到问题解决的全过程， 将数学与生活紧密联系在一起。 使学生 在体会数学知识之间、 数学与其他学科之间、 数学与生活之间联系的过程中不断丰富模型思 想。 综上所述，基于对学生数学核心素养的培养，以及关于“解决问题”内容的课标要求，教 学中都应努力引导学生经历数学抽象、数学推理与数学建模的过程，实现思维的发展，能力 的提升。 2 教学背景分析 教学内容：教学内容： 本内容是三年级上册第六单元多位数乘一位数中的例 8，属于典型的归一问题。教 材在例 9 安
4、排了典型的归总问题。 这是教材中第一次出现用乘除法解决的两步问题。 要引导 学生掌握解决两步问题需要抓“中间问题”的方法，并初步形成解决两步问题的模型结构。在 列分步算式解决问题的基础上，尝试列综合算式解决问题。此外，教材突出强调了要引导学 生感受画图是解决问题的有效策略，能够借助直观图理解问题、解释算法。 本教学内容是 2011 版教材中新调整的内容， 在旧教材中相关内容安排在四年级上册 四 则运算单元中，其中归一问题设置了单独例题，而归总问题则是在练习题中出现的。在新 教材中，相关内容由四年级调整至三年级，并分别设置了归一问题和归总问题两个例题。具 体安排如下表： 旧教材旧教材新教材新教材
5、 归一问题 问题设置：例题 解题思路：归一和倍比 解题过程：直接列式解答 解题形式：综合算式 问题设置：例题 解题思路：归一 解题过程：借助直观图分析 解题形式：分步与综合算式 归总问题问题设置：练习题 问题设置：例题 解题形式：分布与综合算式 聚焦“归一问题”这部分内容，在解题思路上，旧教材既讲“归一思路”也讲“倍比思路”， 新教材只呈现了“归一思路”；在解题过程中，旧教材在呈现问题之后直接列式解答，而新教 材秉承所有解决问题的统一设计，呈现了“阅读与理解”“分析与解答”“回顾与反思”的 解题三环节， 其中在阅读与理解的部分突出强调了借助直观的示意图进行分析。 而归总问题 呈现的是线段图，
6、因此本例题还承载着帮助学生经历从实物图到示意图， 再到线段图的抽象 任务，为在下一例题的学习中绘制线段图解决问题奠定基础；在解题形式上，旧教材只呈现 了综合算式，而新教材同时提供了分布算式和综合算式。 综上所述，教材的这些变化，力求强调引导学生在经历解决问题的过程中，突出感受直 观模型的价值、突出解题策略的指导，进而掌握独立解决问题的方法，提升能力。 学生情况：学生情况： 1.在在解决问题策略解决问题策略方面方面： 三年级学生的认知抽象水平有限， 在理解数量关系和探寻解题 方法的过程中都非常依赖直观支撑， 但主动绘制准确、 有效的图示帮助自己思考的意识和能 力均有待提高。 2.在运用在运用数量
7、关系方面数量关系方面： 学生在本课学习之前有过运用加减法或乘加、 乘减解决两步问 题的经验。 属于连续使用部分与整体关系， 或组合使用部分与整体关系与份总关系解决问题。 归一和归总两类问题则需要学生连续使用两次份总关系， 且变化情况比较多样。 与部分与整 体关系相比，份总关系更难于理解，本课中要连续两次使用份总关系则更加困难，尤其是解 题过程中第二次使用份总关系时又分为求几份数和份数两类情况。 这就使得学生在认知上出 现了难点，需要借助直观帮助理解。 此外， 学生在此之前所遇到的解决问题主要用分步算式， 本课要求学生尝试列综合算式 3 解决问题也将是学生在认知上的一次飞跃。 3.在理解在理解实
8、际问题方面实际问题方面： 学生虽然对解决问题并不陌生， 但很少有机会解决真实的生活 问题。在问题情境中，面对真实而复杂的信息组合时，筛选信息和加工信息常常是阻碍学生 解决问题的关键。 技术准备：技术准备：教学课件及学习单 教学目标(内容框架) 1. 理解数量关系，掌握先求一份数再求几份数或份数的解题方法，能够选择恰当信息解决 相关问题。 2.在探究解决问题的过程中，感受并逐步掌握画图、运算等解决问题的策略。 3.运用数学知识解决生活问题，感受数学与生活的联系，感受数学学习的价值。 教学重点：教学重点：理解数量关系；借助图示理解和分析数量关系。 教学难点：教学难点：在真实的生活情境中，筛选有价值
9、的信息解决问题。 教学流程示意(可选项) 板书设计 4 教学过程 一一、借助直观借助直观，抽象数量关系，抽象数量关系 1. 独立探究，借图“说话” 师：今天我们来一起研究“解决问题” 。通常要解决一个问题，至少需要知道什么？ 生：两个条件和一个问题。 师：的确。首先请看一组信息： （板书）妈妈买 3 个碗用了 18 元。读到这里你能提出 什么问题？ （几乎所有的学生都举起了手。 ） 师：好，看来这个问题并不困难。题目还有一个信息，请你继续看（板书）如果买 8 个同样的碗，需要多少钱？你能试着解决这个问题吗？ （有的学生点头表示可以，也有的学生表情迟疑在思考。 ） 师：如果你解决这个问题有困难，
10、可以尝试画图来分析；如果你能够直接列式，请画 图解释算式的含义或道理；可以列分步算式也可以列综合算式。 （设计意图设计意图：教师有层次地呈现例题，给学生独立读懂和思考的机会。教师要求学生不仅 列式解决还要画图，借图“说话”的方式，可以让教师可以在安静的课堂中及时了解每个 学生的想法与需求，并为后续交流提供丰富的直观素材。 ） 2.对比交流，以图“达意” 师：刚才老师看到了每个同学的方法，有的画图，也有的列式，很多同学都成功地解 决了这个问题，也有的同学遇到了困难，没关系。我们一起来交流一下大家的方法，看看 你能获得哪些新的启发。分类展示分析学生不同的作品： （1）实物图 师：大家能看懂这两幅作
11、品的意思吗？说说你的想法。 生： 妈妈买了 3 个碗用了 18 元， 那么 1 个碗就是 6 元， 再买 8 个一样的碗就是 68=48 （元） 。 师：这两位同学的作品让我们清晰地看出来了 3 个碗与 18 元之间的关系，以及 1 个碗 和 8 个碗之间的关系。你们画得很好，同学们读图的能力也很棒，才能够准确地理解画图 同学的意思。 （设计意图设计意图：呈现直观的实物图，帮助学生理解和理清数量关系。 ） （2）示意图 师：这两幅作品，你能明白他的意思吗？ 5 生：第一幅图用代表碗，第二幅图则用代表碗。 师：是啊！说碗的事儿，有的同学就画碗，挺好。也有的同学用简单的图形或符号来 代替，你有什么
12、想法？ 生：这样画图更方便，也很清楚。 （设计意图设计意图：呈现比直观图抽象水平更高的示意图，在读图的过程中助推学生抽象水平提 升，在理解不同图示类型之间的关系的过程中，初步抽象数量关系。 ） （3）线段图 师：这两位同学的作品又是什么意思呢？说说你的理解。 生：这幅作品用线段表示碗，一段就表示 1 个碗，3 段就是 3 个碗，8 个碗就是 8 段。 先求一段是多少，再求 8 段是多少。 （设计意图设计意图：呈现比示意图抽象水平更高的线段图，在读图中进一步助推学生抽象水平的 提升，进一步抽象数量关系。 ） （4）沟通图式 师：我们读懂了同学们这么多不同的图意，对这个问题也有了清晰的分析和理解。
13、在 同学们的作品中除了有图，还有算式，你理解这些算式每一步求的是什么吗？请你结合图 说一说。 生：两种算式的第一步都是 183=6（元）求的是一个碗的价格，再用 68=48（元） 求 8 个碗的价格。 师：的确如此，第一组是同学们熟悉的分步算式，第二个是综合算式。两组算式的“样 子”虽然不完全相同，但思路是一样的。随着同学们进入中年级，要慢慢地读懂并使用综 合算式。还不熟悉综合算式的同学，没关系，我们可以慢慢来！ （设计意图设计意图：学生用自己画的图解释算式的含义，通过图式对比，进一步完成对数量关系 6 的理解和抽象。教师借学生不同算式进行对比，揭示分步与综合算式的区别和联系。并借 势提出中年
14、级关于综合算式的学习要求。 ） 3.错例分析，用图“解惑” 师：在同学们的作品中还有一个列式是这样的，你有什么想法？ 生 1： 这个算式是不对的。 因为 18 元是 3 个碗的价钱而不是 1 个； 如果直接用 18 乘 8， 求的是 8 个“3 个碗”。 生 2： （指着下图进行说明）如果把 3 个碗看成 1 组，这个算式求的是 8 组碗而不是 8 个碗的价格。 师：的确，在刚才同学们的几幅作品中我们都看到了“小问号”，你明白这些“小问号” 问的是什么吗？ 生：图中的“小问号”问的都是一个碗多少钱。 师：看来同学们虽然画的图不尽相同，列的算式也不一样，但心里却有着相同的小问 号，也就是先求“一
15、个碗”的价格，再求“几个碗”的价格。有了“心里的小问号” ，求 8 个碗 可以，还可以求几个碗的价格？ 生：10 个碗，15 个碗，100 个碗，几个碗都行！ 师：你们“心里的小问号”真有价值，求出它，整个问题也就能够迎刃而解了。 （设计意图设计意图：呈现学生错例，让学生讲给学生听，用自己画的图进行讲解，答疑解惑。引 导学生通过算式对比、图式对比分析错因，一方面调动学生自主思考，另一方面发挥学生 自己所画图示的作用，进而感受图的价值，深入理解数量关系。在本环节中，教师有意识 地结合学生作品抓住“心中的小问号”求的是什么？突破解决问题的重点。 ） 二、运用推理二、运用推理，归纳解题方法，归纳解题
16、方法 1.比较中概括抓住“心中的小问号” 7 师：看到下面这几个问题，你心里的小问号是什么（你最关心的是什么）？ （1）生：我最关心一张书签是几元？ （2）生：我最关心发送一张照片需要几秒钟？ （3）生：我最关心 1 箱蜜蜂可以酿多少千克蜂蜜？ 师： 看来解决每个问题你都有一个心里的小问号， 要解决这类问题， 你有什么好方法？ 生：先求一份数。 （教师板书） 小结： “一份数是几” 就是同学们心里的小问号， 只要抓住了它就能够很好地解决问题。 （设计意图设计意图：教师提供了只需要学生读题分析不需要列式解决的题组练习，引导学生在对 比中概括出心中的小问号总是“一份数是几”，先求一份数很关键。初步
17、感受解决这一类 问题的方法，为进一步抽象概括数量关系，掌握解题方法奠定基础。 ） 2.归纳中推理找到解决问题的关键 （1）提出问题 师：在养蜂工厂中，工人叔叔负责四组蜂箱，他将自己收集的信息以及想解决的问题 填在了表格中，你能看懂吗？（分组出示数据信息，由学生自己读题理解题意） （2）独立完成 师：请你试着帮叔叔解决这些问题。先在表格下面写算式，再将结果填入表格中。 8 （3）反馈交流 学生汇报： 1 组：1538；2 组：50（153） ；3 组：30（153） 师：这几个问题各不相同，你的解决方法有什么相同之处吗？ 生：都先用 153 求出一箱蜜蜂能够酿多少千克的蜜，再继续求这样的几箱，或
18、求 50 千克、30 千克中有几个这样的一箱。 板书：先求一份数，再求几份数（或份数） 。 师：同学们准确地抓住了问题的关键，想清先求什么再求什么，就能够准确地请来乘 法或除法来帮忙解决问题了。 生：第 4 组还可以用 30153，把 3 个蜂箱看做一组可以酿 15 千克蜂蜜，30 千克蜂 蜜就是这样的 2 组，所以再用 23=6（箱） 师：这真是一个不错的方法，对这种新方法你有什么想说的？ 生：第四组蜂蜜的数量恰好是 15 的倍数，就可以这样解决，但如果不是整倍数就不好 用了。而先求“一份数”的方法，不管是不是整倍数都能用。 小结：看来大家在方法的对比中还感受到了不同方法的适用范围不同。总之
19、，抓住问 题的关键，也就是先求“一份数”，再求这样的几份数或份数，就能够清晰而准确地解决问 题了。 （设计意图设计意图：在题组练习中推理，进而归纳解题方法。感受到解决两步问题的关键是抓住 先求什么，再求什么。在概括的基础上再归纳，有助于学生经历从一个到一类的认识过程， 进而比较顺利地完成对解题思路的理解与抽象。通过沟通数量关系与运算方法之间的联系， 帮助学生掌握解题思路与方法。 ） 三三、应用直观应用直观，感受模型价值，感受模型价值 师：在日常生活中，有很多真实的问题都可以运用所学的数学知识来解决。 1.借助模型，解决问题 亮亮正在下载一部很喜欢的动画电影， 下载了 6 分钟时下载条如下图，亮
20、亮还需要再 等几分钟才能下载完成？这部电影一共要下载多少分钟？ 生：只要知道下载一段需要几分钟，就可以求 3 段或 5 段的时间了。 （教师结合学生的分析在黑板上绘制线段图，并标出相关的数据信息。 ） 生：先用 6 分钟除以 2，求出一段是 3 分钟，再用 3 分钟乘 3 就是 9 分钟；3 分钟乘 5 就是 15 分钟。 师：刚刚大家最初听到这个问题，以及后来看到线段图后有什么不同的感受？ 生：刚听完问题时有点儿懵，但一看到图一下就特别清楚了，就知道怎么解决问题了。 9 小结：线段图可以清晰地反映数量与数量之间的关系，有助于我们分析问题并顺利地解 决问题。希望线段图能够成为你解决问题时的好帮
21、手。 （设计意图设计意图：在巩固练习中引入真实而贴近学生生活的问题情境，引导学生在运用数量关 系解决问题的过程中，感受线段图的直观特点，感悟线段图的价值。 ） 2.拓展应用，感受价值 （1）呈现问题 师：下面的这个问题和于老师有关。随着互联网的发展，信息技术改变了我们的生活 方式。大家听说过“摩拜单车”吗？ （很多同学高高地举起手，表示听说过或见到过。 ） 师：人们通过智能手机就可以方便地使用它，这是绿色出行的新方式。于老师在使用 摩拜单车时就曾遇到了一个问题，你能帮我解决吗？ （2）解决问题 发给学生如上图的信息单，由学生两人一组合作阅读并解决。 （3）分析问题 师：说说你的方法，或你在解决
22、这个问题时遇到了什么困难？ 生：这幅图里有好多信息都没用，最重要的就是 2 千米、20 分钟和 5 千米这三个数据。 （许多组学生都有相同的感受，学生解题作品样例如上图） 10 师：的确如此，生活中的真实问题通常都是比较复杂的，同学们只要能够从众多的信息 中筛选出有价值的信息就能够顺利地解决问题。 生：可以用线段图来表示，20 分钟走了 2 千米，也就是 2 段，说明 1 段就是 10 分钟， 那么 5 千米就是 5 段，就需要 5 个 10 分钟，也就是 50 分钟。列式是：2025 师：线段图一出现，很多同学都一下子豁然开朗了！你们画的图太有价值了。你们瞧， 刚才解决亮亮下载的问题时我们就
23、用到了线段图，现在解决于老师骑车的问题时大家又用 到了线段图。请你对比两幅图，有什么发现或感受？ 生：很像，基本差不多。 师：哪儿不同呢？ 生：只是线段图中的两段不表示 6 分钟，而表示 20 分钟了。 （教师随学生叙述改板书中的线段图） 师：看来这条线段图不仅仅能解决亮亮的问题，还能够帮助于老师解决骑车的问题。 这幅线段图的作用可真不小！它还能解决其他问题吗？说说你的想法。 生：还能解决好多问题呢，例如：苹果几筐、玉米几千克的问题。 生：只要是这一类的就都能解决。 小结：的确像同学们想的这样，只要抓住关键就不仅能解决一个又一个的问题，而是 一类问题。线段图帮了我们大忙，希望在今后的解决问题中
24、，它能够成为大家的好助手， 发挥更大的作用。也希望同学们用数学的眼光去观察生活，发现问题，并努力解决问题。 （设计意图设计意图：提供真实而贴近学生生活的问题，让学生感受到数学与真实生活的紧密联系。 本练习的价值主要体现在两方面。其一，是引导学生感悟从大量信息中筛选有效信息解决 问题的重要性，培养学生信息筛选与加工的意识和能力。其二，是引导学生感受运用画图 策略能够有效地将复杂问题简单化，让“新问题”转化成“旧问题” ，完成直观模型以及数 11 量关系模型的建立。此外，本环节最后以“用这条线段图还能解决哪些问题”，引导学生 在逆用直观模型的过程中完成进一步抽象。从“一个”到“一类”，深入感悟模型
25、的应用 价值。 ） 本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点 在以往的解决问题教学中， 教师普遍关注学生对数量关系的理解和掌握， 通过问题情境 的变化不断巩固和强化数量关系，以达到掌握解题方法的目的。而在本课的教学设计中，教 师力求以“解决问题”内容为载体，着力于丰富学生对抽象、归纳和模型的感悟。主要通过 处理好以下两种关系实现对数学素养的培养。 1. 处理好直观感受与抽象归纳的关系 本课在例题探究环节中，教师鼓励学生自己画图分析问题、解释算式，让学生感受直观 图的价值和作用。 练习环节中又从多个问题情境中概括出相似的线段图， 引导学生进一步感 受“画图”简洁、清晰、方便的特点。直观感受既有助
26、于丰富解决问题的策略，同时也是中 年级学生逐步抽象数量关系，概括解题思路的前提和基础。 与此同时， 学生要掌握解决问题的方法就离不开数量关系， 但教学中又不能将数量关系 作为一个固化的结论给学生套用。 因此本课通过让学生在充分的直观感受中， 逐步概括出解 决两步问题的数量关系与结构， 将数量关系与运算方法进行对接， 助推学生对解题方法的抽 象与归纳。 总之， 直观感受是抽象归纳的基础， 抽象归纳是对直观感受的发展。 直观是学生获得 “真 理解”的助手，而归纳是学生“真理解”的成果。 2. 处理好经历建模与解决问题的关系 本课先后两次引导学生经历建模的过程，第一次是从一组不同的实际问题（书签、发送 照片、养蜂）中归纳出解决问题的思路与方法，这是学生建立数学模型的认知过程。第二次 在解决“下载文件问题”和“摩拜单车”问题时， 既是应用数学模型解决新问题的过程， 同 时又以两个问题的类比， 再次强化了对数学模型的理解。 并以线段图作为支撑完成数学模型 的二次建立。此后，教师借助“这幅线段图还能解决哪些生活问题”的问题引发学生拓展， 这是模型应用的过程，有正有反，旨在提升学生的应用意识。 总之，经历建模是解决问题的保障，解决问题是数学模型的应用。本课解决问题贯穿始 终，但不同环节有着不同的目标落点，有层次地落实对学生抽象、归纳和建模思想的培养。
