2021年湖北省武汉市中考数学试卷（学生版+解析版）.docx

1、第 1页（共 25页） 2021 年湖北省武汉市中考数学试卷年湖北省武汉市中考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各题中有且只有一个正确答案，请分）下列各题中有且只有一个正确答案，请 在答题卡上将正确答案的标号涂黑在答题卡上将正确答案的标号涂黑. 1 （3 分）实数 3 的相反数是（） A3B3C? ? D? ? ? 2 （3 分）下列事件中是必然事件的是（） A抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数 C打开电视机，正在播放广告 D从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级 3

2、 （3 分）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是 中心对称图形的是（） ABCD 4 （3 分）计算（a2）3的结果是（） Aa6Ba6Ca5Da5 5 （3 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（） AB CD 6 （3 分）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人， 则两人恰好是一男一女的概率是（） 第 2页（共 25页） A? ? B? ? C? ? D? ? 7 （3 分）我国古代数学名著九章算术中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七， 不足四问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每

3、人出 8 钱，多 出 3 钱；每人出 7 钱，还差 4 钱问人数，物价各是多少？若设共有 x 人，物价是 y 钱， 则下列方程正确的是（） A8（x3）7（x+4）B8x+37x4 C? ? ? ?t? ? D?t? ? ? ? ? 8 （3 分）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返 回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离 y（单位：km）与慢车行驶时间 t（单位： h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（） A? ?h B? ?h C? ?h D? ?h 9 （3 分）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将? ?沿 BC 翻折交 A

4、B 于点 D，再 将? ?沿 AB 翻折交 BC 于点 E若?若? ? ?若 ?，设ABC，则所在的范围是（ ） A21.922.3B22.322.7 C22.723.1D23.123.5 10 （3 分）已知 a，b 是方程 x23x50 的两根，则代数式 2a36a2+b2+7b+1 的值是 （） 第 3页（共 25页） A25B24C35D36 二二、填空题填空题（共共 6 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 18 分分）下列各题不需要写出解答过程下列各题不需要写出解答过程，请将结果请将结果 直接填写在答题卡指定的位置直接填写在答题卡指定的位置. 11 （3 分）计算 ? ? ?的结

5、果是 12 （3 分）我国是一个人口资源大国第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的 常住人口数如下表，这组数据的中位数是 城市北京上海广州重庆成都 常住人口 数万 21892487186832052094 13 （3 分）已知点 A（a，y1） ，B（a+1，y2）在反比例函数 y? ?t? ? （m 是常数）的图象 上，且 y1y2，则 a 的取值范围是 14 （3 分）如图，海中有一个小岛 A一艘轮船由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏 东 60方向上；航行 12nmile 到达 C 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30方向上小岛 A 到航线 BC 的距离是nmile（ ?

6、?1.73，结果用四舍五入法精确到 0.1） 15 （3 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 是常数） ，a+b+c0下列四个结论： 若抛物线经过点（3，0） ，则 b2a； 若 bc，则方程 cx2+bx+a0 一定有根 x2； 抛物线与 x 轴一定有两个不同的公共点； 点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）在抛物线上，若 0ac，则当 x1x21 时，y1y2 其中正确的是（填写序号） 16 （3 分）如图（1） ，在ABC 中，ABAC，BAC90，边 AB 上的点 D 从顶点 A 出 发，向顶点 B 运动，同时，边 BC 上的点 E 从顶点 B 出发，向顶点 C 运动，D

7、，E 两点 运动速度的大小相等，设 xAD，yAE+CD，y 关于 x 的函数图象如图（2） ，图象过点 （0，2） ，则图象最低点的横坐标是 第 4页（共 25页） 三三、解答题解答题（共共 8 小题小题，共共 72 分分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明证明 过程、演算步骤或画出图形过程、演算步骤或画出图形. 17 （8 分）解不等式组 ? ? ? ? ?， ?t ? t ?请按下列步骤完成解答 （1）解不等式，得； （2）解不等式，得； （3）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是 18 （8 分）如图，AB

8、CD，BD，直线 EF 与 AD，BC 的延长线分别交于点 E，F， 求证：DEFF 19 （8 分）为了解落实国家关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见的实施情况， 某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间 t（单位：h） ，按劳动 时间分为四组：A 组“t5” ，B 组“5t7” ，C 组“7t9” ，D 组“t9” 将收集的 数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图 第 5页（共 25页） 根据以上信息，解答下列问题： （1） 这次抽样调查的样本容量是， C 组所在扇形的圆心角的大小是； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有 1500 名学生，请你估计该校平均

9、每周劳动时间不少于 7h 的学生人数 20 （8 分） 如图是由小正方形组成的 57 网格， 每个小正方形的顶点叫做格点， 矩形 ABCD 的四个顶点都是格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示 （1）在图（1）中，先在边 AB 上画点 E，使 AE2BE，再过点 E 画直线 EF，使 EF 平 分矩形 ABCD 的面积； （ 2 ） 在 图 （ 2 ） 中 ， 先 画 BCD 的 高 CG ， 再 在 边 AB 上 画 点 H ， 使 BH DH 21 （8 分）如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上两点，C 是? ?的中点，过点 C 作 AD 的垂线，垂足是 E连接

10、 AC 交 BD 于点 F （1）求证：CE 是O 的切线； （2）若? ? ?，求 cosABD 的值 第 6页（共 25页） 22 （10 分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 A，B 两种农作物为原料开发了一种有 机产品A 原料的单价是 B 原料单价的 1.5 倍，若用 900 元收购 A 原料会比用 900 元收 购 B 原料少 100kg生产该产品每盒需要 A 原料 2kg 和 B 原料 4kg，每盒还需其他成本 9 元市场调查发现：该产品每盒的售价是 60 元时，每天可以销售 500 盒；每涨价 1 元， 每天少销售 10 盒 （1）求每盒产品的成本（成本原料费+其他成本） ；

11、（2）设每盒产品的售价是 x 元（x 是整数） ，每天的利润是 w 元，求 w 关于 x 的函数解 析式（不需要写出自变量的取值范围） ； （3）若每盒产品的售价不超过 a 元（a 是大于 60 的常数，且是整数） ，直接写出每天的 最大利润 23 （10 分）问题提出 如图（1） ，在ABC 和DEC 中，ACBDCE90，BCAC，ECDC，点 E 在 ABC 内部，直线 AD 与 BE 于点 F线段 AF，BF，CF 之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （1）先将问题特殊化如图（2） ，当点 D，F 重合时，直接写出一个等式，表示 AF，BF， CF 之间的数量关系； （2）再探究一般情

12、形如图（1） ，当点 D，F 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立 问题拓展 如图（3） ，在ABC 和DEC 中，ACBDCE90，BCkAC，ECkDC（k 是 常数） ， 点 E 在ABC 内部， 直线 AD 与 BE 交于点 F 直接写出一个等式， 表示线段 AF， BF，CF 之间的数量关系 第 7页（共 25页） 24 （12 分）抛物线 yx21 交 x 轴于 A，B 两点（A 在 B 的左边） （1） ACDE 的顶点 C 在 y 轴的正半轴上，顶点 E 在 y 轴右侧的抛物线上； 如图（1） ，若点 C 的坐标是（0，3） ，点 E 的横坐标是? ?，直接写出点 A，D 的坐

13、标 如图（2） ，若点 D 在抛物线上，且 ACDE 的面积是 12，求点 E 的坐标 （2）如图（3） ，F 是原点 O 关于抛物线顶点的对称点，不平行 y 轴的直线 l 分别交线段 AF，BF（不含端点）于 G，H 两点若直线 l 与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH 的值是定值 第 8页（共 25页） 2021 年湖北省武汉市中考数学试卷年湖北省武汉市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各题中有且只有一个正确答案，请分）下列各题中有且只有一个正确答案，请 在答题卡上将正确答案

14、的标号涂黑在答题卡上将正确答案的标号涂黑. 1 （3 分）实数 3 的相反数是（） A3B3C? ? D? ? ? 【解答】解：实数 3 的相反数是：3 故选：B 2 （3 分）下列事件中是必然事件的是（） A抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数 C打开电视机，正在播放广告 D从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级 【解答】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件； B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件； C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件； D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级

15、，是必然事件； 故选：D 3 （3 分）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是 中心对称图形的是（） ABCD 【解答】解：A既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； B不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：A 4 （3 分）计算（a2）3的结果是（） 第 9页（共 25页） Aa6Ba6Ca5Da5 【解答】解： （a2）3a6， 故选：A 5 （3 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（） AB C

16、D 【解答】解：从正面看易得有两层，底层三个正方形，上层中间是一个正方形 故选：C 6 （3 分）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人， 则两人恰好是一男一女的概率是（） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有 8 种， 两人恰好是一男一女的概率为 ? ? ? ? ?， 故选：C 7 （3 分）我国古代数学名著九章算术中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七， 不足四问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出 8 钱，多 出 3 钱；每人出 7 钱，还差

17、4 钱问人数，物价各是多少？若设共有 x 人，物价是 y 钱， 第 10页（共 25页） 则下列方程正确的是（） A8（x3）7（x+4）B8x+37x4 C? ? ? ?t? ? D?t? ? ? ? ? 【解答】解：设物价是 y 钱，根据题意可得： ?t? ? ? ? ? 故选：D 8 （3 分）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返 回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离 y（单位：km）与慢车行驶时间 t（单位： h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（） A? ?h B? ?h C? ?h D? ?h 【解答】解：根据图象可知，慢车的速

18、度为? ? ?h? 对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是 4 h， 因此单程所花时间为 2 h，故其速度为? ? ?h? 所以对于慢车，y 与 t 的函数表达式为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 对于快车，y 与 t 的函数表达式为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 联立，可解得交点横坐标为 t3， 联立，可解得交点横坐标为 t4.5， 因此，两车先后两次相遇的间隔时间是 1.5， 故选：B 9 （3 分）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将? ?沿 BC 翻折交 AB 于点 D，再 将? ?沿 AB 翻折交 BC 于点

19、E若?若? ? ?若 ?，设ABC，则所在的范围是（ ） 第 11页（共 25页） A21.922.3B22.322.7 C22.723.1D23.123.5 【解答】解：如图，连接 AC,CD,DE 若? ? ? 若? ?, EDEB, EDBEBD, ? ? ? ? ? ? ?若 ?, ADCDDE, DCEDECEDB+EBD2, CADCDADCE+EBD3, AB 是直径， ACB90, CAB+ABC90, 490, 22.5, 故选：B 10 （3 分）已知 a，b 是方程 x23x50 的两根，则代数式 2a36a2+b2+7b+1 的值是 第 12页（共 25页） （） A2

20、5B24C35D36 【解答】解：a，b 是方程 x23x50 的两根， a23a50，b23b50，a+b3, a23a5，b23b+5， 2a36a2+b2+7b+1 2a（a23a)+3b+5+7b+1 10a+10b+6 10(a+b)+6 103+6 36 故选：D 二二、填空题填空题（共共 6 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 18 分分）下列各题不需要写出解答过程下列各题不需要写出解答过程，请将结果请将结果 直接填写在答题卡指定的位置直接填写在答题卡指定的位置. 11 （3 分）计算 ? ? ?的结果是5 【解答】解： ? ? ?|5|5 12 （3 分）我国是一个人口资源

21、大国第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的 常住人口数如下表，这组数据的中位数是2189 城市北京上海广州重庆成都 常住人口 数万 21892487186832052094 【解答】解：将这组数据重新排列为 1868，2094，2189，2487，3205， 所以这组数据的中位数为 2189， 故答案为：2189 13 （3 分）已知点 A（a，y1） ，B（a+1，y2）在反比例函数 y? ?t? ? （m 是常数）的图象 上，且 y1y2，则 a 的取值范围是1a0 【解答】解：km2+10， 反比例函数 y? ?t? ? （m 是常数）的图象在一、三象限，在每个象限，y 随 x 的

22、增大 而减小， 第 13页（共 25页） 当 A（a，y1） ，B（a+1，y2）在同一象限， y1y2， aa+1， 此不等式无解； 当点 A（a，y1） 、B（a+1，y2）在不同象限， y1y2， a0，a+10， 解得：1a0， 故答案为1a0 14 （3 分）如图，海中有一个小岛 A一艘轮船由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏 东 60方向上；航行 12nmile 到达 C 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30方向上小岛 A 到航线 BC 的距离是10.4nmile（ ? ?1.73，结果用四舍五入法精确到 0.1） 【解答】解：过点 A 作 AEBD 交 BD 的延长线于点

23、 E， 由题意得，CBA60，EAD30， ABD30，ADE60， BADADEABD30， BADABD， ADAB12nmile， 在 RtADE 中，sinADE? ?若 ?， AEADsinADE6 ? ?10.4（nmile） ， 故小岛 A 到航线 BC 的距离是 10.4nmile， 故答案为 10.4 第 14页（共 25页） 15 （3 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 是常数） ，a+b+c0下列四个结论： 若抛物线经过点（3，0） ，则 b2a； 若 bc，则方程 cx2+bx+a0 一定有根 x2； 抛物线与 x 轴一定有两个不同的公共点； 点 A（x1

24、，y1） ，B（x2，y2）在抛物线上，若 0ac，则当 x1x21 时，y1y2 其中正确的是（填写序号） 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 是常数） ，a+b+c0， （1，0）是抛物线与 x 轴的一个交点 抛物线经过点（3，0） ， 抛物线的对称轴为直线 x? ?t? ? ?1， ? ? ? ?1，即 b2a，即正确； 若 bc，则二次函数 ycx2+bx+a 的对称轴为直线：x? ? ? ? ? ?， 且二次函数 ycx2+bx+a 过点（1，0） ， ?t? ? ? ? ?，解得 m2， ycx2+bx+a 与 x 轴的另一个交点为（2，0） ，即方程 cx2+bx

25、+a0 一定有根 x2； 故正确； b24ac（a+c）24ac（ac）20， 抛物线与 x 轴一定有两个公共点， 且当 ac 时，抛物线与 x 轴一定有两个不同的公共点故不正确； 由题意可知，抛物线开口向上，且? ? 1， （1，0）在对称轴的左侧， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x1x21 时，y1y2故正确 故答案为： 第 15页（共 25页） 16 （3 分）如图（1） ，在ABC 中，ABAC，BAC90，边 AB 上的点 D 从顶点 A 出 发，向顶点 B 运动，同时，边 BC 上的点 E 从顶点 B 出发，向顶点 C 运动，D，E 两点 运动速度的大小相等，设 x

26、AD，yAE+CD，y 关于 x 的函数图象如图（2） ，图象过点 （0，2） ，则图象最低点的横坐标是? ?1 【解答】解：图象过点（0，2） ， 即当 xAD0 时,点 D 与 A 重合，点 E 与 B 重合， 此时 yAE+CDAB+AC2, ABC 为等腰直角三角形， ABAC1， 过点 A 作 AFBC 于点 F，过点 B 作 NBBC，并使得 BNAC，如图所示： ADBE,NBECAD， NBECAD(SAS)， NECD， 又yAE+CD, 第 16页（共 25页） yAE+CDAE+NE, 当 A、E、N 三点共线时，y 取得最小值，如图所示，此时： ADBEx,ACBN1，

27、 AFACsin45? ? ? , 又BENFEA，NBEAFE NBEAFE ? ? ? ?若 ?若，即 ? ? ? ? ? ? ? ? ， 解得：x? ? ?， 图象最低点的横坐标为： ? ?1 故答案为： ? ? ? 三三、解答题解答题（共共 8 小题小题，共共 72 分分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明证明 过程、演算步骤或画出图形过程、演算步骤或画出图形. 17 （8 分）解不等式组 ? ? ? ? ?， ?t ? t ?请按下列步骤完成解答 （1）解不等式，得x1； （2）解不等式，得x3； （3）把不等式和的解集在数轴上

28、表示出来； （4）原不等式组的解集是x1 【解答】解： ? ? ? ? ?， ?t ? t ? （1）解不等式，得 x1； （2）解不等式，得 x3； （3）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是 x1 故答案为：x1；x3；x1 第 17页（共 25页） 18 （8 分）如图，ABCD，BD，直线 EF 与 AD，BC 的延长线分别交于点 E，F， 求证：DEFF 【解答】证明：ABCD， DCFB， BD， DCFD， ADBC， DEFF 19 （8 分）为了解落实国家关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见的实施情况， 某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平

29、均每周劳动时间 t（单位：h） ，按劳动 时间分为四组：A 组“t5” ，B 组“5t7” ，C 组“7t9” ，D 组“t9” 将收集的 数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1） 这次抽样调查的样本容量是100， C 组所在扇形的圆心角的大小是108； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有 1500 名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于 7h 的学生人数 【解答】解： （1）这次抽样调查的样本容量是 1010%100， C 组所在扇形的圆心角的大小是 360 ? ? ?108， 第 18页（共 25页） 故答案为：100，108； （2）B

30、 组的人数10015301045（名） ， 条形统计图如图所示， （3）1500 ?t? ? ?600（名） 答：估计该校平均每周劳动时间不少于 7h 的学生人数为 600 20 （8 分） 如图是由小正方形组成的 57 网格， 每个小正方形的顶点叫做格点， 矩形 ABCD 的四个顶点都是格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示 （1）在图（1）中，先在边 AB 上画点 E，使 AE2BE，再过点 E 画直线 EF，使 EF 平 分矩形 ABCD 的面积； （ 2 ） 在 图 （ 2 ） 中 ， 先 画 BCD 的 高 CG ， 再 在 边 AB 上 画 点 H ， 使 B

31、H DH 【解答】解： （1)如图，直线 EF 即为所求 （2）如图，线段 CG,点 H 即为所求 第 19页（共 25页） 21 （8 分）如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上两点，C 是? ?的中点，过点 C 作 AD 的垂线，垂足是 E连接 AC 交 BD 于点 F （1）求证：CE 是O 的切线； （2）若? ? ?，求 cosABD 的值 【解答】 （1）证明：连接 OC 交 BD 于点 G， 点 C 是? ?的中点， 由圆的对称性得 OC 垂直平分 BD， DGC90, AB 是O 的直径， ADB90, EDB90, CEAE， E90, 四边形 EDGC 是矩形， ECG

32、90， CEOC, CE 是O 的切线； 第 20页（共 25页） （2）解：连接 BC，设 FGx,OBr， ? ? ?， 设 DFt,DC?t, 由（1）得，BCCD?t,BGGDx+t, AB 是O 的直径， ACB90, BCG+FCG90, DGC90, CFB+FCG90, BCGCFB, RtBCGRtBFC, BC2BGBF, （ ?t）2（x+t） （x+2t） 解得 x1t,x2? ? ?t（不符合题意，舍去） ， CG? ? ? ?t, OGr?t, 在 RtOBG 中，由勾股定理得 OG2+BG2OB2, （r?t）2+（2r）2r2, 解得 r? ? ? ? t, c

33、osABD? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 （10 分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 A，B 两种农作物为原料开发了一种有 机产品A 原料的单价是 B 原料单价的 1.5 倍，若用 900 元收购 A 原料会比用 900 元收 第 21页（共 25页） 购 B 原料少 100kg生产该产品每盒需要 A 原料 2kg 和 B 原料 4kg，每盒还需其他成本 9 元市场调查发现：该产品每盒的售价是 60 元时，每天可以销售 500 盒；每涨价 1 元， 每天少销售 10 盒 （1）求每盒产品的成本（成本原料费+其他成本） ； （2）设每盒产品的售价是 x 元（x 是整

34、数） ，每天的利润是 w 元，求 w 关于 x 的函数解 析式（不需要写出自变量的取值范围） ； （3）若每盒产品的售价不超过 a 元（a 是大于 60 的常数，且是整数） ，直接写出每天的 最大利润 【解答】解： （1）设 B 原料单价为 m 元，则 A 原料单价为 1.5m 元， 根据题意，得? ? ? ? ? ?100， 解得 m3， 1.5m4.5， 每盒产品的成本是：4.52+43+930（元） ， 答：每盒产品的成本为 30 元； （2）根据题意，得 w(x30)50010(x60)10 x2+1400 x33000， w 关于 x 的函数解析式为：w10 x2+1400 x330

35、00； （3）由（2）知 w10 x2+1400 x3300010（x70）2+16000， 当 a70 时，每天最大利润为 16000 元， 当 60a70 时，每天的最大利润为(10a2+1400a33000)元 23 （10 分）问题提出 如图（1） ，在ABC 和DEC 中，ACBDCE90，BCAC，ECDC，点 E 在 ABC 内部，直线 AD 与 BE 于点 F线段 AF，BF，CF 之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （1）先将问题特殊化如图（2） ，当点 D，F 重合时，直接写出一个等式，表示 AF，BF， CF 之间的数量关系； （2）再探究一般情形如图（1） ，当点 D，

36、F 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立 问题拓展 如图（3） ，在ABC 和DEC 中，ACBDCE90，BCkAC，ECkDC（k 是 常数） ， 点 E 在ABC 内部， 直线 AD 与 BE 交于点 F 直接写出一个等式， 表示线段 AF， 第 22页（共 25页） BF，CF 之间的数量关系 【解答】解： （1）如图（2） ，ACD+ACE90，ACE+BCE90， BCEACD， BCAC，ECDC， ACDBCE（SAS） ， BEADAF，EBCCAD， 故CDE 为等腰直角三角形， 故 DEEF?CF， 则 BFBDBE+EDAFt?CF； 即 BFAF?CF； （2）如图（

37、1） ，由（1）知，ACDBCE（SAS） ， CAFCBE，BEAF， 过点 C 作 CGCF 交 BF 于点 G， FCE+ECG90，ECG+GCB90， ACFGCB， CAFCBE，BCAC， BCGACF（AAS） ， 第 23页（共 25页） GCFC，BGAF， 故GCF 为等腰直角三角形，则 GF?CF， 则 BFBG+GFAFt?CF， 即 BFAF?CF； （3）由（2）知，BCEACD， 而 BCkAC，ECkDC， 即? ? ? 若 ? ? ?， BCECAD， CADCBE， 过点 C 作 CGCF 交 BF 于点 G， 由（2）知，BCGACF， BGCAFC，

38、? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 则 BGkAF，GCkFC， 在 RtCGF 中，GF?t ?t ?t ?FC， 则 BFBG+GFkAFt?t ?FC， 即 BFkAF?t ?FC 24 （12 分）抛物线 yx21 交 x 轴于 A，B 两点（A 在 B 的左边） （1） ACDE 的顶点 C 在 y 轴的正半轴上，顶点 E 在 y 轴右侧的抛物线上； 如图（1） ，若点 C 的坐标是（0，3） ，点 E 的横坐标是? ?，直接写出点 A，D 的坐标 如图（2） ，若点 D 在抛物线上，且 ACDE 的面积是 12，求点 E 的坐标 （2）如图（3） ，F 是原点 O 关于抛物线

39、顶点的对称点，不平行 y 轴的直线 l 分别交线段 第 24页（共 25页） AF，BF（不含端点）于 G，H 两点若直线 l 与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH 的值是定值 【解答】解： （1）对于 yx21，令 yx210，解得 x1，令 x0，则 y1， 故点 A、B 的坐标分别为（1，0） 、 （1,0） ，顶点坐标为（0，1） ， 当 x? ? ?时，yx 21? ?， 由点 A、C 的坐标知，点 A 向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得到点 C， 四边形 ACDE 为平行四边形， 故点 E 向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得到点 D， 则? ? t1? ? ?，

40、 ? ? t3? ? ? ， 故点 D 的坐标为（? ?， ? ? ） ； 设点 C（0，n） ，点 E 的坐标为（m，m21） ， 同理可得，点 D 的坐标为（m+1，m21+n） ， 将点 D 的坐标代入抛物线表达式得：m21+n（m+1）21， 解得 n2m+1， 故点 C 的坐标为（0，2m+1） ； 连接 CE，过点 E 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 M，交过点 C 与 x 轴的平行线与点 N， 第 25页（共 25页） 则SACES梯形CNMASCENSAEM? ? ? （m+1+m）（2m+1） ? ? ? ? （m+1）（m21） ? ? ?m2m+1 （m21）? ? ?

41、S ACED6， 解得 m5（舍去）或 2， 故点 E 的坐标为（2,3） ； （2）F 是原点 O 关于抛物线顶点的对称点，故点 F 的坐标为（0，2） ， 由点 B、F 的坐标得，直线 BF 的表达式为 y2x2， 同理可得，直线 AF 的表达式为 y2x2， 设直线 l 的表达式为 ytx+n， 联立 ytx+n 和 yx21 并整理得：x2txn10， 直线 l 与抛物线只有一个公共点， 故（t）24（n1）0，解得 n? ? ?t 21， 故直线 l 的表达式为 ytx? ? ?t 21， 联立并解得 xH? ?t? ? ， 同理可得，xG? ? ? ， 射线 FA、FB 关于 y 轴对称，则AFOBFO，设AFOBFO， 则 sinAFOBFO? ? ? ? ? ?t? ? ? ? ?sin， 则 FG+FH? ? ? t ? ? ?（xHxG）?（?t? ? ? ? ? ）?为常数