1、第 1页（共 26页） 2021 年吉林省长春市中考数学试卷年吉林省长春市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）（2）的值为（） A? ? B? ? ? C2D2 2 （3 分）据报道，我省今年前 4 个月货物贸易进出口总值为 52860000000 元人民币，比去 年同期增长 28.2%其中 52860000000 这个数用科学记数法表示为（） A0.52861011B5.2861010 C52.86109D5286107 3 （3 分）如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（） A圆锥B长方体C
2、球D圆柱 4 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x26x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是 （） A8B9C10D11 5 （3 分）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图已知 A、B 两点间的距离为 30 米，A，则缆车从 A 点到达 B 点，上升的高度（BC 的长）为（） A30sin米B ? ?th?米 C30cos米D ? ?t?米 6 （3 分）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，若BAC35，则ACB 的大小 为（） 第 2页（共 26页） A35B45C55D65 7 （3 分）在ABC 中，BAC90，ABAC用无刻度的直尺和圆规在 BC 边上找一点
3、 D，使ACD 为等腰三角形下列作法不正确的是（） AB CD 8 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 在函数 y? ? ?（k0，x0）的图象上，过 点 A 作 x 轴的垂线，与函数 y? ? ?（x0）的图象交于点 C，连结 BC 交 x 轴于点 D若 点 A 的横坐标为 1，BC3BD，则点 B 的横坐标为（） A? ? B2C? ? D3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）分解因式：a2+2a 10 （3 分）不等式组 ? ? ? ? ? 的所有整数解为 第 3页（共 26页） 11 （3
4、 分）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点 D 在边 AC 上，BCEF，则ADE 的 大小为度 12 （3 分） 如图是圆弧形状的铁轨示意图， 半径 OA 的长度为 200 米， 圆心角AOB90， 则这段铁轨的长度为米 （铁轨的宽度忽略不计，结果保留） 13 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 AOB 的斜边 OA 在 y 轴上，OA 2，点 B 在第一象限标记点 B 的位置后，将AOB 沿 x 轴正方向平移至A1O1B1的位 置，使 A1O1经过点 B，再标记点 B1的位置，继续平移至A2O2B2的位置，使 A2O2经过 点 B1，此时点 B2的坐标为 14 （3 分）如
5、图，在平面直角坐标系中，点 A（2，4）在抛物线 yax2上，过点 A 作 y 轴 的垂线，交抛物线于另一点 B，点 C、D 在线段 AB 上，分别过点 C、D 作 x 轴的垂线交 抛物线于E、 F两点 当四边形CDFE为正方形时， 线段CD的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15 （6 分）先化简，再求值： （a+2） （a2）+a（1a） ，其中 a? ?4 16 （6 分）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字 1、2、3，每个小球除数字 不同外其余均相同小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜， 第 4页（
6、共 26页） 摸到相同数字记为平局小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从 口袋中摸出一个小球用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率 17 （6 分）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的 售价仅比普通大米多 2 元，用 420 元购买的有机大米与用 300 元购买的普通大米的重量 相同求每千克有机大米的售价为多少元？ 18 （7 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC4，BD8，点 E 在边 AD 上，AE? ? ?AD，连结 BE 交 AC 于点 M （1）求 AM 的长 （2）tanMBO 的值为 19
7、 （7 分）稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查阅 相关资料得到如下信息： 长春市2020年的粮食总产量达到960万吨， 比上年增长约9% 其 中玉米产量增长约 12%，水稻产量下降约 2%，其他农作物产量下降约 10% 根据以上信息回答下列问题： （1）2020 年玉米产量比 2019 年玉米产量多万吨 （2）扇形统计图中 n 的值为 （3）计算 2020 年水稻的产量 （4） 小明发现如果这样计算 2020 年粮食总产量的年增长率： ? ? ?0， 就与 2020 年粮食总产量比上年增长约 9%不符，请说明原因 第 5页（共 26页） 20 （7 分）图、图、
8、图均是 44 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每 个小正方形的顶点称为格点，点 A、B、C 均为格点只用无刻度的直尺，分别在给定的 网格中找一格点 M，按下列要求作图： （1）在图中，连结 MA、MB，使 MAMB； （2）在图中，连结 MA、MB、MC，使 MAMBMC； （3）在图中，连结 MA、MC，使AMC2ABC 21 （8 分） 九章算术中记载，浮箭漏（图）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶 组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀 速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间某学校 STEAM 小组仿制了一套浮箭漏，并从函 数角度进行了如下实验
9、探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每 2 小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间 x（小时）02468 箭尺读数 y（厘米）618304254 【探索发现】建立平面直角坐标系，如图，横轴表示供水时间 x纵轴表示箭尺读 数 y，描出以表格中数据为坐标的各点 观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求 出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由 【结论应用】应用上述发现的规律估算： 供水时间达到 12 小时时，箭尺的读数为多少厘米？ 如果本次实验记录的开始时间是上午 8： 00， 那当箭尺读数为 90 厘米时是几点钟？ （箭 尺最大读数为
10、100 厘米） 第 6页（共 26页） 22 （9 分）实践与探究 操作一：如图，已知正方形纸片 ABCD，将正方形纸片沿过点 A 的直线折叠，使点 B 落在正方形 ABCD 的内部，点 B 的对应点为点 M，折痕为 AE，再将纸片沿过点 A 的直 线折叠，使 AD 与 AM 重合，折痕为 AF，则EAF度 操作二：如图，将正方形纸片沿 EF 继续折叠，点 C 的对应点为点 N我们发现，当 点 E 的位置不同时，点 N 的位置也不同当点 E 在 BC 边的某一位置时，点 N 恰好落在 折痕 AE 上，则AEF度 在图中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设 AM 与 NF 的交点为点
11、 P求证：ANPFNE； （2）若 AB?，则线段 AP 的长为 23 （10 分）如图，在ABC 中，C90，AB5，BC3，点 D 为边 AC 的中点动 点 P 从点 A 出发，沿折线 ABBC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当点 P 不与 点 A、C 重合时，连结 PD作点 A 关于直线 PD 的对称点 A，连结 AD、AA设 点 P 的运动时间为 t 秒 （1）线段 AD 的长为； （2）用含 t 的代数式表示线段 BP 的长； 第 7页（共 26页） （3）当点 A在ABC 内部时，求 t 的取值范围； （4）当AAD 与B 相等时，直接写出 t 的值 24 （12 分
12、）在平面直角坐标系中，抛物线 y2（xm）2+2m（m 为常数）的顶点为 A （1）当 m? ? ?时，点 A 的坐标是 ，抛物线与 y 轴交点的坐标 是； （2）若点 A 在第一象限，且 OA?，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出 函数值 y 随 x 的增大而减小时 x 的取值范围； （3）当 x2m 时，若函数 y2（xm）2+2m 的最小值为 3，求 m 的值； （4）分别过点 P（4，2） 、Q（4，22m）作 y 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点 M、N 当 抛物线 y2（xm）2+2m 与四边形 PQNM 的边有两个交点时，将这两个交点分别记为 点 B、点 C，且点 B 的纵
13、坐标大于点 C 的纵坐标若点 B 到 y 轴的距离与点 C 到 x 轴的 距离相等，直接写出 m 的值 第 8页（共 26页） 2021 年吉林省长春市中考数学试卷年吉林省长春市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）（2）的值为（） A? ? B? ? ? C2D2 【解答】解：（2）的值为 2 故选：C 2 （3 分）据报道，我省今年前 4 个月货物贸易进出口总值为 52860000000 元人民币，比去 年同期增长 28.2%其中 52860000000 这
14、个数用科学记数法表示为（） A0.52861011B5.2861010 C52.86109D5286107 【解答】解：528600000005.2861010 故选：B 3 （3 分）如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（） A圆锥B长方体C球D圆柱 【解答】解：由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视图为圆形可得 为圆柱 故选：D 4 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x26x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是 （） A8B9C10D11 【解答】解：根据题意得（6）24m0， 解得 m9 故选：A 第 9页（共 26页） 5 （3 分）如图是净月潭国家森林公
15、园一段索道的示意图已知 A、B 两点间的距离为 30 米，A，则缆车从 A 点到达 B 点，上升的高度（BC 的长）为（） A30sin米B ? ?th?米 C30cos米D ? ?t?米 【解答】解：由图可知，在ABC 中，ACBC， sin? ? ? ? ? ?， BC30sin米 故选：A 6 （3 分）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，若BAC35，则ACB 的大小 为（） A35B45C55D65 【解答】解：BC 是O 的切线，AB 是O 的直径， ABBC， ABC90， ACB90BAC903555 故选：C 7 （3 分）在ABC 中，BAC90，ABAC用无刻度
16、的直尺和圆规在 BC 边上找一点 D，使ACD 为等腰三角形下列作法不正确的是（） AB 第 10页（共 26页） CD 【解答】解：A、由作图可知 AD 是ABC 的角平分线，推不出ADC 是等腰三角形， 本选项符合题意 B、由作图可知 CACD，ADC 是等腰三角形，本选项不符合题意 C、由作图可知 DACD，ADC 是等腰三角形，本选项不符合题意 D、由作图可知 BDCD，推出 ADDCBD，ADC 是等腰三角形，本选项不符合题 意 故选：A 8 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 在函数 y? ? ?（k0，x0）的图象上，过 点 A 作 x 轴的垂线，与函数 y? ? ?
17、（x0）的图象交于点 C，连结 BC 交 x 轴于点 D若 点 A 的横坐标为 1，BC3BD，则点 B 的横坐标为（） A? ? B2C? ? D3 【解答】解：作 BEx 轴于 E， ACBE， CDFBDE， t ? ? ?t ? ? ? ?， BC3BD， t ? ? ?t ? ? ? ?， 第 11页（共 26页） CF2BE，DF2DE， 设 B（? ?，b） ， C（1，2b） ， 函数 y? ? ?（x0）的图象交于点 C， k1（2b）2b， k2b， B 的横坐标为? ? ? ? ? ?2， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题
18、3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）分解因式：a2+2aa（a+2） 【解答】解：a2+2aa（a+2） 10 （3 分）不等式组 ? ? ? ? ? 的所有整数解为0、1 【解答】解：解不等式 2x1，得：x0.5， 则不等式组的解集为0.5x1， 不等式组的整数解为 0、1， 故答案为：0、1 11 （3 分）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点 D 在边 AC 上，BCEF，则ADE 的 大小为75度 第 12页（共 26页） 【解答】解：如图，C30，E45， BCEF， 1E45， ADE1+C45+3075， 故答案为：75 12 （3 分） 如图是圆弧形状的铁轨示意图
19、， 半径 OA 的长度为 200 米， 圆心角AOB90， 则这段铁轨的长度为100米 （铁轨的宽度忽略不计，结果保留） 【解答】解：圆弧长是：?t? ? ?100（米） 故答案是：100 13 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 AOB 的斜边 OA 在 y 轴上，OA 2，点 B 在第一象限标记点 B 的位置后，将AOB 沿 x 轴正方向平移至A1O1B1的位 置，使 A1O1经过点 B，再标记点 B1的位置，继续平移至A2O2B2的位置，使 A2O2经过 点 B1，此时点 B2的坐标为（3，1） 【解答】解：如图所示，过点 B 作 BPy 轴于点 P， ABO 是等腰直角
20、三角形，OA2， 第 13页（共 26页） APOP1，AOB45， BPO 是等腰直角三角形， BPPO1， 由题意知点 B2的坐标为（3，1） ， 故答案为： （3，1） 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，4）在抛物线 yax2上，过点 A 作 y 轴 的垂线，交抛物线于另一点 B，点 C、D 在线段 AB 上，分别过点 C、D 作 x 轴的垂线交 抛物线于 E、F 两点当四边形 CDFE 为正方形时，线段 CD 的长为2+2 ? 【解答】解：把 A（2，4）代入 yax2中得 44a， 解得 a1， yx2， 设点 C 横坐标为 m，则 CDCE2m， 点 E 坐标为
21、（m，42m） ， m242m， 解得 m1?（舍）或 m1? CD2m2+2 ? 故答案为：2+2 ? 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15 （6 分）先化简，再求值： （a+2） （a2）+a（1a） ，其中 a? ?4 【解答】解：原式a24+aa2 a4， 当 a? ?4 时，原式? ?44? 16 （6 分）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字 1、2、3，每个小球除数字 不同外其余均相同小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜， 摸到相同数字记为平局小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从
22、口袋中摸出一个小球用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率 第 14页（共 26页） 【解答】解：画树状图如图： 共有 9 种等可能的结果，小明获胜的结果有 3 种， 小明获胜的概率为? ? ? ? ? 17 （6 分）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的 售价仅比普通大米多 2 元，用 420 元购买的有机大米与用 300 元购买的普通大米的重量 相同求每千克有机大米的售价为多少元？ 【解答】解：设每千克有机大米的售价为 x 元，则每千克普通大米的售价为（x2）元， 依题意得：? ? ? ? ?， 解得：x7， 经检验，x7 是原方程的解，且符合题意 答：
23、每千克有机大米的售价为 7 元 18 （7 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC4，BD8，点 E 在边 AD 上，AE? ? ?AD，连结 BE 交 AC 于点 M （1）求 AM 的长 （2）tanMBO 的值为 ? ? 【解答】解： （1）在菱形 ABCD 中， ADBC，ADBC， AEMCBM， ? ? ? ? ?， AE? ? ?AD， 第 15页（共 26页） AE? ? ?BC， ? ? ? ? ? ? ? ?， AM? ? ?CM? ? ?AC1 （2）AO? ? ?AC2，BO? ? ?BD4，ACBD， BOM90，AMOM? ? ?
24、AO1， tanMBO? ? ? ? ? ? 故答案为：? ? 19 （7 分）稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查阅 相关资料得到如下信息： 长春市2020年的粮食总产量达到960万吨， 比上年增长约9% 其 中玉米产量增长约 12%，水稻产量下降约 2%，其他农作物产量下降约 10% 根据以上信息回答下列问题： （1）2020 年玉米产量比 2019 年玉米产量多85万吨 （2）扇形统计图中 n 的值为15 （3）计算 2020 年水稻的产量 （4） 小明发现如果这样计算 2020 年粮食总产量的年增长率： ? ? ?0， 就与 2020 年粮食总产量比上年增
25、长约 9%不符，请说明原因 【解答】解： （1）79270785（万吨） ， 故答案为：85； （2）182.5%2.5%15%， n15， 第 16页（共 26页） 故答案为：15； （3）147（12%）144.06（万吨） ， 答：2020 年水稻的产量为 144.06 万吨； （4）正确的计算方法为： （792+144.06+2470714727）（707+147+27）100% 9%， 因为题中式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算 20 （7 分）图、图、图均是 44 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每 个小正方形的顶点称为格点，点 A、B、C 均为格点只用无刻度的
26、直尺，分别在给定的 网格中找一格点 M，按下列要求作图： （1）在图中，连结 MA、MB，使 MAMB； （2）在图中，连结 MA、MB、MC，使 MAMBMC； （3）在图中，连结 MA、MC，使AMC2ABC 【解答】解：如图， 21 （8 分） 九章算术中记载，浮箭漏（图）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶 组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀 速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间某学校 STEAM 小组仿制了一套浮箭漏，并从函 数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每 2 小时记录一次箭尺读数，得到如表： 第 17页（共 26页
27、） 供水时间 x（小时）02468 箭尺读数 y（厘米）618304254 【探索发现】建立平面直角坐标系，如图，横轴表示供水时间 x纵轴表示箭尺读 数 y，描出以表格中数据为坐标的各点 观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求 出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由 【结论应用】应用上述发现的规律估算： 供水时间达到 12 小时时，箭尺的读数为多少厘米？ 如果本次实验记录的开始时间是上午 8： 00， 那当箭尺读数为 90 厘米时是几点钟？ （箭 尺最大读数为 100 厘米） 【解答】解： 【探索发现】如图， 观察上述各点的分布规律，可
28、得它们是否在同一条直线上， 设这条直线所对应的函数表达式为 ykx+b， 第 18页（共 26页） 则 ? ? ? ? ? ? ?， 解得： ? ? ? ? ? ?， y6x+6； 【结论应用】应用上述发现的规律估算： x12 时，y612+678， 供水时间达到 12 小时时，箭尺的读数为 78 厘米； y90 时，6x+690，解得：x14， 供水时间为 14 小时， 本次实验记录的开始时间是上午 8：00，8：00+1422：00， 当箭尺读数为 90 厘米时是 22 点钟 22 （9 分）实践与探究 操作一：如图，已知正方形纸片 ABCD，将正方形纸片沿过点 A 的直线折叠，使点 B
29、落在正方形 ABCD 的内部，点 B 的对应点为点 M，折痕为 AE，再将纸片沿过点 A 的直 线折叠，使 AD 与 AM 重合，折痕为 AF，则EAF45度 操作二：如图，将正方形纸片沿 EF 继续折叠，点 C 的对应点为点 N我们发现，当 点 E 的位置不同时，点 N 的位置也不同当点 E 在 BC 边的某一位置时，点 N 恰好落在 折痕 AE 上，则AEF60度 在图中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设 AM 与 NF 的交点为点 P求证：ANPFNE； （2）若 AB?，则线段 AP 的长为2 ? ?2 【解答】操作一： 解：四边形 ABCD 是正方形， CBAD90，
30、第 19页（共 26页） 由折叠的性质得：BAEMAE，DAFMAF， MAE+MAFBAE+DAF? ? ?BAD45， 即EAF45， 故答案为：45； 操作二： 解：四边形 ABCD 是正方形， BC90， 由折叠的性质得：NFECFE，ENFC90，AFDAFM， ANF1809090， 由操作一得：EAF45， ANF 是等腰直角三角形， AFN45， AFDAFM45+NFE， 2（45+NFE）+CFE180， NFECFE30， AEF903060， 故答案为：60； （1）证明：ANF 是等腰直角三角形， ANFN， AMFANF90，APNFPM， NAPNFE30， 在A
31、NP 和FNE 中， ? ?t? ? ? ? ? t? ? ? ?t? ， ANPFNE（ASA） ； （2）由（1）得：ANPFNE， APFE，PNEN， NFECFE30，ENFC90， NEFCEF60， 第 20页（共 26页） AEB60， B90， BAE30， BE? ? ? AB1， AE2BE2， 设 PNENa， ANP90，NAP30， AN?PN?a，AP2PN2a， AN+ENAE， ?a+a2， 解得：a? ?1， AP2a2 ? ?2， 故答案为：2 ? ?2 23 （10 分）如图，在ABC 中，C90，AB5，BC3，点 D 为边 AC 的中点动 点 P 从
32、点 A 出发，沿折线 ABBC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当点 P 不与 点 A、C 重合时，连结 PD作点 A 关于直线 PD 的对称点 A，连结 AD、AA设 点 P 的运动时间为 t 秒 （1）线段 AD 的长为2； （2）用含 t 的代数式表示线段 BP 的长； （3）当点 A在ABC 内部时，求 t 的取值范围； （4）当AAD 与B 相等时，直接写出 t 的值 【解答】解： （1）在 RtABC 中，由勾股定理得： AC? ?4， AD? ? ?AC2 第 21页（共 26页） 故答案为：2 （2）当 0t5 时，点 P 在线段 AB 上运动，PBABAP5t，
33、当 5t8 时，点 P 在 BC 上运动，PBt5 综上所述，PB? ? ? ? ? ? ? ? （3）如图，当点 A落在 AB 上时，DPAB， APt，AD2，cosA? ? ?， 在 RtAPD 中，cosA? ? ? ? ? ? ? ? ?， t? ? ? 如图，当点 A落在 BC 边上时，DPAC， APt，AD2，cosA? ? ?， 在 RtAPD 中，cosA? ? ? ? ? ? ? ? ?， t? ? ? 如图，点 A运动轨迹为以 D 为圆心，AD 长为半径的圆上， 第 22页（共 26页） ? ? t ? ?时，点 A在ABC 内部 （4）如图，0t5 时， AADBAA
34、D， ADP+AADBAC+B90， ADPBAC， AE? ? ?AD1， cosA? ? ? ? ? ? ? ? ?， t? ? ? 如图，当 5t8 时， 第 23页（共 26页） AABBAAD， BAC+B90， BAC+AAD90， PEBA， DPCB， 在 RtPCD 中，CD? ? ? ? ?2，CP8t，tanDPC? ? ?， tanDPC? ? ? ? ? ? ? ? ?， t? ? ? 综上所述，t? ? ?或 ? ? 24 （12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 y2（xm）2+2m（m 为常数）的顶点为 A （1） 当 m? ? ?时， 点 A 的坐标是 （? ?
35、， 1） ， 抛物线与 y 轴交点的坐标是 （0， ? ?） ； （2）若点 A 在第一象限，且 OA?，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出 函数值 y 随 x 的增大而减小时 x 的取值范围； （3）当 x2m 时，若函数 y2（xm）2+2m 的最小值为 3，求 m 的值； （4）分别过点 P（4，2） 、Q（4，22m）作 y 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点 M、N 当 抛物线 y2（xm）2+2m 与四边形 PQNM 的边有两个交点时，将这两个交点分别记为 点 B、点 C，且点 B 的纵坐标大于点 C 的纵坐标若点 B 到 y 轴的距离与点 C 到 x 轴的 距离相等，直接写出
36、 m 的值 第 24页（共 26页） 【解答】解： （1）当 m? ? ?时，y2（x? ? ?） 2+1， 顶点 A（? ?，1） ， 令 x0，得 y? ? ?， 抛物线与 y 轴交点的坐标为（0，? ?） ， 故答案为： （? ?，1） ， （0， ? ?） ； （2）点 A（m，2m）在第一象限，且 OA?， m2+（2m）2（ ?）2，且 m0， 解得：m1， 抛物线的解析式为 y2（x1）2+2，当 x1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小； （3）当 x2m 时，若函数 y2（xm）2+2m 的最小值为 3， 分两种情况：2mm，即 m0 时，或 2mm，即 m0 时， 当 m
37、0 时，2（2mm）2+2m3， 解得：m? ? ? ? （舍）或 m? ? ? ? ， 当 m0 时，2（mm）2+2m3， 解得：m? ? ?， 综上所述，m 的值为? ?或? ? ? ? ； （4）如图 1，当 m0 时，P（4，2） 、Q（4，22m） ， M（m，2） ，N（m，22m） ， 抛物线 y2（xm）2+2m 与四边形 PQNM 的边有两个交点，若点 B 在 PM 边上，点 C 第 25页（共 26页） 在 MN 边上， 令 y2，则 22（xm）2+2m， xm? ? ? 或 xm? ? ?（不合题意，应舍去） ， B（m? ? ?，2） ，C（m，2m） ， 根据题意
38、，得 2mm? ? ?， 解得：m? ? ? 或 m? ? ? ? （不合题意，应舍去） ； 若点 B 在 PM 边上，点 C 在 NQ 边上， 则 22mm? ? ?， 解得：m? ? ? ? ， 经检验，m? ? ? ? 不符合题意，舍去， m? ? ? ? ， 若点 B 在 PQ 边上，点 C 在 NQ 边上， 则 422m， 解得：m10，不合题意，舍去； 当 m0 时，如图 2， 若点 B 在 NQ 边上，点 C 在 PM 边上， 则 22m2（xm）2+2m， xm? ? ?或 xm? ? ?（舍去） ， |m? ? ?|2， 当 m? ? ? ?2 时，得 m22m+30， （2
39、）241380， 该方程无解； 当 m? ? ? ?2 时，得 m2+6m+30， 解得：m3?或 m3?， 当 m3?时，|m? ? ?|2 ? ?42，不符合题意，舍去， m3?； 若点 B 在 NQ 边上，点 C 在 MN 边上， 则|m? ? ?|2m|， 第 26页（共 26页） m? ? ? ?2m 或 m? ? ? ?2m， m0， m? ? ? 或 m1?， 经验证，m? ? ? 或 m1?，均不符合题意； 若点 B 在 PQ 边上，点 C 在 PM 边上， 显然点 B 到 y 轴的距离为 4，点 C 到 x 轴的距离为 2，不符合题意； 综上所述，m 的值为 ? ? 或? ? ? 或3?
