1、第 1页（共 28页） 2021 年四川省达州市中考数学试卷年四川省达州市中考数学试卷 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）? ? ?的相反数是（ ） A? ? B? ? C? ? ? D? ? ? 2 （3 分）如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（） ABCD 3 （3 分）实数 ? ?1 在数轴上的对应点可能是（） AA 点BB 点CC 点DD 点 4 （3 分）下列计算正确的是（） A ? ? ?B ? ? ?3 Caa 11（a0） D （3a2b2）26a4b4 5 （3 分）如图，一束光线 AB 先后经平面镜
2、OM，ON 反射后，反射光线 CD 与 AB 平行， 当ABM40时，DCN 的度数为（） A40B50C60D80 6 （3 分）在反比例函数 y? ? ? （k 为常数）上有三点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3， y3） ，若 x10 x2x3，则 y1，y2，y3的大小关系为（） Ay1y2y3By2y1y3Cy1y3y2Dy3y2y1 第 2页（共 28页） 7 （3 分）以下命题是假命题的是（） A ?的算术平方根是 2 B有两边相等的三角形是等腰三角形 C一组数据：3，1，1，1，2，4 的中位数是 1.5 D过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 8 （3
3、分） 生活中常用的十进制是用 09 这十个数字来表示数， 满十进一， 例： 12110+2， 21221010+110+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用 0F 来表示 015，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进 制 012891011121314151617 十六 进制 01289ABCDEF1011 例：十六进制 2B 对应十进制的数为 216+1143，10C 对应十进制的数为 11616+0 16+12268，那么十六进制中 14E 对应十进制的数为（） A28B62C238D334 9 （3 分）在平面直角坐标系中，等边AOB 如图放置，点 A 的坐标为（1，0）
4、 ，每一次将 AOB 绕着点 O 逆时针方向旋转 60，同时每边扩大为原来的 2 倍， 第一次旋转后得到 A1OB1，第二次旋转后得到A2OB2，依次类推，则点 A2021的坐标为（） A （22020，? ?22020）B （22021，? ?22021） C （22020，? ?22020）D （22021，? ?22021） 10 （3 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）经过点（2，0） ，且对 第 3页（共 28页） 称轴为直线 x? ? ?，有下列结论：abc0；a+b0；4a+2b+3c0；无论 a，b， c 取何值，抛物线一定经过（ ? ?t，0
5、） ；4am 2+4bmb0其中正确结论有（ ） A1 个B2 个C3 个D4 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）截至 2020 年末，达州市金融精准扶贫共计 392.5 亿元，居全省第 2，惠及建档 立卡贫困户 8.96 万人,将 392.5 亿元用科学记数法表示应为元 12 （3 分）如图是一个运算程序示意图，若开始输入 x 的值为 3，则输出 y 值为 13 （3 分）已知 a，b 满足等式 a2+6a+9? ? ? ? ?0，则 a2021b2020 14 （3 分）如图，将一把矩形直尺 ABCD 和一块等腰直角三角板 EFG
6、摆放在平面直角坐标 系中，AB 在 x 轴上，点 G 与点 A 重合，点 F 在 AD 上，EF 交 BC 于点 M，反比例函数 y? ? ?（x0）的图象恰好经过点 F，M，若直尺的宽 CD1，三角板的斜边 FG4，则 k 15 （3 分）若分式方程?t ? ?4? ?t ? 的解为整数，则整数 a 16 （3 分）如图，在边长为 6 的等边ABC 中，点 E，F 分别是边 AC，BC 上的动点，且 AECF，连接 BE，AF 交于点 P，连接 CP，则 CP 的最小值为 第 4页（共 28页） 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共三、解答题：解答时应写出必要的文字
7、说明、证明过程或演算步骤（共 72 分）分） 17 （5 分）计算：12+（2021）0+2sin60|1?| 18 （7 分）化简求值： （1? ?t? t? ）( t? t?t?)，其中 a 与 2，3 构成三角形的三边，且 a 为整数 19 （7 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童 心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动,为了 解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动” （必选且只 选一种）的问卷调查根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）这次抽样调查的总人数
8、为人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数 为； （2）若该校有 1400 名学生，估计选择参加书法的有多少人？ （3）学校准备从推荐的 4 位同学（两男两女）中选取 2 人主持活动，利用画树状图或表 格法求恰为一男一女的概率 20 （7 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是 A（0，4） ，B（0，2） ， C（3，2） （1）将ABC 以 O 为旋转中心旋转 180，画出旋转后对应的A1B1C1； （2）将ABC 平移后得到A2B2C2，若点 A 的对应点 A2的坐标为（2，2） ，求A1C1C2 第 5页（共 28页） 的面积 21 （7 分）2021 年，达州河边新建
9、成了一座美丽的大桥某学校数学兴趣小组组织了一次 测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为 30的河床斜坡边，斜坡 BC 长为 48 米， 在点 D 处测得桥墩最高点 A 的仰角为 35，CD 平行于水平线 BM，CD 长为 16 ?米， 求桥墩 AB 的高（结果保留 1 位小数） （sin350.57，cos350.82，tan350.70， ? ?1.73） 22 （8 分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为 30 元/千克，根据市场 调查发现，批发价定为 48 元/千克时，每天可销售 500 千克，为增大市场占有率，在保 证盈利的情况下， 工厂采取降价措施， 批发价每千克降
10、低 1 元， 每天销量可增加 50 千克 （1）写出工厂每天的利润 W 元与降价 x 元之间的函数关系当降价 2 元时，工厂每天 的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ （3）若工厂每天的利润要达到 9750 元，并让利于民，则定价应为多少元？ 23 （8 分）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点（C 不与点 A，B 重合）连接 AC，BC， 过点 C 作 CDAB，垂足为点 D将ACD 沿 AC 翻折，点 D 落在点 E 处得ACE，AE 交O 于点 F 第 6页（共 28页） （1）求证：CE 是O 的切线； （2）若BAC15，OA2，求阴影部分
11、面积 24 （12 分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下 探究： 【观察与猜想】 （1）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，AD 上的两点，连接 DE，CF， DECF，则? ?t的值为 ； （2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AD7，CD4，点 E 是 AD 上的一点，连接 CE，BD， 且 CEBD，则? ?的值为 ； 【类比探究】 （3）如图 3，在四边形 ABCD 中，AB90，点 E 为 AB 上一点，连接 DE，过 点 C 作 DE 的垂线交 ED 的延长线于点 G，交 AD 的延长线于点 F，求证：DEABCF AD；
12、 第 7页（共 28页） 【拓展延伸】 （4）如图 4，在 RtABD 中，BAD90，AD9，tanADB? ? ?，将ABD 沿 BD 翻折，点 A 落在点 C 处得CBD，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，连接 DE，CF，DE CF 求? ?t的值； 连接 BF，若 AE1，直接写出 BF 的长度 25 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于点 A 和 C（1，0） ， 交 y 轴于点 B（0，3） ，抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，交抛物线于点 F （1）求抛物线的解析式； （2） 将线段 OE 绕着点 O 沿顺时针方向旋转得到线段 OE，
13、 旋转角为 （090） ， 连接 AE，BE，求 BE? ? ?AE的最小值； （3）M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 N 的横坐标；若不存在，请说明理由 第 8页（共 28页） 2021 年四川省达州市中考数学试卷年四川省达州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）? ? ?的相反数是（ ） A? ? B? ? C? ? ? D? ? ? 【解答】解：? ? ?的相反数是 ? ? 故选：B 2 （
14、3 分）如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（） ABCD 【解答】解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较窄的矩形 故选：A 3 （3 分）实数 ? ?1 在数轴上的对应点可能是（） AA 点BB 点CC 点DD 点 【解答】解：124， 1?2， 2? ?13， 则实数 ? ?1 在数轴上的对应点可能是点 D， 故选：D 4 （3 分）下列计算正确的是（） A ? ? ?B ? ? ?3 Caa 11（a0） D （3a2b2）26a4b4 【解答】解：A. ? ?无法合并，故此选项错误； 第 9页（共 28页） B. ? ? ?3，故此选项错误； Caa 1?t t
15、 ?1（a0） ，故此选项正确； D （3a2b2）29a4b4，故此选项错误； 故选：C 5 （3 分）如图，一束光线 AB 先后经平面镜 OM，ON 反射后，反射光线 CD 与 AB 平行， 当ABM40时，DCN 的度数为（） A40B50C60D80 【解答】解：ABM40，ABMOBC, OBC40， ABC180ABMOBC1804040100， CDAB， ABC+BCD180， BCD180ABC80， BCODCN，BCO+BCD+DCN180， DCN? ? ?(180BCD)50， 故选：B 6 （3 分）在反比例函数 y? ? ? （k 为常数）上有三点 A（x1，y1
16、） ，B（x2，y2） ，C（x3， y3） ，若 x10 x2x3，则 y1，y2，y3的大小关系为（） Ay1y2y3By2y1y3Cy1y3y2Dy3y2y1 【解答】解：k2+10， 反比例函数图象在第一、三象限， x10 x2x3， y10，0y3y2， 第 10页（共 28页） y1y3y2 故选：C 7 （3 分）以下命题是假命题的是（） A ?的算术平方根是 2 B有两边相等的三角形是等腰三角形 C一组数据：3，1，1，1，2，4 的中位数是 1.5 D过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【解答】解：A、 ? ?2 的算术平方根是 ?，原命题是假命题，符合题意； B、有
17、两边相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意； C、一组数据：3，1，1，1，2，4 的中位数是 1.5，原命题是真命题，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是真命题，不符合题意； 故选：A 8 （3 分） 生活中常用的十进制是用 09 这十个数字来表示数， 满十进一， 例： 12110+2， 21221010+110+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用 0F 来表示 015，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进 制 012891011121314151617 十六 进制 01289ABCDEF1011 例：十六进制 2B 对应十进制的数
18、为 216+1143，10C 对应十进制的数为 11616+0 16+12268，那么十六进制中 14E 对应十进制的数为（） A28B62C238D334 【解答】解：由题意得 14E11616+416+14334 故选：D 9 （3 分）在平面直角坐标系中，等边AOB 如图放置，点 A 的坐标为（1，0） ，每一次将 AOB 绕着点 O 逆时针方向旋转 60，同时每边扩大为原来的 2 倍， 第一次旋转后得到 A1OB1，第二次旋转后得到A2OB2，依次类推，则点 A2021的坐标为（） 第 11页（共 28页） A （22020，? ?22020）B （22021，? ?22021） C
19、（22020，? ?22020）D （22021，? ?22021） 【解答】解：由已知可得： 第一次旋转后，A1在第一象限，OA12， 第二次旋转后，A2在第二象限，OA222， 第三次旋转后，A3在 x 轴负半轴，OA323， 第四次旋转后，A4在第三象限，OA424， 第五次旋转后，A5在第四象限，OA525， 第六次旋转后，A6在 x 轴正半轴，OA626， . 如此循环，每旋转 6 次，A 的对应点又回到 x 轴正半轴，而 20216336+5， A2021在第四象限，且 OA202122021，示意图如下： OH? ? ?OA20212 2020，A2021H? ?OH? ?220
20、20， 第 12页（共 28页） A2021（ （22020，? ?22020） ， 故选：C 10 （3 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）经过点（2，0） ，且对 称轴为直线 x? ? ?，有下列结论：abc0；a+b0；4a+2b+3c0；无论 a，b， c 取何值，抛物线一定经过（ ? ?t，0） ；4am 2+4bmb0其中正确结论有（ ） A1 个B2 个C3 个D4 个 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x? ? ?，即对称轴在 y 轴的右侧， ab0， 抛物线与 y 轴交在负半轴上， c0， abc0， 故正确； 抛物线的对称轴为直线 x? ?
21、 ?， ? ? ?t ? ? ?， 2b2a， a+b0， 故不正确； 抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）经过点（2，0） ， 4a+2b+c0， c0， 4a+2b+3c0， 故正确； 第 13页（共 28页） 由对称得：抛物线与 x 轴另一交点为（1，0） ， t ? ? ? ? ?t? ? ? ? ?， c2a， ? ?t ?1， 当 a0，无论 b，c 取何值，抛物线一定经过（ ? ?t，0） ， 故正确； ba， 4am2+4bmb4am24am+aa（4m24m+1）a（2m1）2， a0， a（2m1）20，即 4am2+4bmb0， 故正确； 本题正确的有：
22、，共 4 个 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）截至 2020 年末，达州市金融精准扶贫共计 392.5 亿元，居全省第 2，惠及建档 立卡贫困户 8.96 万人,将 392.5 亿元用科学记数法表示应为3.9251010元 【解答】解：392.5 亿392500000003.9251010 故答案为：3.9251010 12 （3 分）如图是一个运算程序示意图，若开始输入 x 的值为 3，则输出 y 值为2 【解答】解：34， 把 x3 代入 y|x|1 得 y312， 故答案为 2 13 （3 分）已知 a，b 满足等式 a2
23、+6a+9? ? ? ? ?0，则 a2021b20203 【解答】解：a2+6a+9? ? ? ? ?0， （a+3）2? ? ? ? ?0， 第 14页（共 28页） a+30，b? ? ? ?0， 解得：a3，b? ? ?， 则 a2021b2020（3）2021（? ?） 20203（3? ?） 20203 故答案为：3 14 （3 分）如图，将一把矩形直尺 ABCD 和一块等腰直角三角板 EFG 摆放在平面直角坐标 系中，AB 在 x 轴上，点 G 与点 A 重合，点 F 在 AD 上，EF 交 BC 于点 M，反比例函数 y? ? ?（x0）的图象恰好经过点 F，M，若直尺的宽 C
24、D1，三角板的斜边 FG4，则 k 12 【解答】解：过点 M 作 MNAD，垂足为 N，则 MNCD1， 在 RtFMN 中，MFN45， FNMN1 又FG4， NAMBFGFN413， 设 OAa，则 OBa+1， 点 F（a，4） ，M（a1，3） ， 又反比例函数 y? ? ?（x0）的图象恰好经过点 F，M， k4a3（a1） ， 解得，a3， k4a12， 故答案为：12 第 15页（共 28页） 15 （3 分）若分式方程?t ? ?4? ?t ? 的解为整数，则整数 a1 【解答】解：方程两边同时乘以（x+1） （x1）得（2xa） （x+1）4（x+1） （x1） （x1）
25、 （2x+a） ， 整理得2ax4， 整理得 ax2， x，a 为整数， a1 或 a2， x1 为增根， a2， a1 故答案为：1 16 （3 分）如图，在边长为 6 的等边ABC 中，点 E，F 分别是边 AC，BC 上的动点，且 AECF，连接 BE，AF 交于点 P，连接 CP，则 CP 的最小值为2 ? 【解答】解：ABC 是等边三角形， ABACBC，CABACB60， 在ABE 和CAF 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ?t ， ABECAF（SAS） ， 第 16页（共 28页） ABECAF， BPFPAB+ABPCAP+BAP60， APB120， 如图，过点 A，
26、点 P，点 B 作O，连接 CO，PO， 点 P 在? ?上运动， AOOPOB， OAPOPA，OPBOBP，OABOBA， AOB360OAPOPAOPBOBP120， OAB30， CAO90， ACBC，OAOB， CO 垂直平分 AB， ACO30， cosACO? ? ? ? ? ? ，CO2AO， CO4 ?， AO2 ?， 在CPO 中，CPCOOP， 当点 P 在 CO 上时，CP 有最小值， CP 的最小值4 ? ?2 ? ?2 ?， 故答案为 2 ? 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（
27、共 72 分）分） 第 17页（共 28页） 17 （5 分）计算：12+（2021）0+2sin60|1?| 【解答】解：原式1+1+2 ? ? ?（ ? ?1） 1+1? ? ?1 1 18 （7 分）化简求值： （1? ?t? t? ）( t? t?t?)，其中 a 与 2，3 构成三角形的三边，且 a 为整数 【解答】解：原式? t?t? t? ?t? ? t? ? ?t? t? ?t? ? t? 2(a2) 2a+4, a 与 2，3 构成三角形的三边， 32a3+2, 1a5, a 为整数， a2,3 或 4， 又a20,a40, a2 且 a4, a3, 原式2a+4 23+4
28、6+4 2 19 （7 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童 心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动,为了 解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动” （必选且只 选一种）的问卷调查根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）这次抽样调查的总人数为200人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为 108； 第 18页（共 28页） （2）若该校有 1400 名学生，估计选择参加书法的有多少人？ （3）学校准备从推荐的 4 位同学（两男两女）中选取 2 人主持活动，利用画树
29、状图或表 格法求恰为一男一女的概率 【解答】解： （1）这次抽样调查的总人数为：3618%200（人） ， 则参加舞蹈”的学生人数为：20036802460（人） ， 扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为：360 ? ? ?108， 故答案为：200，108； （2）1400 ? ? ?560（人） ， 即估计选择参加书法有 560 人； （3）画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，恰为一男一女的结果有 8 种， 恰为一男一女的概率为 ? ? ? ? ? 20 （7 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是 A（0，4） ，B（0，2） ， C（3，2） （1）将ABC
30、以 O 为旋转中心旋转 180，画出旋转后对应的A1B1C1； （2）将ABC 平移后得到A2B2C2，若点 A 的对应点 A2的坐标为（2，2） ，求A1C1C2 的面积 第 19页（共 28页） 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求 （2）如图，A2B2C2即为所求A1C1C2的面积48? ? ? ?32? ? ? ?28? ? ? ?45 11 21 （7 分）2021 年，达州河边新建成了一座美丽的大桥某学校数学兴趣小组组织了一次 测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为 30的河床斜坡边，斜坡 BC 长为 48 米， 在点 D 处测得桥墩最高点 A 的仰角为 35，CD 平
31、行于水平线 BM，CD 长为 16 ?米， 求桥墩 AB 的高（结果保留 1 位小数） （sin350.57，cos350.82，tan350.70， ? ?1.73） 【解答】解：过点 C 作 CEBM 于点 E，过点 D 作 DFBM 于点 F，延长 DC 交 AB 于 第 20页（共 28页） 点 G， 在 RtCEB 中，CBE30，BC48 米， CEBCsin30? ? ? ?4824 （米） ， BEBCcos3048 ? ? ?241.7341.52 （米） ， DGBFBE+EFBE+CD41.52+16 ? ?41.52+27.6869.2（米） ， 在 RtADG 中，A
32、GDGtanADG69.2tan3569.20.7048.44（米） ， ABAG+BGAG+CE48.44+2472.4472.4（米） ， 答：桥墩 AB 的高约为 72.4 米 22 （8 分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为 30 元/千克，根据市场 调查发现，批发价定为 48 元/千克时，每天可销售 500 千克，为增大市场占有率，在保 证盈利的情况下， 工厂采取降价措施， 批发价每千克降低 1 元， 每天销量可增加 50 千克 （1）写出工厂每天的利润 W 元与降价 x 元之间的函数关系当降价 2 元时，工厂每天 的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的
33、利润最大，最大为多少元？ （3）若工厂每天的利润要达到 9750 元，并让利于民，则定价应为多少元？ 【解答】解： （1）由题意得： W（4830 x） （500+50 x）50 x2+400 x+9000， x2 时，W（48302） （500+502）9600（元） ， 答：工厂每天的利润 W 元与降价 x 元之间的函数关系为 W50 x2+400 x+9000，当降价 2 元时，工厂每天的利润为 9600 元； （2）由（1）得：W50 x2+400 x+900050（x4）2+9800， 500， x4 时，W 最大为 9800， 即当降价 4 元时，工厂每天的利润最大，最大为 980
34、0 元； 第 21页（共 28页） （3）50 x2+400 x+90009750， 解得：x13，x25， 让利于民， x13 不合题意，舍去， 定价应为 48543（元） ， 答：定价应为 43 元 23 （8 分）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点（C 不与点 A，B 重合）连接 AC，BC， 过点 C 作 CDAB，垂足为点 D将ACD 沿 AC 翻折，点 D 落在点 E 处得ACE，AE 交O 于点 F （1）求证：CE 是O 的切线； （2）若BAC15，OA2，求阴影部分面积 【解答】 （1）证明：连接 OC， CDAB， ADC90， ACD 沿 AC 翻折得到ACE，
35、 EACBAC，AECADC90， OAOC， ACOBAC， ACOEAC， OCAE， AEC+ECO180， ECO90，即 OCCE， CE 是O 的切线； （2）解：连接 OF，过点 O 作 OGAE 于点 G， BAC15， BAE2BAC30，COF2EAC2BAC30， 第 22页（共 28页） OA2， OG? ? ?OA1，AG? ?， OAOF， AF2AG2 ?， BOC2BAC30，CDAB，OCOA2， CD? ? ?OC1，OD? ?， AEADAO+OD2?， EFAEAF2?，CECD1， S阴影S梯形OCEFS扇形OCF ? ? ? ?（2? ?2）1? ?
36、 ? ?22 2? ? ? ? ? ? 24 （12 分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下 探究： 【观察与猜想】 （1）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，AD 上的两点，连接 DE，CF， 第 23页（共 28页） DECF，则? ?t的值为 1； （2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AD7，CD4，点 E 是 AD 上的一点，连接 CE，BD， 且 CEBD，则? ?的值为 ? ? ； 【类比探究】 （3）如图 3，在四边形 ABCD 中，AB90，点 E 为 AB 上一点，连接 DE，过 点 C 作 DE 的垂线交 ED 的
37、延长线于点 G，交 AD 的延长线于点 F，求证：DEABCF AD； 【拓展延伸】 （4）如图 4，在 RtABD 中，BAD90，AD9，tanADB? ? ?，将ABD 沿 BD 翻折，点 A 落在点 C 处得CBD，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，连接 DE，CF，DE CF 求? ?t的值； 连接 BF，若 AE1，直接写出 BF 的长度 【解答】解： （1）如图 1，设 DE 与 CF 交于点 G， 四边形 ABCD 是正方形， AFDC90，ADCD， 第 24页（共 28页） DECF， DGF90， ADE+CFD90，ADE+AED90， CFDAED， 在AED 和
38、DFC 中， ? ?t? ?t? ? ? ? ? ? ， AEDDFC（AAS） ， DECF， ? ?t ?1； （2）如图 2，设 DB 与 CE 交于点 G， 四边形 ABCD 是矩形， AEDC90， CEBD， DGC90， CDG+ECD90，ADB+CDG90， ECDADB， CDEA， DECABD， ? ? ? ? ? ? ? ?， 故答案为：? ? （3）证明：如图 3，过点 C 作 CHAF 交 AF 的延长线于点 H， 第 25页（共 28页） CGEG， GHAB90， 四边形 ABCH 为矩形， ABCH，FCH+CFHDFG+FDG90， FCHFDGADE，A
39、H90， DEACFH， ? ?t ? ? ?， ? ?t ? ? ?， DEABCFAD； （4）如图 4，过点 C 作 CGAD 于点 G，连接 AC 交 BD 于点 H，CG 与 DE 相交于 点 O， CFDE，GCAD， FCG+CFGCFG+ADE90， FCGADE，BADCGF90， DEACFG， ? ?t ? ? ?t， 第 26页（共 28页） 在 RtABD 中，tanADB? ? ?，AD9， AB3， 在 RtADH 中，tanADH? ? ?， ? ? ? ? ?， 设 AHa，则 DH3a， AH2+DH2AD2， a2+（3a）292， a? ? ? ?（负值
40、舍去） ， AH? ? ? ?，DH? ? ? ?， AC2AH? ? ? ?， SADC? ? ? ? ? ? ? ? ?ADCG， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9CG， CG? ? ? ， ? ?t ? ? ?t ? ? ? ? ? ? ?； AC? ? ? ?，CG? ? ? ，AGC90， AG? ?t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由得DEACFG， ? ?t ? ? tt， 又? ?t ? ? ?，AE1， FG? ? ?， AFAGFG? ? ? ? ? ? ? ? ?， BF? ?t? ? ? ? ? ? ? ? ? 25 （11 分）如图，
41、在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于点 A 和 C（1，0） ， 交 y 轴于点 B（0，3） ，抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，交抛物线于点 F 第 27页（共 28页） （1）求抛物线的解析式； （2） 将线段 OE 绕着点 O 沿顺时针方向旋转得到线段 OE， 旋转角为 （090） ， 连接 AE，BE，求 BE? ? ?AE的最小值； （3）M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 N 的横坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）把 C（1，0） ，B（0，3）代入 yx2
42、+bx+c 中， 得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， b2，c3， yx22x+3， （2）在 OE 上取一点 D，使得 OD? ? ?OE， 连接 DE，BD， ? ? ? ? ? ? ? ? ?，对称轴 x1， E（1，0） ，OE1， OEOE1，OA3， 第 28页（共 28页） ? ? ? ? ? ? ? ?， 又DOEEOA， DOEEOA， ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 B，E，D 三点共线时，BE+DE最小为 BD， BD? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ?的最小值为 ? ? ； （3）存在， A（3，0
43、） ，B（0，3） ， 设 N（n，n22n+3） ， 则 AB218，AN2（n2+2n3）2+（n+3）2，BN2n2+（n2+2n）2， 以点 A，B，M，N 为顶点构成的四边形是矩形， ABN 是直角三角形， 若 AB 是斜边，则 AB2AN2+BN2， 即 18（n2+2n3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2， 解得：n1? ? ? ? ，? ? ? ? ， N 的横坐标为? ? ? 或? ? ? ， 若 AN 是斜边，则 AN2AB2+BN2， 即（n2+2n3）2+（n+3）218+n2+（n2+2n）2， 解得 n0（与点 B 重合，舍去）或 n1， N 的横坐标是1， 若 BN 是斜边，则 BN2AB2+AN2， 即 n2+（n2+2n）218+（n2+2n3）2+（n+3）2， 解得 n0（与点 B 重合，舍去）或 n2， N 的横坐标为 2， 综上 N 的横坐标为? ? ? ，? ? ? ，1，2
