1、第 1页（共 25页） 2021 年湖北省荆门市中考数学试卷年湖北省荆门市中考数学试卷 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 10 小题小题,每小题每小题 3 分分,共共 30 分分.在每小题中均给出了四个答案在每小题中均给出了四个答案,其中有且其中有且 只有一个正确答案只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号涂在答题卡上请将正确答案的字母代号涂在答题卡上) 1 （3 分）2021 的相反数的倒数是（） A2021B2021C? ? ?t? D ? ?t? 2 （3 分） “绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命， 已经累计投资 1.012108元资金数据 1.0
2、12108可表示为（） A10.12 亿B1.012 亿C101.2 亿D1012 亿 3 （3 分）下列图形既是中心对称又是轴对称的是（） ABCD 4 （3 分）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后， “红”字的面的对 面上的字是（） A传B因C承D基 5 （3 分）下列运算正确的是（） A （x3）2x5B ? ? h?x C （x）2+xx3D （1+x）2x22x+1 6 （3 分）我国古代数学古典名著孙子算经中记载： “今有木，不知长短，引绳度之， 余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长 木，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再
3、量，木条还剩余 1 尺；问长木多少尺？如果设木条 长为 x 尺，绳子长为 y 尺，则下面所列方程组正确的是（） A ? ? h ， 不知长 ? ? ? ? h ? ? B ? ? h ? 不知长 ? ? ? ? h ， ? 第 2页（共 25页） C ? ? h ， 不知长 ? ? h ? ? D ? ? h ? 不知长 ? ? h ， ? 7 （3 分）如图，将一副三角板在平行四边形 ABCD 中作如下摆放，设130，那么2 （） A55B65C75D85 8 （3 分）如图，PA，PB 是O 的切线，A，B 是切点，若P70，则ABO（） A30B35C45D55 9 （3 分）在同一直角
4、坐标系中，函数 ykxk 与 y? ? ?h?（k0）的大致图象是（ ） ABCD 第 3页（共 25页） 10 （3 分）抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数）开口向下且过点 A（1，0） ，B（m，0） （2m1） ，下列结论：2b+c0；2a+c0；a（m+1）b+c0；若 方程 a（xm） （x1）10 有两个不相等的实数根，则 4acb24a其中正确结论 的个数是（） A4B3C2D1 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 6 小题小题,每小题每小题 3 分分,共共 18 分分,请将结果填写在答题卡相应位置请将结果填写在答题卡相应位置) 11 （3 分）计算：|1?|+（
5、? ?） 1+2cos45+（1）0 12 （3 分）把多项式 x3+2x23x 因式分解，结果为 13 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，RtOAB 斜边上的高为 1，AOB30，将 Rt OAB 绕原点顺时针旋转 90得到 RtOCD， 点 A 的对应点 C 恰好在函数 y? ? h （k0） 的图象上，若在 y? ? h的图象上另有一点 M 使得MOC30，则点 M 的坐标 为 14 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，分别以 B，C 为圆心，以正方形的边长为半径 的圆相交于点 P，那么图中阴影部分的面积为 15（3分） 关于 x 的不等式组 ? ?h? g? ?，?h ?
6、 ? h ? ?恰有2 个整数解， 则 a 的取值范围是 16（3 分） 如图， 将正整数按此规律排列成数表， 则 2021 是表中第行第列 第 4页（共 25页） 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 8 小题小题,共共 72 分分,请在答题卡相应区域作答请在答题卡相应区域作答) 17 （8 分）先化简，再求值： h h?不（ h，? h?h ? h? h?不h，不） ，其中 x3? ? 18 （8 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识 竞赛活动某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为 A、 B、C、D 四个等级，其等级对应
7、的分值分别为 100 分、90 分、80 分、70 分，将这两个 班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图 （1）这次预赛中，二班成绩在 B 等及以上的人数是多少？ （2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数； （3）已知一班成绩 A 等的 4 人中有两个男生和 2 个女生，二班成绩 A 等的都是女生，年 级要求从这两个班 A 等的学生中随机选 2 人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性 相等，求抽取的 2 人中至少有 1 个男生的概率 19 （8 分）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 上的动点，AEF90，且 EFAE，FH BH （1）求证：BECH；
8、 （2）若 AB3，BEx，用 x 表示 DF 的长 第 5页（共 25页） 20 （8 分）某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为 10（3，?）海里的圆形海域内有 暗礁一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东 60的方向上，当海监 船行驶 20 ?海里后到达 B 处，此时观测小岛 P 位于 B 处北偏东 45方向上 （1）求 A，P 之间的距离 AP； （2）若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由如果有触礁危险，那 么海监船由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？ 21 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x26x+
9、2m10 有 x1，x2两实数根 （1）若 x11，求 x2及 m 的值； （2）是否存在实数 m，满足（x11） （x21）? ? ?长？若存在，求出实数 m 的值；若 不存在，请说明理由 22 （10 分）如图，在ABC 中，BAC90，点 E 在 BC 边上，过 A，C，E 三点的O 交 AB 边于另一点 F，且 F 是? ?的中点，AD 是O 的一条直径，连接 DE 并延长交 AB 边于 M 点 （1）求证：四边形 CDMF 为平行四边形； （2）当 CD? ? 长AB 时，求 sinACF 的值 第 6页（共 25页） 23 （10 分）某公司电商平台，在 2021 年五一长假期间，
10、举行了商品打折促销活动，经市 场调查发现，某种商品的周销售量 y（件）是关于售价 x（元/件）的一次函数，如表仅列 出了该商品的售价 x，周销售量 y，周销售利润 W（元）的三组对应值数据 x407090 y1809030 W360045002100 （1）求 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） ； （2）若该商品进价 a（元/件） ，售价 x 为多少时，周销售利润 W 最大？并求出此时的最 大利润； （3）因疫情期间，该商品进价提高了 m（元/件） （m0） ，公司为回馈消费者，规定该 商品售价 x 不得超过 55（元/件） ，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满
11、足（1） 中的函数关系，若周销售最大利润是 4050 元，求 m 的值 24 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 交 x 轴于 A（1，0） ，B（3，0）两点，交 y 轴于 点 C（0，3） ，点 Q 为线段 BC 上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）求|QO|+|QA|的最小值； （3）过点 Q 作 PQAC 交抛物线的第四象限部分于点 P，连接 PA，PB，记PAQ 与 PBQ 面积分别为 S1，S2，设 SS1+S2，求点 P 坐标，使得 S 最大，并求此最大值 第 7页（共 25页） 第 8页（共 25页） 2021 年湖北省荆门市中考数学试卷年湖北省荆门市中考数学试
12、卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 10 小题小题,每小题每小题 3 分分,共共 30 分分.在每小题中均给出了四个答案在每小题中均给出了四个答案,其中有且其中有且 只有一个正确答案只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号涂在答题卡上请将正确答案的字母代号涂在答题卡上) 1 （3 分）2021 的相反数的倒数是（） A2021B2021C? ? ?t? D ? ?t? 【解答】解：2021 的相反数是2021， 2021 的倒数是? ? ?t?， 故选：C 2 （3 分） “绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命， 已经
13、累计投资 1.012108元资金数据 1.012108可表示为（） A10.12 亿B1.012 亿C101.2 亿D1012 亿 【解答】解：数据 1.012108可表示为：1.0121081012000001.012 亿， 故选：B 3 （3 分）下列图形既是中心对称又是轴对称的是（） AB CD 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项不合题意； B不是轴对称图形，是中心对称图形故本选项不合题意； C是轴对称图形，也是中心对称图形故本选项符合题意； D不是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项不合题意 故选：C 4 （3 分）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体
14、后， “红”字的面的对 面上的字是（） 第 9页（共 25页） A传B因C承D基 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一般情况相隔一个正方形， “传”与“因”是相对面， “承”与“色”是相对面， “红”与“基”是相对面 故选：D 5 （3 分）下列运算正确的是（） A （x3）2x5B ? ? h?x C （x）2+xx3D （1+x）2x22x+1 【解答】解：A （x3）2x6，错误，不满足题意 B. ? ? h?|x|，错误，不满足题意 C （x）2+xx2+x，错误，不满足题意 D （1+x）2x22x+1，正确，满足题意 故选：D 6 （3 分）我国古代数学古典名著孙子算经中
15、记载： “今有木，不知长短，引绳度之， 余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长 木，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量，木条还剩余 1 尺；问长木多少尺？如果设木条 长为 x 尺，绳子长为 y 尺，则下面所列方程组正确的是（） A ? ? h ， 不知长 ? ? ? ? h ? ? B ? ? h ? 不知长 ? ? ? ? h ， ? C ? ? h ， 不知长 ? ? h ? ? D ? ? h ? 不知长 ? ? h ， ? 【解答】解：设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为： ? ? h ， 不知长 ? ? ? h ? ? 故选：A
16、 7 （3 分）如图，将一副三角板在平行四边形 ABCD 中作如下摆放，设130，那么2 第 10页（共 25页） （） A55B65C75D85 【解答】解：延长 EH 交 AB 于 N， EFH 是等腰直角三角形， FHE45， NHBFHE45， 130， HNB1801NHB105， 四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB， 2+HNB180， 275， 故选：C 8 （3 分）如图，PA，PB 是O 的切线，A，B 是切点，若P70，则ABO（） A30B35C45D55 【解答】解：连接 OA， 第 11页（共 25页） PA，PB 是O 的切线，A，B 是切点， PBOPAO
17、90， P70， BOA360PBOPAOP110， OAOB， ABOBAO? ? ?（180BOA）? ? ?（180110）35， 故选：B 9 （3 分）在同一直角坐标系中，函数 ykxk 与 y? ? ?h?（k0）的大致图象是（ ） ABCD 【解答】解：当 k0 时， 一次函数 ykxk 经过一、三、四象限， 第 12页（共 25页） 函数的 y? ? ?h?（k0）的图象在一、二象限， 故选项的图象符合要求 当 k0 时， 一次函数 ykxk 经过一、二、四象限， 函数的 y? ? ?h?（k0）的图象经过三、四象限， 故选项的图象符合要求 故选：B 10 （3 分）抛物线 y
18、ax2+bx+c（a，b，c 为常数）开口向下且过点 A（1，0） ，B（m，0） （2m1） ，下列结论：2b+c0；2a+c0；a（m+1）b+c0；若 方程 a（xm） （x1）10 有两个不相等的实数根，则 4acb24a其中正确结论 的个数是（） A4B3C2D1 【解答】解：根据题意得 a+b+c0， bac， 当 x2 时，有 4a2b+c0， 4a2（ac）+c0， 2a+c0， 正确， 由 2a+c0，得2ac0， 2（ac）+c0， 2b+c0， 正确， 若 a（m+1）b+c0， 则 ab+cam， 取 x1，则 yab+c0， 又a0，m0， am0 amab+c， 即
19、 a（m+1）b+c0 成立， 第 13页（共 25页） 正确， 若方程 a（xm） （x1）10 有两个不相等的实数根， 即 a（xm） （x1）1 有两个不相等的实数根， 顶点的纵坐标不gh? ? 不g ?， 4acb24a， 正确， 故选：A 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 6 小题小题,每小题每小题 3 分分,共共 18 分分,请将结果填写在答题卡相应位置请将结果填写在答题卡相应位置) 11 （3 分）计算：|1?|+（? ?） 1+2cos45+（1）0 2 ? ，2 【解答】解：原式? ?1+2+2 ? ? ，1 ? ?1+2，? ，1 2 ? ，2 12 （3 分）把多项
20、式 x3+2x23x 因式分解，结果为x（x+3） （x1） 【解答】解：原式x（x2+2x3）x（x+3） （x1） ， 故答案为：x（x+3） （x1） 13 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，RtOAB 斜边上的高为 1，AOB30，将 Rt OAB 绕原点顺时针旋转 90得到 RtOCD， 点 A 的对应点 C 恰好在函数 y? ? h （k0） 的图象上， 若在 y? ? h的图象上另有一点 M 使得MOC30， 则点 M 的坐标为 （ ?， 1） 【解答】解：作 AEOB 于 E，MFx 轴于 F，则 AE1， AOB30， OE?AE?， 第 14页（共 25页） 将 RtOA
21、B 绕原点顺时针旋转 90得到 RtOCD，点 A 的对应点 C 为（1， ?） ， 点 C 在函数 y? ? h（k0）的图象上， k1? ?， y? ? h ， CODAOB30，MOC30， DOM60， MOF30， OF?MF， 设 MFn，则 OF?n， M（ ?n，n） ， 点 M 在函数 y? ? h 的图象上， n? ? ?， n1（负数舍去） ， M（ ?，1） ， 故答案为（ ?，1） 14 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，分别以 B，C 为圆心，以正方形的边长为半径 的圆相交于点 P，那么图中阴影部分的面积为2 ? ? ? ? 第 15页（共 25页）
22、【解答】解：连接 PB、PC，作 PFBC 于 F， PBPCBC， PBC 为等边三角形， PBC60，PBA30， BFPBcos60? ? ?PB1，PFPBsin60? ?， 则图中阴影部分的面积扇形 ABP 的面积（扇形 BPC 的面积BPC 的面积）2 ?t?h? ? ?t ?（?t?h? ? ?t ? ? ? h2?）22 ? ? ? ? ， 故答案为：2 ? ? ? ? 15 （3 分）关于 x 的不等式组 ? ?h? g? ?，?h ? ? h ? ?恰有 2 个整数解，则 a 的取值范围是 5a 6 【解答】解：解不等式（x+a）3，得：xa3， 解不等式?，?h ? ?x
23、1，得：x4， 不等式组有 2 个整数解， 2a33， 解得 5a6 故答案为：5a6 16 （3 分）如图，将正整数按此规律排列成数表，则 2021 是表中第64行第5列 【解答】解：由图可知， 第 16页（共 25页） 第一行 1 个数字， 第二行 2 个数字， 第三行 3 个数字， ， 则第 n 行 n 个数字， 前 n 行一共有?，? ? 个数字， ?h?不 ? 2021 ?不h?长 ? ，2021? ?h?不 ? ?202120165， 2021 是表中第 64 行第 5 列， 故答案为：64，5 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 8 小题小题,共共 72 分分,请在答题卡相应
24、区域作答请在答题卡相应区域作答) 17 （8 分）先化简，再求值： h h?不（ h，? h?h ? h? h?不h，不） ，其中 x3? ? 【解答】解： h h?不（ h，? h?h ? h? h?不h，不） ? h h?不 h，? h?h? ? h? ?h? ? h h?不 ?h，?h? h?h? ? h?h? h?h? ? h h?不 h?不 h?h? ? ? ?h?， 把 x3?代入原式得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3+2 ? 18 （8 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识 竞赛活动某年级在一班和二班进行了预赛，两个班
25、参加比赛的人数相同，成绩分为 A、 B、C、D 四个等级，其等级对应的分值分别为 100 分、90 分、80 分、70 分，将这两个 班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图 （1）这次预赛中，二班成绩在 B 等及以上的人数是多少？ （2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数； （3）已知一班成绩 A 等的 4 人中有两个男生和 2 个女生，二班成绩 A 等的都是女生，年 级要求从这两个班 A 等的学生中随机选 2 人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性 相等，求抽取的 2 人中至少有 1 个男生的概率 第 17页（共 25页） 【解答】解： （1）由条形图可知，一班
26、比赛的人数为：4+9+5+220（人） ， 两个班参加比赛的人数相同， 二班参赛人数为 20 人， 这次预赛中，二班成绩在 B 等及以上的人数为：2010%+2035%9（人） ； （2）一班成绩的平均数为： ? ?t（1004+909+805+702）87.5（分） ， 由题意得：二班成绩的中位数为 80 分； （3）二班成绩 A 等的都是女生， 二班成绩 A 等的人数为：2010%2（人） ， 把一班成绩 A 等的 2 个男生分别记为 A、B，其他成绩 A 等的 4 个女生分别记为 C、D、 E、F， 画树状图如图： 共有 30 种等可能的结果，抽取的 2 人中至少有 1 个男生的结果有
27、18 种， 抽取的 2 人中至少有 1 个男生的概率为?取 ?t ? ? 长 19 （8 分）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 上的动点，AEF90，且 EFAE，FH BH （1）求证：BECH； 第 18页（共 25页） （2）若 AB3，BEx，用 x 表示 DF 的长 【解答】 （1）证明：正方形 ABCD， B90，ABBC， FHBH， H90B，F90FEH， AEF90， AEB90FEH， AEBF， 在ABE 和EHF 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ， ABEEHF（AAS） ， EHABBC，BEFH， EHECBCEC，即 CHBE； （2）连接 D
28、F，过 F 作 FPCD 于 P，如图： HDCHFPC90， 四边形 PCHF 是矩形， 由（1）知：BEFHCH， 四边形 PCHF 是正方形， 第 19页（共 25页） PFCPCHBEx， DCAB3， DPDCCP3x， RtDPF 中，DF?， ?， DF? ? h?， h?h? ?h， ? 20 （8 分）某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为 10（3，?）海里的圆形海域内有 暗礁一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东 60的方向上，当海监 船行驶 20 ?海里后到达 B 处，此时观测小岛 P 位于 B 处北偏东 45方向上 （1）求 A，P 之
29、间的距离 AP； （2）若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由如果有触礁危险，那 么海监船由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？ 【解答】解： （1）过点 P 作 PCAB，交 AB 的延长线于点 C， 由题意得，PAC30，PBC45，AB20 ?， 设 PCx，则 BCx， 在 RtPAC 中， tan30? ? ? ? h h，?t ? ? ? ? ， x10 ? ，10 ?， PA2x20 ? ，20 ?， 答：A，P 之间的距离 AP 为（20 ? ，20 ?）海里； （2）因为 PC10（3，?）10 ? ，10 ? ?3010 ? ?10
30、（ ? ，1） （ ? ?）0， 所以有触礁的危险； 设海监船无触礁危险的新航线为射线 BD，作 PEBD，垂足为 E， 当 P 到 BD 的距离 PE10（3，?）海里时， 第 20页（共 25页） 有 sinPBE? ?t?， ? ? ? ?t?， ? ?t? ?，? ? ? ? ， PBD60， CBD604515， 901575 即海监船由 B 处开始沿南偏东至多 75的方向航行能安全通过这一海域 21 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x26x+2m10 有 x1，x2两实数根 （1）若 x11，求 x2及 m 的值； （2）是否存在实数 m，满足（x11） （x21）? ?
31、?长？若存在，求出实数 m 的值；若 不存在，请说明理由 【解答】解： （1）根据题意得（6）24（2m1）0，解得 m5， x1+x26，x1x22m1， x11， 1+x26，x22m1， x25，m3； （2）存在 （x11） （x21）? ? ?长， x1x2（x1+x2）+1? ? ?长， 即 2m16+1? ? ?长， 整理得 m28m+120，解得 m12，m26， m5 且 m5， m2 第 21页（共 25页） 22 （10 分）如图，在ABC 中，BAC90，点 E 在 BC 边上，过 A，C，E 三点的O 交 AB 边于另一点 F，且 F 是? ?的中点，AD 是O 的一
32、条直径，连接 DE 并延长交 AB 边于 M 点 （1）求证：四边形 CDMF 为平行四边形； （2）当 CD? ? 长AB 时，求 sinACF 的值 【解答】 （1）证明：连接 DF、EF， BAC90， FC 是O 的直径， F 是? ?的中点， ? ? ? ? ?， ADFEDF， OFOD， ADFOFD， OFDEDF， FCDM， OAOD，OFOC，BAC90， 四边形 AFDC 为矩形， AFCD， 四边形 CDMF 为平行四边形； （2）解：四边形 AFDC 为矩形，四边形 CDMF 为平行四边形， CDAFFMEF， CD? ? 长AB， CD? ? 长（2CD+BM）
33、， CD2BM， 第 22页（共 25页） BMCD， BEMCED， ?t ? ? ? ? ? ? ?， EC2BE， 设 BMa，则 CD2a，BF3a，EF2a， 在 RtBEF 中，BE? ?长a， EC2 长a， 在 RtCEF 中，FC?， ?2 ?a， 在 RtFAC 中，sinACF? ? ? ? ?g ? ?g ? ? ? 23 （10 分）某公司电商平台，在 2021 年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市 场调查发现，某种商品的周销售量 y（件）是关于售价 x（元/件）的一次函数，如表仅列 出了该商品的售价 x，周销售量 y，周销售利润 W（元）的三组对应值数据 x
34、407090 y1809030 W360045002100 （1）求 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） ； （2）若该商品进价 a（元/件） ，售价 x 为多少时，周销售利润 W 最大？并求出此时的最 大利润； （3）因疫情期间，该商品进价提高了 m（元/件） （m0） ，公司为回馈消费者，规定该 商品售价 x 不得超过 55（元/件） ，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1） 中的函数关系，若周销售最大利润是 4050 元，求 m 的值 【解答】解： （1）设 ykx+b，由题意有： 不t?， ? ? ?取t ?t?， ? ? ?t ， 第 23页（共 2
35、5页） 解得 ? ? ? ? ? ?tt， 所以 y 关于 x 的函数解析式为 y3x+300； （2）由（1）W（3x+300） （xa） ， 又由表知，把 x40，W3600，代入上式可得关系式 得：3600（340+300） （40a） ， a20， W（3x+300） （x20）3x2+360 x60003（x60）2+4800， 所以售价 x60 时，周销售利润 W 最大，最大利润为 4800； （3）由题意 W3（x100） （x20m） （x55） ， 其对称轴 x60， ? ? 60， 0 x55 时，W 的值随 x 增大而增大， 只有 x55 时周销售利润最大， 40503（
36、55100） （5520m） ， m5 24 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 交 x 轴于 A（1，0） ，B（3，0）两点，交 y 轴于 点 C（0，3） ，点 Q 为线段 BC 上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）求|QO|+|QA|的最小值； （3）过点 Q 作 PQAC 交抛物线的第四象限部分于点 P，连接 PA，PB，记PAQ 与 PBQ 面积分别为 S1，S2，设 SS1+S2，求点 P 坐标，使得 S 最大，并求此最大值 第 24页（共 25页） 【解答】解： （1）抛物线交 x 轴于 A（1，0） ，B（3，0）两点， 设 ya（x+1） （x3） ，将 C
37、（0，3）代入， 得：3a3， 解得：a1， y（x+1） （x3）x22x3， 抛物线的解析式为 yx22x3； （2）如图 1，作点 O 关于直线 BC 的对称点 O，连接 AO，QO，CO，BO， OBOC3，BOC90， BCO45， O、O关于直线 BC 对称， BC 垂直平分 OO， OO垂直平分 BC， 四边形 BOCO是正方形， O（3，3） ， 在 RtABO中，|AO|?， 香?不?， ?5， |QA|+|QO|AO|，|QO|QO|， |QO|+|QA|QA|+|QO|AO|5， 即点 Q 位于直线 AD 与直线 BC 交点时， |QO|+|QA| 有最小值 5； （3）
38、设直线 BC 的解析式为 ykx+d， B（3，0） ，C（0，3） ， ?， ? ? t ? ? ? ， 解得： ? ? ? ? ? ?， 直线 BC 的解析式为 yx3， 设直线 AC 的解析式为 ymx+n， A（1，0） ，C（0，3） ， ? ? ， ? ? t ? ? ? ， 解得： ? ? ? ? ? ? ， 直线 AC 的解析式为 y3x3， 第 25页（共 25页） PQAC， 直线 PQ 的解析式可设为 y3x+b， 由（1）可设 P（m，m22m3） ，代入直线 PQ 的解析式， 得：m22m33m+b， 解得：bm2+m3， 直线 PQ 的解析式为 y3x+m2+m3， 联立方程组，得： ? ? h ? ? ? ? ?h， ?， ? ? ?， 解得： h ? ?，? 不 ? ? ?，? 不 ， Q（? ?，? 不 ，? ?，? 不 ） ， 由题意：SSPAQ+SPBQSPABSQAB， P，Q 都在第四象限， P，Q 的纵坐标均为负数， S? ? ?|AB|（m 2+2m+3）? ?|AB|（? ?，? 不 ）? ? ?m 2，? ?m? ? ?（m? ? ?） 2，? 取 ， 由题意，得 0m3， m? ? ?时，S 最大， 即 P（? ?，? ?长 不 ）时，S 有最大值? 取
