1、第 1页（共 26页） 2021 年四川省凉山州中考数学试卷年四川省凉山州中考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）在每小题给出的四个选项中只有一项分）在每小题给出的四个选项中只有一项 是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。 1 （4 分）|2021|（） A2021B2021C ? ? D? ? ? 2 （4 分）下列数轴表示正确的是（） AB CD 3 （4 分） “天问一号”在经历了 7 个月的“奔火”之旅和 3 个月的“环火”探测，完成了 长达 5 亿
2、千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于 2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分从火星发 来“短信” ，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功请将 5 亿这个数用科学记数法表示 为（） A5107B5108C5109D51010 4 （4 分）下面四个交通标志图是轴对称图形的是（） AB CD 5 （4 分） ?的平方根是（） A9B9C3D3 6 （4 分）在平面直角坐标系中，将线段 AB 平移后得到线段 AB，点 A（2，1）的对应点 A的坐标为（2，3） ，则点 B（2，3）的对应点 B的坐标为（） A （6，1）B （3，7）C （6，1）D （2，1） 7 （4 分）某校七年级 1
3、 班 50 名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示： 成绩60708090100 第 2页（共 26页） 人数3913169 则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（） A90，80B16，85C16，24.5D90，85 8 （4 分）下列命题中，假命题是（） A直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 C若 ABBC，则点 B 是线段 AC 的中点 D三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心 9 （4 分）函数 ykx+b 的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2+bx+k10 的根的 情况是（） A没有实
4、数根B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根D无法确定 10 （4 分）如图，ABC 中，ACB90，AC8，BC6，将ADE 沿 DE 翻折，使点 A 与点 B 重合，则 CE 的长为（） A? ? B2C?R ? D? ? 11 （4 分）点 P 是O 内一点，过点 P 的最长弦的长为 10cm，最短弦的长为 6cm，则 OP 的长为（） A3cmB4cmC5cmD6cm 第 3页（共 26页） 12 （4 分） 二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 则下列结论中不正确的是 （） Aabc0B函数的最大值为 ab+c C当3x1 时，y0D4a2b+c0 二、填空题
5、（共二、填空题（共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 13 （4 分）函数 y? ? ? 中，自变量 x 的取值范围是 14 （4 分）已知 ? ? ? ? ? ?是方程 ax+y2 的解，则 a 的值为 15（4 分） 菱形 ABCD 中， 对角线 AC10， BD24 则菱形的高等于 16 （4 分）如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 120得到ABC，已知 AC3，BC2， 则线段 AB 扫过的图形（阴影部分）的面积为 17 （4 分）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要 3 根火柴 棍；拼第二个图形共需要 5 根火柴棍；拼第三
6、个图形共需要 7 根火柴棍；照这样拼图， 则第 n 个图形需要根火柴棍 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，共小题，共 32 分）分） 18 （5 分）解不等式：? ? ?x3? ? ? 19 （5 分）已知 xy2，? ? ? ? ? ?1，求 x2yxy2的值 第 4页（共 26页） 20（7 分） 随着手机的日益普及， 学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响 为 了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健 康发展，教育部办公厅于 2021 年 1 月 15 日颁发了教育部办公厅关于加强中小学生手 机管理工作的通知 为贯彻通知精神，某学校团委
7、组织了“我与手机说再见”为主 题的演讲比赛， 根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图 （其中 A 表示“一等奖” ，B 表示“二等奖” ，C 表示“三等奖” ，D 表示“优秀奖” ） 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为人，m； （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的 4 名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参 加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率 21 （7 分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河 对岸大树 AB 的高度，他在点 C 处测得大树顶
8、端 A 的仰角为 45，再从 C 点出发沿斜坡 走 2 ?米到达斜坡上 D 点，在点 D 处测得树顶端 A 的仰角为 30，若斜坡 CF 的坡比 为 i1：3（点 E、C、B 在同一水平线上） （1）求王刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度； （2）求大树 AB 的高度（结果保留根号） 第 5页（共 26页） 22 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADCB90，过点 D 作 DEAB 于 E，若 DEBE （1）求证：DADC； （2）连接 AC 交 DE 于点 F，若ADE30，AD6，求 DF 的长 四、填空题（共四、填空题（共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，
9、共 10 分）分） 23 （5 分）若关于 x 的分式方程 ? ? ? ? ? ? ? 的解为正数，则 m 的取值范围 是 24 （5 分）如图，等边三角形 ABC 的边长为 4，C 的半径为 ?，P 为 AB 边上一动点， 过点 P 作C 的切线 PQ，切点为 Q，则 PQ 的最小值为 五、解答题（共五、解答题（共 4 小题，共小题，共 40 分）分） 25 （8 分）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（JNpler，15501617 年）是对数的创始人他发明对数是在指 数书写方式之前，直到 18 世纪瑞士数学家欧拉（Evler，17071783 年）才发现指数与 对数之间的联系 第 6页（
10、共 26页） 对数的定义：一般地，若 axN（a0 且 a1） ，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x logaN，比如指数式 2416 可以转化为对数式 4log216，对数式 2log39 可以转化为 指数式 329 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（MN）logaM+logaN（a0，a1，M0，N0） ，理由如下： 设 logaMm，logaNn，则 Mam，Nan， MNamanam+n，由对数的定义得 m+nloga（MN） 又m+nlogaM+logaN， loga（MN）logaM+logaN 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： （1）
11、填空：log232，log327，log71； （2）求证：loga? ? ?logaMlogaN（a0，a1，M0，N0） ； （3）拓展运用：计算 log5125+log56log530 26 （10 分）如图，AOB 中，ABO90，边 OB 在 x 轴上，反比例函数 y? ? ?（x0） 的图象经过斜边 OA 的中点 M，与 AB 相交于点 N，SAOB12，AN? ? （1）求 k 的值； （2）求直线 MN 的解析式 27 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，AE 平分BAC 交 BC 于点 E，点 D 在 AB 上，DEAE，O 是 RtADE 的外接圆，交 AC 于点
12、 F （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为 5，AC8，求 SBDE 第 7页（共 26页） 28 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点， AC?，OBOC3OA （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内的抛物线上确定一点 P，使四边形 PBAC 的面积最大，求出点 P 的坐 标； （3）在（2）的结论下，点 M 为 x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点 Q，使点 P、B、 M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请 说明理由 第 8页（共 26页） 2021 年四
13、川省凉山州中考数学试卷年四川省凉山州中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）在每小题给出的四个选项中只有一项分）在每小题给出的四个选项中只有一项 是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。 1 （4 分）|2021|（） A2021B2021C ? ? D? ? ? 【解答】解：2021 的绝对值是 2021， 故选：A 2 （4 分）下列数轴表示正确的是（） AB CD 【解答】解：A 选项，应该正数在右边，负数在左边，故
14、该选项错误； B 选项，负数的大小顺序不对，故该选项错误； C 选项，没有原点，故该选项错误； D 选项，有原点，正方向，单位长度，故该选项正确； 故选：D 3 （4 分） “天问一号”在经历了 7 个月的“奔火”之旅和 3 个月的“环火”探测，完成了 长达 5 亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于 2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分从火星发 来“短信” ，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功请将 5 亿这个数用科学记数法表示 为（） A5107B5108C5109D51010 【解答】解：5 亿5000000005108 故选：B 4 （4 分）下面四个交通标志图是轴对称图形的
15、是（） AB 第 9页（共 26页） CD 【解答】解：A不是轴对称图形，故本选项不合题意； B不是轴对称图形，故本选项不合题意； C是轴对称图形，故本选项符合题意； D不是轴对称图形，故本选项不合题意 故选：C 5 （4 分） ?的平方根是（） A9B9C3D3 【解答】解： ? ?9， ?的平方根是3， 故选：D 6 （4 分）在平面直角坐标系中，将线段 AB 平移后得到线段 AB，点 A（2，1）的对应点 A的坐标为（2，3） ，则点 B（2，3）的对应点 B的坐标为（） A （6，1）B （3，7）C （6，1）D （2，1） 【解答】解：A（2，1）平移后得到点 A的坐标为（2，3）
16、 ， 向下平移了 4 个单位，向左平移了 4 个单位， B（2，3）的对应点 B的坐标为（24，34） ， 即（6，1） 故选：C 7 （4 分）某校七年级 1 班 50 名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示： 成绩60708090100 人数3913169 则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（） A90，80B16，85C16，24.5D90，85 【解答】解：90 出现的次数最多，众数为 90 这组数据一共有 50 个，已经按大小顺序排列，第 25 和第 26 个数分别是 80、90，所以中 位数为（80+90）285 第 10页（共 26页） 故选：D 8 （4 分）下列
17、命题中，假命题是（） A直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 C若 ABBC，则点 B 是线段 AC 的中点 D三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心 【解答】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以 A 选项不符合题意； B、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，所以 B 选项不符合 题意； C、若 A、B、C 在同一直线上，且 ABBC，则点 B 是线段 AC 的中点，所以 C 选项符 合题意； D、三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心，所以 D 选项不符合题意。 故选：C
18、9 （4 分）函数 ykx+b 的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2+bx+k10 的根的 情况是（） A没有实数根B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根D无法确定 【解答】解：根据图象可得 k0，b0， 所以 b20，4k0， 因为b24（k1）b24k+40， 所以0， 所以方程有两个不相等的实数根 故选：C 第 11页（共 26页） 10 （4 分）如图，ABC 中，ACB90，AC8，BC6，将ADE 沿 DE 翻折，使点 A 与点 B 重合，则 CE 的长为（） A? ? B2C?R ? D? ? 【解答】解：设 CEx，则 AE8xEB， 在 RtBCE 中，BE
19、2CE2+BC2, 即（8x）2x2+62， 解得 x? ? ?， 故选：D 11 （4 分）点 P 是O 内一点，过点 P 的最长弦的长为 10cm，最短弦的长为 6cm，则 OP 的长为（） A3cmB4cmC5cmD6cm 【解答】解：如图所示，CDAB 于点 P 根据题意，得 AB10cm，CD6cm 第 12页（共 26页） CDAB， CP? ? ?CD3cm 根据勾股定理，得 OP? ?R? ?4（cm） 故选：B 12 （4 分） 二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 则下列结论中不正确的是 （） Aabc0B函数的最大值为 ab+c C当3x1 时，y0D
20、4a2b+c0 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线的对称轴为直线 x? ? ?t ?1， b2a0， 抛物线与 y 轴的交点坐标在 x 轴上方， c0， abc0，所以 A 不符合题意； 当 x1 时，函数的最大值为：a(1)2+b(1)+cab+c，故 B 不符合题意； 由图可知，抛物线与 x 轴的另一交点为（3,0） ，所以3x1 时，y0,故 C 不符合题 意； 当 x2 时，y0, 所以，a(2)2+b(2)+c0, 即 4a2b+c0,故 D 符合题意， 故选：D 二、填空题（共二、填空题（共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 13 （4
21、分）函数 y? ? ? 中，自变量 x 的取值范围是x3 且 x0 第 13页（共 26页） 【解答】解：根据题意得： ? ? ? ? ? ? ， 解得 x3 且 x0 故答案为 x3 且 x0 14 （4 分）已知 ? ? ? ? ? ?是方程 ax+y2 的解，则 a 的值为 1 【解答】解：把 ? ? ? ? ? ?代入到方程中得：a+32， a1， 故答案为：1 15 （4 分）菱形 ABCD 中，对角线 AC10，BD24则菱形的高等于 ? ? 【解答】解：由题意得，菱形的面积? ? ? ?ACBD? ? ? ?1024120， 则 AO5，BO12， 则 AB? t?13， 设菱形
22、的高为 h， 则菱形的面积BCh13h120， 解得 h? ? ? ， 故答案为? ? 16 （4 分）如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 120得到ABC，已知 AC3，BC2， 则线段 AB 扫过的图形（阴影部分）的面积为 R? ? 【解答】解：ABC 绕点 C 旋转 60得到ABC， 第 14页（共 26页） ABCABC， SABCSABC，BCBACA120 AB 扫过的图形的面积S扇形ACA+SABCS扇形BCBSABC， AB 扫过的图形的面积S扇形ACAS扇形BCB， AB 扫过的图形的面积? ? ? ? ? ? ? R? ? 故答案为：R? ? 。 17 （4 分）如图，用
23、火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要 3 根火柴 棍；拼第二个图形共需要 5 根火柴棍；拼第三个图形共需要 7 根火柴棍；照这样拼图， 则第 n 个图形需要(2n+1)根火柴棍 【解答】解：设第 n 个图形需要 an（n 为正整数）根火柴棒， 观察发现规律：第一个图形需要火柴棍：312+1， 第二个图形需要火柴棍：522+1； 第三个图形需要火柴棍：732+1， 第 n 个图形需要火柴棍：2n+1 故答案为：(2n+1) 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，共小题，共 32 分）分） 18 （5 分）解不等式：? ? ?x3? ? ? 【解答】解：去分母，得：4（1x）12
24、x363（x+2） ， 去括号，得：44x12x363x6， 移项、合并，得：13x26， 系数化为 1 得，x2 19 （5 分）已知 xy2，? ? ? ? ? ?1，求 x2yxy2的值 【解答】解：? ? ? ? ? ?1， yxxy xy2, 第 15页（共 26页） yxxy2 原式xy(xy)224 20（7 分） 随着手机的日益普及， 学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响 为 了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健 康发展，教育部办公厅于 2021 年 1 月 15 日颁发了教育部办公厅关于加强中小学生手 机管理工作的通知 为贯
25、彻通知精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主 题的演讲比赛， 根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图 （其中 A 表示“一等奖” ，B 表示“二等奖” ，C 表示“三等奖” ，D 表示“优秀奖” ） 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为40人，m30； （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的 4 名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参 加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率 【解答】解： （1）获奖总人数为 820%40（人） ， m%? ? ? ?100%30%， 即 m30
26、； 故答案为 40；30； （2） “三等奖”人数为 40481612（人） ， 条形统计图补充为： 第 16页（共 26页） （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为 6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率? ? ? ? ? ?。 21 （7 分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河 对岸大树 AB 的高度，他在点 C 处测得大树顶端 A 的仰角为 45，再从 C 点出发沿斜坡 走 2 ?米到达斜坡上 D 点，在点 D 处测得树顶端 A 的仰角为 30，若斜坡 CF 的坡比 为 i1：3（点 E、C、
27、B 在同一水平线上） （1）求王刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度； （2）求大树 AB 的高度（结果保留根号） 【解答】解:(1)过点 D 作 DHCE 于点 H, 第 17页（共 26页） 由题意知 CD2 ?米, 斜坡 CF 的坡比为 i1：3, ?晦 ?晦 ? ? ?, 设 DHx(米),CH3x(米), DH2+CH2DC2, ? ? ? ?, x2, DH2(米),CH6(米), 答:王刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度为 2 米； (2)过点 D 作 DGAB 于点 G, DHBDGBABC90, 四边形 DHBG 为矩形, DHBG2 米,DGBH(x+6)
28、米, ACB45, BCABx(米), AG(x2)米, ADG30, ? ? ? t? ? ? ? , ? ? ? ? ? , x6+4 ?, AB(6+4 ?)(米) 答:大树 AB 的高度是(6+4 ?)米 22 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADCB90，过点 D 作 DEAB 于 E，若 第 18页（共 26页） DEBE （1）求证：DADC； （2）连接 AC 交 DE 于点 F，若ADE30，AD6，求 DF 的长 【解答】 （1）证明：作 DGBD，交 BC 的延长线于点 G，如右图所示， DEAB，B90，DGBC， DEBBBGD90， 四边形 DEBG 是矩形
29、， 又DEBE， 四边形 DEBG 是正方形， DGBE，EDG90， DGDE，EDC+CDG90， ADC90， EDC+ADE90， ADECDG， 在ADE 和CDG 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ， ADECDG（ASA） ， DADC； （2）ADE30，AD6，DEA90， AE3，DE? ? ?3 ?， 由（1）知，ADECDG，四边形 DEBG 是正方形， DGDE3 ?，AECG3，BEDGBG3 ?， BCBGCG3 ? ?3，AEAE+BE3+3 ?， FGAB，BCAB， 第 19页（共 26页） FECB， AEFABC， ? ?t ? ? t?， 即 ?
30、? ? ? ? ? ?， 解得 EF63 ?， DFDEEF3 ? ?（63 ?）3 ? ?6+3 ? ?6 ? ?6， 即 DF 的长是 6 ? ?6 四、填空题（共四、填空题（共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分）分） 23 （5 分）若关于 x 的分式方程 ? ? ? ? ? ? ?的解为正数，则 m 的取值范围是 m3 且 m2 【解答】解：方程两边同时乘以(x1)得，2x3（x1）m， 解得 xm+3 x 为正数， m+30，解得 m3 x1， m+31，即 m2 m 的取值范围是 m3 且 m2 故答案为：m3 且 m2 24 （5 分）如图，等边三角形 A
31、BC 的边长为 4，C 的半径为 ?，P 为 AB 边上一动点， 过点 P 作C 的切线 PQ，切点为 Q，则 PQ 的最小值为3 第 20页（共 26页） 【解答】解：连接 CP、CQ，作 CHAB 于 H，如图， 等边三角形 ABC 的边长为 4， ABCB4,BCH? ? ?ACB? ? ? ?6030, BH? ? ?AB4,CH? ? ? BC? ? ? ?42 ?， PQ 为C 的切线， CQPQ， 在 RtCPQ 中，PQ? ? ?， 点 P 是 AB 边上一动点， 当点 P 运动到 H 点时，CP 最小， 即 CP 的最小值为 2 ?， PQ 的最小值为 ? ? ?3, 故答案
32、为：3 五、解答题（共五、解答题（共 4 小题，共小题，共 40 分）分） 25 （8 分）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（JNpler，15501617 年）是对数的创始人他发明对数是在指 数书写方式之前，直到 18 世纪瑞士数学家欧拉（Evler，17071783 年）才发现指数与 对数之间的联系 对数的定义：一般地，若 axN（a0 且 a1） ，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x 第 21页（共 26页） logaN，比如指数式 2416 可以转化为对数式 4log216，对数式 2log39 可以转化为 指数式 329 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： lo
33、ga（MN）logaM+logaN（a0，a1，M0，N0） ，理由如下： 设 logaMm，logaNn，则 Mam，Nan， MNamanam+n，由对数的定义得 m+nloga（MN） 又m+nlogaM+logaN， loga（MN）logaM+logaN 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： （1）填空：log2325，log3273，log710； （2）求证：loga? ? ?logaMlogaN（a0，a1，M0，N0） ； （3）拓展运用：计算 log5125+log56log530 【解答】解： （1）log232log2255，log327log3333，log
34、71log7700； 故答案为：5，3，0； （2）设 logaMm，logaNn，则 Mam，Nan， ? ? ? t? t? ?am n，由对数的定义得 mnloga? ?， 又mnlogaMlogaN， loga? ? ?logaMlogaN（a0，a1，M0，N0） ； （3）原式log5（125630） log525 2 26 （10 分）如图，AOB 中，ABO90，边 OB 在 x 轴上，反比例函数 y? ? ?（x0） 的图象经过斜边 OA 的中点 M，与 AB 相交于点 N，SAOB12，AN? ? （1）求 k 的值； （2）求直线 MN 的解析式 第 22页（共 26页）
35、 【解答】解： （1）设 N（a,b),则 OBa,BNb, AN? ?, ABb? ?, A(a,b? ?), M 为 OA 中点， M(? ?a, ? ?b? ?)， 而反比例函数 y? ? ?（x0）的图象经过斜边 OA 的中点 M， k? ? ?a( ? ?b? ?)ab, 解得：b? ? ?, SAOB12，ABO90， ? ?OBAB12,即 ? ?a(b? ?)12, 将 b? ? ?代入得： ? ? t? ? ? ? ? ? ? ?, 解得 a4, N(4,? ?),M(2，3), k4 ? ? ?6； （2）由（1）知：M(2，3),N(4，? ?), 设直线 MN 解析式为
36、 ymx+n, ? ? ? ? ? ? ? ? ?,解得 ? ? ? ? ? ? ? , 直线 MN 解析式为 y? ? ?x? ? 第 23页（共 26页） 27 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，AE 平分BAC 交 BC 于点 E，点 D 在 AB 上，DEAE，O 是 RtADE 的外接圆，交 AC 于点 F （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为 5，AC8，求 SBDE 【解答】解： （1）连接 OE， C90， 2+AEC90, 又OAOE， 1OEA， 12， AEC+OEA90， 即 OEBC， BC 是O 的切线； （2）过点 E 作 EMAB，
37、垂足为 M， 12，CAED90， ACEAED， ? ? ? ? ?， 即 ? ? ? ? ?， AE4 R， 由勾股定理得， CE? ?4EM， DE? ?2 R， DEB1，BB， BDEBEA， 第 24页（共 26页） t? t? ? ? ? ? ? ?， 设 BDx，则 BE2x， 在 RtBOE 中，由勾股定理得， OE2+BE2OB2， 即 52+（2x）2（5+x）2， 解得 x? ? ? ， SBDE? ? ?BDEM ? ? ? ? ? ? ?4 ? ? ? 28 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，
38、AC?，OBOC3OA （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内的抛物线上确定一点 P，使四边形 PBAC 的面积最大，求出点 P 的坐 标； （3）在（2）的结论下，点 M 为 x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点 Q，使点 P、B、 M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请 说明理由 第 25页（共 26页） 【解答】解： （1）OC3OA，AC?，AOC90， OA2+OC2AC2，即 OA2+(3OA)2( ?)2， 解得：OA1， OC3， A(1，0)，C(0，3)， OBOC3， B(3，0)， 设抛物线解析式为 ya(x+3)(x1
39、)，将 C(0，3)代入， 得：3a3， 解得：a1， y(x+3)(x1)x22x+3， 该抛物线的解析式为 yx22x+3； （2）如图 1，过点 P 作 PKy 轴交 BC 于点 K， 设直线 BC 解析式为 ykx+n，将 B(3，0)，C(0，3)代入， 得： ? ? ? ? ? ? ? ， 解得： ? ? ? ? ? ?， 直线 BC 解析式为 yx+3， 设 P(t，t22t+3)，则 K(t，t+3)， PKt22t+3(t+3)t23t， SPBCSPBK+SPCK? ? ?PK(t+3)? ? ?PK(0t)? ? ?PK? ? ?(t 23t)， SABC? ? ?ABO
40、C? ? ? ?436， S四边形PBACSPBC+SABC? ? ?(t 23t)+6? ?(t? ? ?) 2?R ? ， ? ? ? 0， 当 t? ? ?时，四边形 PBAC 的面积最大，此时点 P 的坐标为(? ? ?， ?R ? )； （3）存在.如图 2，分两种情况：点 Q 在 x 轴上方或点 Q 在 x 轴下方 当点 Q 在 x 轴上方时，P 与 Q 纵坐标相等， x22x+3? ?R ? ， 第 26页（共 26页） 解得：x1? ? ?，x2? ? ?(舍去)， Q1(? ? ?， ?R ? )， 当点 Q 在 x 轴下方时，P 与 Q 纵坐标互为相反数， x22x+3? ?R ? ， 解得：x1? ? ? ，x2? ? ? ， Q2(? ? ? ，? ?R ? )，Q3( ? ? ，? ?R ? )， 综上所述，Q 点的坐标为 Q1(? ? ?， ?R ? )，Q2(? ? ? ，? ?R ? )，Q3( ? ? ，? ?R ? )
