1、第 1页（共 29页） 2021 年湖南省郴州市中考数学试卷年湖南省郴州市中考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（） AabB|a|b|Cab0Da+b0 2 （3 分）下列垃圾分类图标分别表示： “可回收垃圾” 、 “有害垃圾” 、 “厨余垃圾” 、 “其它 垃圾” ，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） ABCD 3 （3 分）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近 攻克了 7nm 的光刻机难题， 其中 1nm0
2、.000000001m， 则 7nm 用科学记数法表示为 （） A0.7108mB710 8m C0.710 8m D710 9m 4 （3 分）下列运算正确的是（） Aa2a3a6B （a3）2a5 C3D （a+b）2a2+b2 5 （3 分）下列说法正确的是（） A “明天下雨的概率为 80%” ，意味着明天有 80%的时间下雨 B经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯 C “某彩票中奖概率是 1%” ，表示买 100 张这种彩票一定会有 1 张中奖 D小明前几次的数学测试成绩都在 90 分以上这次数学测试成绩也一定在 90 分以上 6 （3 分）已知二元一次方程组，则
3、xy 的值为（） A2B6C2D6 7 （3 分）由 5 个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为（） 第 2页（共 29页） AB CD 8 （3 分）如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，A60，点 P 从点 A 出发，沿路线 A BCD 运动设 P 点经过的路程为 x，以点 A，D，P 为顶点的三角形的面积为 y，则 下列图象能反映 y 与 x 的函数关系的是（） AB CD 二、填空题（共二、填空题（共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分）使有意义的 x 的取值范围是 10 （3 分）在反比例函数 y的图象的每一支曲线上，函数值
4、y 随自变量 x 的增大而增 大，则 m 的取值范围是 11 （3 分）为庆祝中国共产党建党一百周年，某校开展了主题为“我身边的共产党员”的 第 3页（共 29页） 演讲比赛比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分，最终得分按 4：3：3 的比例计算若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为 95 分、 80 分、90 分，则选手甲的最终得分为分 12 （3 分）一个多边形的每一个外角都等于 60，则这个多边形的内角和为度 13 （ 3 分 ） 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2 5x+m 0 有 两 个 相 等 的 实数 根 ， 则 m 14 （3 分）如图是
5、一架梯子的示意图，其中 AA1BB1CC1DD1，且 ABBCCD为 使其更稳固， 在 A， D1间加绑一条安全绳 （线段 AD1） 量得 AE0.4m， 则 AD1m 15 （3 分）如图，方老师用一张半径为 18cm 的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略 不计） 如果圆锥形帽子的半径是 10cm，那么这张扇形纸板的面积是cm2（结 果用含的式子表示） 16 （3 分）如图，在ABC 中，AB5，AC4，sinA，BDAC 交 AC 于点 D点 P 为线段 BD 上的动点，则 PC+PB 的最小值为 第 4页（共 29页） 三三、解答题解答题（1719 题每题题每题 6 分分，2023
6、题每题题每题 8 分分，2425 题每题题每题 10 分分，26 题题 12 分分， 共共 82 分）分） 17 （6 分）计算： （2021）0|2|+（） 1tan60 18 （6 分）先化简，再求值： （），其中 a 19 （6 分）如图，四边形 ABCD 中，ABDC，将对角线 AC 向两端分别延长至点 E，F， 使 AECF连接 BE，DF，若 BEDF证明：四边形 ABCD 是平行四边形 20 （8 分）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜 色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶， 其他垃圾用灰色收集桶为了解学生
7、对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用 过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果， 绘制了如图所示的两幅不完整的统计 图 第 5页（共 29页） 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机采访了名学生，在扇形统计图中， “灰”所在扇形的圆 心角的度数为度； （2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数） ； （3）若该校有 3600 名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数； （4）李老师计划从 A，B，C，D 四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答 赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中 A，B 两人的概率 21 （
8、8 分）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯某测绘兴趣小组为测算电梯 AC 的高度， 测得斜坡 AB105 米， 坡度 i1： 2， 在 B 处测得电梯顶端 C 的仰角45， 求观光电梯 AC 的高度 （参考数据：1.41，1.73，2.24结果精确到 0.1 米） 22 （8 分） “七一”建党节前夕，某校决定购买 A，B 两种奖品，用于表彰在“童心向党” 活动中表现突出的学生已知 A 奖品比 B 奖品每件多 25 元，预算资金为 1700 元，其中 800 元购买 A 奖品，其余资金购买 B 奖品，且购买 B 奖品的数量是 A 奖品的 3 倍 第 6页（共 29页） （1）求 A，B
9、 奖品的单价； （2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买 方案：不超过预算资金且购买 A 奖品的资金不少于 720 元，A，B 两种奖品共 100 件，求 购买 A，B 两种奖品的数量，有哪几种方案？ 23 （8 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点 D 是的中点，DE BC 交 AC 的延长线于点 E （1）求证：直线 DE 与O 相切； （2）若O 的直径是 10，A45，求 CE 的长 24 （10 分）某商店从厂家以每件 2 元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的 月销售量 y（单位：万件）与销售单价 x（单位元）
10、之间有如下表所示关系： x4.05.05.56.57.5 y8.06.05.03.01.0 （1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出 y 关于 x 的函 数图象； （2）根据画出的函数图象，求出 y 关于 x 的函数表达式； 第 7页（共 29页） （3）设经营此商品的月销售利润为 P（单位：万元） ， 写出 P 关于 x 的函数表达式； 该商店计划从这批商品获得的月销售利润为 10 万元（不计其它成本） ，若物价局限定 商品的销售单价不得超过进价的 200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 25 （10 分）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，BAC90，点
11、E，F 分别为 AB，AC 的中点，H 为线段 EF 上一动点（不与点 E，F 重合） ，将线段 AH 绕点 A 逆时针方向旋 转 90得到 AG，连接 GC，HB （1）证明：AHBAGC； （2）如图 2，连接 GF，HG，HG 交 AF 于点 Q 证明：在点 H 的运动过程中，总有HFG90； 若 ABAC4，当 EH 的长度为多少时AQG 为等腰三角形？ 26 （12 分）将抛物线 yax2（a0）向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，得到抛 物线 H：ya（xh）2+k抛物线 H 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C已知 A（ 3，0） ，点 P 是抛物线 H 上
12、的一个动点 （1）求抛物线 H 的表达式； （2）如图 1，点 P 在线段 AC 上方的抛物线 H 上运动（不与 A，C 重合） ，过点 P 作 PD AB，垂足为 D，PD 交 AC 于点 E作 PFAC，垂足为 F，求PEF 的面积的最大值； （3）如图 2，点 Q 是抛物线 H 的对称轴 l 上的一个动点，在抛物线 H 上，是否存在点 P， 使得以点 A，P，C，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由 第 8页（共 29页） 第 9页（共 29页） 2021 年湖南省郴州市中考数学试卷年湖南省郴州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考
13、答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（） AabB|a|b|Cab0Da+b0 【解答】解：由数轴可知， a0，b0， |a|b|，故 B 项正确， ab，故 A 项错误， ab0，故 C 项错误， a+b0，故 D 项错误 故选：B 2 （3 分）下列垃圾分类图标分别表示： “可回收垃圾” 、 “有害垃圾” 、 “厨余垃圾” 、 “其它 垃圾” ，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） AB CD 【解答】解：A既不是轴对称图形，也不是中心对称
14、图形故本选项不合题意； B既是轴对称图形，又是中心对称图形故本选项符合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项不合题意； D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形故本选项不合题意 故选：B 第 10页（共 29页） 3 （3 分）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近 攻克了 7nm 的光刻机难题， 其中 1nm0.000000001m， 则 7nm 用科学记数法表示为 （） A0.7108mB710 8m C0.710 8m D710 9m 【解答】解：1nm0.000000001m， 7nm710 9m 故选：D 4 （3 分）下列运算正确的是（） A
15、a2a3a6B （a3）2a5 C3D （a+b）2a2+b2 【解答】解：Ax2x3x5，故 A 选项不符合题意； B （a3）2a6，故 B 选项不符合题意； C，故 C 选项符合题意； D （a+b）2a2+2ab+b2，故 D 选项不符合题意； 故选：C 5 （3 分）下列说法正确的是（） A “明天下雨的概率为 80%” ，意味着明天有 80%的时间下雨 B经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯 C “某彩票中奖概率是 1%” ，表示买 100 张这种彩票一定会有 1 张中奖 D小明前几次的数学测试成绩都在 90 分以上这次数学测试成绩也一定在 90 分以上 【解答】
16、解：A明天下雨的概率为 80%，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关， 故本选项不符合题意； B经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故本选项符合题意； C某彩票中奖概率是 1%，买 100 张这种彩票中奖是随机事件，不一定会有 1 张中奖， 故本选项不符合题意； D 小明前几次的数学测试成绩都在 90 分以上这次数学测试成绩不一定在 90 分以上， 故 本选项不符合题意 故选：B 6 （3 分）已知二元一次方程组，则 xy 的值为（） A2B6C2D6 第 11页（共 29页） 【解答】解：， +，得 3x3y6， 两边都除以 3 得：xy2， 故选：A 7 （3 分）由
17、 5 个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为（） AB CD 【解答】解：该组合体的的俯视图如下： 故选：D 8 （3 分）如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，A60，点 P 从点 A 出发，沿路线 A BCD 运动设 P 点经过的路程为 x，以点 A，D，P 为顶点的三角形的面积为 y，则 下列图象能反映 y 与 x 的函数关系的是（） 第 12页（共 29页） AB CD 【解答】解：过点 B 作 BEAD 于点 E，如图所示： 边长为 4 的菱形，ABCD 中，A60， ABADBC4， ABE30， AE2，BE2， 当点 P 从点 A 运动到点 B 时，过点 P 作
18、 PFAD 于点 F， 则 APx，AFx，PFx， SADPADPFxx， ADP 的面积逐渐增大； 当在线段 BC 上时， SADPADBE24， ADP 的面积保持不变； 当点 P 在线段 CD 上时，如图，过点 P 作 PMAD 交 AD 的延长线于点 M， 第 13页（共 29页） 则 AB+BC+CPx， 则 DP12x，DM6x，PMDM6x， SADPADPM（6x）12x， ADP 的面积逐渐减小 故选：A 二、填空题（共二、填空题（共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分）使有意义的 x 的取值范围是x0 【解答】解：使有意义，则0
19、且 x0， 解得：x0 故答案为：x0 10 （3 分）在反比例函数 y的图象的每一支曲线上，函数值 y 随自变量 x 的增大而增 大，则 m 的取值范围是m3 【解答】解：比例函数 y图象上的每一条曲线上，y 随 x 的增大而增大， m30， m3 故答案为：m3 11 （3 分）为庆祝中国共产党建党一百周年，某校开展了主题为“我身边的共产党员”的 演讲比赛比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分，最终得分按 4：3：3 的比例计算若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为 95 分、 80 分、90 分，则选手甲的最终得分为89分 【解答】解：选手甲的最终得分为：89
20、（分） 故答案为：89 12 （3 分）一个多边形的每一个外角都等于 60，则这个多边形的内角和为720度 第 14页（共 29页） 【解答】解：多边形的每一个外角都等于 60， 它的边数为：360606， 它的内角和：180（62）720， 故答案为：720 13 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x25x+m0 有两个相等的实数根，则 m 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x25x+m0 有两个相等的实数根， b24ac254m0， 解得：m 故答案为： 14 （3 分）如图是一架梯子的示意图，其中 AA1BB1CC1DD1，且 ABBCCD为 使其更稳固，在 A，D1间加绑一条安全
21、绳（线段 AD1）量得 AE0.4m，则 AD11.2 m 【解答】解：BB1CC1， ， ABBC， AEEF， 同理可得：AEEFFD1， AE0.4m， AD10.41.2（m） ， 故答案为：1.2 15 （3 分）如图，方老师用一张半径为 18cm 的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略 不计） 如果圆锥形帽子的半径是 10cm，那么这张扇形纸板的面积是180cm2（结 果用含的式子表示） 第 15页（共 29页） 【解答】解：这张扇形纸板的面积21018180（cm2） 故答案为 180 16 （3 分）如图，在ABC 中，AB5，AC4，sinA，BDAC 交 AC 于点 D点
22、 P 为线段 BD 上的动点，则 PC+PB 的最小值为 【解答】解：过点 P 作 PDAB 于点 D，过点 C 作 CHAB 于点 H， BDAC， ADB90， sinA，AB5， BD4， 由勾股定理得 AD， 第 16页（共 29页） sinABD， DP， PC+PBPC+PD， 即点 C、P、D 三点共线时，PC+PB 最小， PC+PB 的最小值为 CH 的长， SABC， 445CH， CH PC+PB 的最小值为 故答案为： 三三、解答题解答题（1719 题每题题每题 6 分分，2023 题每题题每题 8 分分，2425 题每题题每题 10 分分，26 题题 12 分分， 共
23、共 82 分）分） 17 （6 分）计算： （2021）0|2|+（） 1tan60 【解答】解：原式1（22）+2 12+2+2 3 18 （6 分）先化简，再求值： （），其中 a 【解答】解： （） （a1） （a1） （a1） （a1） ， 第 17页（共 29页） 当 a时，原式 19 （6 分）如图，四边形 ABCD 中，ABDC，将对角线 AC 向两端分别延长至点 E，F， 使 AECF连接 BE，DF，若 BEDF证明：四边形 ABCD 是平行四边形 【解答】证明：AECF， AE+ACCF+AC， ECFA， 在BEA 和DFC 中， BEADFC（SSS） ， EABFCD
24、， BACDCA， ABDC， ABDC， 四边形 ABCD 是平行四边形 20 （8 分）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜 色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶， 其他垃圾用灰色收集桶为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用 过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果， 绘制了如图所示的两幅不完整的统计 图 第 18页（共 29页） 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机采访了200名学生，在扇形统计图中， “灰”所在扇形的圆 心角的度数为198度； （2）
25、补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数） ； （3）若该校有 3600 名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数； （4）李老师计划从 A，B，C，D 四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答 赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中 A，B 两人的概率 【解答】解： （1）此次调查一共随机采访学生 4422%200（名） ， 在扇形统计图中， “灰”所在扇形的圆心角的度数为 360198， 故答案为：200，198； （2）绿色部分的人数为 200（16+44+110）30（人） ， 补全图形如下： （3）估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数 3600288
26、（人） ； 第 19页（共 29页） （4）列表如下： ABCD A（B，A）（C，A）（D，A） B（A，B）（C，B）（D，B） C（A，C）（B，C）（D，C） D（A，D）（B，D）（C，D） 由表格知，共有 12 种等可能结果，其中恰好抽中 A，B 两人的有 2 种结果， 所以恰好抽中 A，B 两人的概率为 21 （8 分）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯某测绘兴趣小组为测算电梯 AC 的高度， 测得斜坡 AB105 米， 坡度 i1： 2， 在 B 处测得电梯顶端 C 的仰角45， 求观光电梯 AC 的高度 （参考数据：1.41，1.73，2.24结果精确到 0.1 米）
27、 【解答】解：过 B 作 BM水平地面于 M，BNAC 于 N，如图所示： 则四边形 AMBN 是矩形， ANBM，BNMA， 斜坡 AB105 米，坡度 i1：2， 设 BMx 米，则 AM2x 米， ABx105， x21， ANBM21（米） ，BNAM42（米） ， 第 20页（共 29页） 在 RtBCN 中，CBN45， BCN 是等腰直角三角形， ANBN42（米） ， ACAN+CN21+4263141.1（米） ， 答：观光电梯 AC 的高度约为 141.1 米 22 （8 分） “七一”建党节前夕，某校决定购买 A，B 两种奖品，用于表彰在“童心向党” 活动中表现突出的学生
28、已知 A 奖品比 B 奖品每件多 25 元，预算资金为 1700 元，其中 800 元购买 A 奖品，其余资金购买 B 奖品，且购买 B 奖品的数量是 A 奖品的 3 倍 （1）求 A，B 奖品的单价； （2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买 方案：不超过预算资金且购买 A 奖品的资金不少于 720 元，A，B 两种奖品共 100 件，求 购买 A，B 两种奖品的数量，有哪几种方案？ 【解答】解： （1）设 A 奖品的单价为 x 元，则 B 奖品的单价为（x25）元， 由题意得：， 解得：x40， 经检验，x40 是原方程的解， 则 x2515， 答：A
29、 奖品的单价为 40 元，则 B 奖品的单价为 15 元； （2）设购买 A 种奖品的数量为 m 件，则购买 B 种奖品的数量为（100m）件， 由题意得：， 解得：22.5m25， m 为正整数， 第 21页（共 29页） m 的值为 23，24，25， 有三种方案： 购买 A 种奖品 23 件，B 种奖品 77 件； 购买 A 种奖品 24 件，B 种奖品 76 件； 购买 A 种奖品 25 件，B 种奖品 75 件 23 （8 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点 D 是的中点，DE BC 交 AC 的延长线于点 E （1）求证：直线 DE 与O 相切； （2）若
30、O 的直径是 10，A45，求 CE 的长 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图， 点 D 是的中点， ODBC， DEBC， ODDE， 直线 DE 与O 相切； （2）解：AC 是O 的直径， B90， A45， ACB45， BCDE， E45， 而ODE90， ODE 为等腰直角三角形， OEOD5， 第 22页（共 29页） CEOEOC55 24 （10 分）某商店从厂家以每件 2 元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的 月销售量 y（单位：万件）与销售单价 x（单位元）之间有如下表所示关系： x4.05.05.56.57.5 y8.06.05.03.01.0 （1）根
31、据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出 y 关于 x 的函 数图象； （2）根据画出的函数图象，求出 y 关于 x 的函数表达式； （3）设经营此商品的月销售利润为 P（单位：万元） ， 写出 P 关于 x 的函数表达式； 该商店计划从这批商品获得的月销售利润为 10 万元（不计其它成本） ，若物价局限定 商品的销售单价不得超过进价的 200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 【解答】解： （1） 第 23页（共 29页） （2）根据图象设 ykx+b，把（4.0，8.0）和（5.0，6.0）代入上式， 得， 解得， y2x+16， y0， 2x+160， 解得 x8，
32、y 关于 x 的函数表达式为 y2x+16（x8） ； （3）P（x2）y （x2） （2x+16） 2x+20 x32， 即 P 与 x 的函数表达式为：P2x+20 x32（x8） ； 物价局限定商品的销售单价不得超过进价的 200%， x2200%， 即 x4， 由题意得 P10， 2x+20 x3210， 解得 x13，x27， x4， 此时销售单价为 3 元 第 24页（共 29页） 25 （10 分）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，BAC90，点 E，F 分别为 AB，AC 的中点，H 为线段 EF 上一动点（不与点 E，F 重合） ，将线段 AH 绕点 A 逆时针方向旋
33、转 90得到 AG，连接 GC，HB （1）证明：AHBAGC； （2）如图 2，连接 GF，HG，HG 交 AF 于点 Q 证明：在点 H 的运动过程中，总有HFG90； 若 ABAC4，当 EH 的长度为多少时AQG 为等腰三角形？ 【解答】 （1）证明：如图 1， 由旋转得：AHAG，HAG90， BAC90， BAHCAG， ABAC， ABHACG（SAS） ； （2）证明：如图 2，在等腰直角三角形 ABC 中，BAC90， 第 25页（共 29页） ABCACB45， 点 E，F 分别为 AB，AC 的中点， EF 是ABC 的中位线， EFBC，AEAB，AFAC， AEAF，
34、AEFABC45，AFEACB45， EAHFAG，AHAG， AEHAFG（SAS） ， AFGAEH45， HFG45+4590； 分两种情况： i）如图 3，AQQG 时， AQQG， QAGAGQ， HAGHAQ+QAGAHG+AGH90， QAHAHQ， AQQHQG， AHAG， AQGH， AFGAFH45， 第 26页（共 29页） FGQFHQ45， HFGAGFAHF90， 四边形 AHFG 是正方形， AC4， AF2， FGEH， 当 EH 的长度为时，AQG 为等腰三角形； ii）如图 4，当 AGQG 时，GAQAQG， AEHAGQ45，EAHGAQ， AHEAQ
35、GEAH， EHAE2， 当 EH 的长度为 2 时，AQG 为等腰三角形； 综上，当 EH 的长度为或 2 时，AQG 为等腰三角形 26 （12 分）将抛物线 yax2（a0）向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，得到抛 物线 H：ya（xh）2+k抛物线 H 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C已知 A（ 3，0） ，点 P 是抛物线 H 上的一个动点 （1）求抛物线 H 的表达式； （2）如图 1，点 P 在线段 AC 上方的抛物线 H 上运动（不与 A，C 重合） ，过点 P 作 PD AB，垂足为 D，PD 交 AC 于点 E作 PFAC，垂足为 F，求PEF
36、的面积的最大值； （3）如图 2，点 Q 是抛物线 H 的对称轴 l 上的一个动点，在抛物线 H 上，是否存在点 P， 使得以点 A，P，C，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由 第 27页（共 29页） 【解答】解： （1）由题意得抛物线的顶点坐标为（1，4） ， 抛物线 H：ya（x+1）2+4， 将 A（3，0）代入，得：a（3+1）2+40， 解得：a1， 抛物线 H 的表达式为 y（x+1）2+4； （2）如图 1，由（1）知：yx22x+3， 令 x0，得 y3， C（0，3） ， 设直线 AC 的解析式为 ymx+n， A（
37、3，0） ，C（0，3） ， ， 解得：， 直线 AC 的解析式为 yx+3， 设 P（m，m22m+3） ，则 E（m，m+3） ， PEm22m+3（m+3）m23m（m+）2+， 10， 当 m时，PE 有最大值， OAOC3，AOC90， AOC 是等腰直角三角形， ACO45， PDAB， 第 28页（共 29页） ADP90， ADPAOC， PDOC， PEFACO45， PFAC， PEF 是等腰直角三角形， PFEFPE， SPEFPEEFPE2， 当 m时，SPEF最大值（）2； （3）当 AC 为平行四边形的边时，则有 PQAC，且 PQAC， 如图 2，过点 P 作对称
38、轴的垂线，垂足为 G，设 AC 交对称轴于点 H， 则AHGACOPQG， 在PQG 和ACO 中， ， PQGACO（AAS） ， PGAO3， 点 P 到对称轴的距离为 3， 又y（x+1）2+4， 抛物线对称轴为直线 x1， 设点 P（x，y） ，则|x+1|3， 解得：x2 或 x4， 当 x2 时，y5， 当 x4 时，y5， 点 P 坐标为（2，5）或（4，5） ； 当 AC 为平行四边形的对角线时， 如图 3，设 AC 的中点为 M， A（3，0） ，C（0，3） ， 第 29页（共 29页） M（，） ， 点 Q 在对称轴上， 点 Q 的横坐标为1，设点 P 的横坐标为 x， 根据中点公式得：x+（1）2（）3， x2，此时 y3， P（2，3） ； 综上所述，点 P 的坐标为（2，5）或（4，5）或（2，3）
