1、第 1页（共 32页） 2021 年江苏省镇江市中考数学试卷年江苏省镇江市中考数学试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，分，24 分）分） 1 （2 分）5 的绝对值等于 2 （2 分）使 ? ? ?有意义的 x 的取值范围是 3 （2 分）8 的立方根是 4 （2 分）如图，花瓣图案中的正六边形 ABCDEF 的每个内角的度数是 5 （2 分）一元二次方程 x（x+1）0 的两根分别为 6 （2 分）小丽的笔试成绩为 100 分，面试成绩为 90 分，若笔试成绩、面试成绩按 6：4 计 算平均成绩，则小丽的平均成绩是分 7 （2 分）某射手在
2、一次训练中共射出了 10 发子弹，射击成绩如图所示，则射击成绩的中 位数是环 8 （2 分）如图，点 D，E 分别在ABC 的边 AC，AB 上，ADEABC，M，N 分别是 DE，BC 的中点，若?r ? ? ? ?，则 ? ? ? 第 2页（共 32页） 9 （2 分）如图，点 A，B，C，O 在网格中小正方形的顶点处，直线 l 经过点 C，O，将 ABC 沿 l 平移得到MNO，M 是 A 的对应点，再将这两个三角形沿 l 翻折，P，Q 分别是 A ， M 的 对 应 点 已 知 网 格 中 每 个 小 正 方 形 的 边 长 都 等 于 1 ， 则 PQ 的 长 为 10 （2 分）已
3、知一次函数的图象经过点（1，2） ，且函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，写 出符合条件的一次函数表达式 （答案不唯一，写出一个即可） 11 （2 分）一只不透明的袋子中装有 1 个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都 相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得 P（摸出一红一黄）P（摸出两红） ，则放入 的红球个数为 12 （2 分）如图，等腰三角形 ABC 中，ABAC，BC6，cosABC? ? ?，点 P 在边 AC 上 运动（可与点 A，C 重合） ，将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 120，得到线段 DP，连接 BD，则 BD 长的最大值为 第 3页（共 32页） 二二、选择
4、题选择题（本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 18 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，恰有一恰有一 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 13 （3 分）如图所示，该几何体的俯视图是（） A正方形B长方形C三角形D圆 14 （3 分）2021 年 14 月份，全国规模以上工业企业利润总额超 25900 亿元，其中 25900 用科学记数法表示为（） A25.9103B2.59104C0.259105D2.59105 15 （3 分）如图，BAC36，点 O 在边 AB 上，O 与边 AC 相切于点 D，交边 AB 于 点 E，F，连接 FD，
5、则AFD 等于（） A27B29C35D37 16 （3 分）如图，输入数值 1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果 输入下一个方框继续进行运算） ，输出的结果为（） 第 4页（共 32页） A1840B1921C1949D2021 17 （3 分）设圆锥的底面圆半径为 r，圆锥的母线长为 l，满足 2r+l6，这样的圆锥的侧面 积（） A有最大值? ? B有最小值? ? C有最大值? ? D有最小值? ? 18 （3 分）如图，小明在 33 的方格纸上写了九个式子（其中的 n 是正整数） ，每行的三 个式子的和自上而下分别记为 A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右
6、分别记为 B1， B2，B3，其中，值可以等于 789 的是（） AA1BB1CA2DB3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分） （1）计算： （1?）02sin45?； 第 5页（共 32页） （2）化简： （x21）（1? ? ?）x 20 （10 分） （1）解方程：? ? ? ? ? ?0； （2）解不等式组： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21 （6 分）甲、乙、丙三人各自随机选择到 A，B 两个献血站进行爱心献血求这三人在同 一个
7、献血站献血的概率 22 （6 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 DA，BC，使得 AECF，连接 BE， DF （1）求证：ABECDF； （2）连接 BD，130，220，当ABE时，四边形 BFDE 是菱形 24 （6 分）如表是第四至七次全国人口普查的相关数据 年份我国大陆人口总数其中具有大学文化程 度的人数 每10万大陆人口中具 有大学文化程度的人 数 1990 年1133682501161246781422 2000 年1265830000457100003611 2010 年13397248521196367908930 2020 年14117787242183607
8、6715467 （1）设下一次人口普查我国大陆人口共 a 人，其中具有大学文化程度的有 b 人，则该次 人口普查中每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数为； （用 含有 a，b 的代数式表示） （2）如果将 2020 年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他） 的人数分布制作成扇形统计图， 求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数； （精确到 1） （3）你认为统计“每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好 第 6页（共 32页） 处？（写出一个即可） 25 （6 分）如图，点 A 和点 E（2，1）是反比例函数 y? ? ?（x0）图
9、象上的两点，点 B 在 反比例函数 y? ? ?（x0）的图象上，分别过点 A，B 作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，D， ACBD，连接 AB 交 y 轴于点 F （1）k； （2）设点 A 的横坐标为 a，点 F 的纵坐标为 m，求证：am2； （3）连接 CE，DE，当CED90时，直接写出点 A 的坐标： 26 （8 分）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 在边 BC 上，O 经过 A，B，P 三点 （1）若 BP3，判断边 CD 所在直线与O 的位置关系，并说明理由； （2）如图 2，E 是 CD 的中点，O 交射线 AE 于点 Q，当 AP 平分EAB 时，求 ta
10、n EAP 的值 27 （11 分）将一张三角形纸片 ABC 放置在如图所示的平面直角坐标系中，点 A（6，0） ， 点 B（0，2） ，点 C（4，8） ，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点 A，B，该 抛物线的对称轴经过点 C，顶点为 D 第 7页（共 32页） （1）求该二次函数的表达式及点 D 的坐标； （2）点 M 在边 AC 上（异于点 A，C） ，将三角形纸片 ABC 折叠，使得点 A 落在直线 AB 上，且点 M 落在边 BC 上，点 M 的对应点记为点 N，折痕所在直线 l 交抛物线的对称轴 于点 P，然后将纸片展开 请作出图中点 M 的对应点 N 和折痕所在直
11、线 l； （要求：尺规作图，不写作法，保留 作图痕迹） 连接 MP，NP，在下列选项中：A折痕与 AB 垂直，B折痕与 MN 的交点可以落在 抛物线的对称轴上，C.r r? ? ? ?，D. r r? ?，所有正确选项的序号是 点 Q 在二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象上，当PDQPMN 时，求点 Q 的坐 标 28 （11 分）如图 1，ABCDEF90，AB，FE，DC 为铅直方向 的边，AF，ED，BC 为水平方向的边，点 E 在 AB，CD 之间，且在 AF，BC 之间，我们 称这样的图形为“L 图形” ，记作“L 图形 ABCDEF” 若直线将 L 图形分成面积相等的 两个
12、图形，则称这样的直线为该 L 图形的面积平分线 【活动】 小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案： 如图2， 将这个L图形分成矩形AGEF、 矩形 GBCD，这两个矩形的对称中心 O1，O2所在直线是该 L 图形的面积平分线 请用无刻度的直尺在图 1 中作出其他的面积平分线 （作出一种即可，不写作法，保留作 图痕迹） 第 8页（共 32页） 【思考】 如图 3，直线 O1O2是小华作的面积平分线，它与边 BC，AF 分别交于点 M，N，过 MN 的中点 O 的直线分别交边 BC，AF 于点 P，Q，直线 PQ（填“是”或“不是” ）L 图形 ABCDEF 的面积平分线 【应用】 在 L
13、图形 ABCDEF 形中，已知 AB4，BC6 （1）如图 4，CDAF1 该 L 图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点 P，Q，求 PQ 长的最大值； 该 L 图形的面积平分线与边 AB，CD 分别相交于点 G，H，当 GH 的长取最小值时， BG 的长为 （2）设? ? ?t（t0） ，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与 边 AB，CD 相交的面积平分线，直接写出 t 的取值范围 第 9页（共 32页） 2021 年江苏省镇江市中考数学试卷年江苏省镇江市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 小题，每小
14、题小题，每小题 2 分，分，24 分）分） 1 （2 分）5 的绝对值等于5 【解答】解：5 的绝对值|5|5 故答案是：5 2 （2 分）使 ? ? ?有意义的 x 的取值范围是x7 【解答】解：使 ? ? ?有意义，则 x70， 解得：x7 故答案为：x7 3 （2 分）8 的立方根是2 【解答】解：8 的立方根为 2， 故答案为：2 4 （2 分）如图，花瓣图案中的正六边形 ABCDEF 的每个内角的度数是120 【解答】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为 x， 则 6x（62）180， 解得 x120 故答案为：120 5 （2 分）一元二次方程 x（x+1）0 的两根分别为x10
15、，x21 【解答】解：方程 x（x+1）0， 可得 x0 或 x+10， 解得：x10，x21 故答案为：x10，x21 第 10页（共 32页） 6 （2 分）小丽的笔试成绩为 100 分，面试成绩为 90 分，若笔试成绩、面试成绩按 6：4 计 算平均成绩，则小丽的平均成绩是96分 【解答】解：小丽的平均成绩是?tt?t? ? ?96（分） ， 故答案为：96 7 （2 分）某射手在一次训练中共射出了 10 发子弹，射击成绩如图所示，则射击成绩的中 位数是9环 【解答】解：由统计图可得， 中间的两个数据是 9，9，故射击成绩的中位数是（9+9）29（环） ， 故答案为：9 8 （2 分）如
16、图，点 D，E 分别在ABC 的边 AC，AB 上，ADEABC，M，N 分别是 DE，BC 的中点，若?r ? ? ? ?，则 ? ? ? ? ? 【解答】解：M，N 分别是 DE，BC 的中点， AM、AN 分别为ADE、ABC 的中线， ADEABC， ? ? ? ?r ? ? ? ?， ? ? ?（? ?） 2? ?， 第 11页（共 32页） 故答案为：? ? 9 （2 分）如图，点 A，B，C，O 在网格中小正方形的顶点处，直线 l 经过点 C，O，将 ABC 沿 l 平移得到MNO，M 是 A 的对应点，再将这两个三角形沿 l 翻折，P，Q 分别是 A，M 的对应点已知网格中每个
17、小正方形的边长都等于 1，则 PQ 的长为?t 【解答】解：连接 PQ，AM， 由图形变换可知：PQAM， 由勾股定理得：AM? ?t， PQ?t 故答案为： ?t 10 （2 分）已知一次函数的图象经过点（1，2） ，且函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，写 出符合条件的一次函数表达式yx+3 （答案不唯一，写出一个即可） 【解答】解：设一次函数表达式为 ykx+b 函数值 y 随自变量 x 的增大而减小， k0，取 k1 又一次函数的图象经过点（1，2） ， 21+b， b3， 第 12页（共 32页） 一次函数表达式为 yx+3 故答案为：yx+3 11 （2 分）一只不透明的袋子中
18、装有 1 个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都 相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得 P（摸出一红一黄）P（摸出两红） ，则放入 的红球个数为3 【解答】解：假设袋中红球个数为 1， 此时袋中由 1 个黄球、1 个红球， 搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）1，P（摸出两红）0，不符合题意 假设袋中的红球个数为 2， 列树状图如下： 由图可知，共有 6 种情况，其中两次摸到红球的情况有 2 种，摸出一红一黄的有 4 种结 果， P（摸出一红一黄）? ? ? ? ? ?，P（摸出两红）? ? ? ? ? ?，不符合题意， 假设袋中的红球个数为 3， 画树状图如下： 由图可知，共有
19、 12 种情况，其中两次摸到红球的情况有 6 种，摸出一红一黄的有 6 种结 果， P（摸出一红一黄）P（摸出两红）? ? ? ? ? ?，符合题意， 所以放入的红球个数为 3， 故答案为：3 12 （2 分）如图，等腰三角形 ABC 中，ABAC，BC6，cosABC? ? ?，点 P 在边 AC 上 第 13页（共 32页） 运动（可与点 A，C 重合） ，将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 120，得到线段 DP，连接 BD，则 BD 长的最大值为9 ? 【解答】解：将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 120，得到线段 DP， BPPD， BPD 是等腰三角形， PBD30， 过点 P
20、作 PHBD 于点 H， BHDH， cos30? ?t ? ? ? ? ， BH? ? ? BP， BD?BP， 当 BP 最大时，BD 取最大值，即点 P 与点 A 重合时，BPBA 最大， 过点 A 作 AGBC 于点 G， ABAC，AGBC， BG? ? ?BC3， cosABC? ? ?， 第 14页（共 32页） ? ? ? ? ?， AB9， BD 最大值为： ?BP9 ? 故答案为：9 ? 二二、选择题选择题（本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 18 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，恰有一恰有一 项是符合题目要求的）项是符合题
21、目要求的） 13 （3 分）如图所示，该几何体的俯视图是（） A正方形B长方形C三角形D圆 【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形是三角形 故选：C 14 （3 分）2021 年 14 月份，全国规模以上工业企业利润总额超 25900 亿元，其中 25900 用科学记数法表示为（） A25.9103B2.59104C0.259105D2.59105 【解答】解：259002.59104， 故选：B 15 （3 分）如图，BAC36，点 O 在边 AB 上，O 与边 AC 相切于点 D，交边 AB 于 点 E，F，连接 FD，则AFD 等于（） A27B29C35D37 第 15页（共 32
22、页） 【解答】解：连接 OD， O 与边 AC 相切于点 D， ADO90， BAC36， AOD903654， AFD? ? ?AOD? ? ? ?5427， 故选：A 16 （3 分）如图，输入数值 1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果 输入下一个方框继续进行运算） ，输出的结果为（） A1840B1921C1949D2021 【解答】解：把 1921 代入得： （19211840+50）（1）1311000， 把131 代入得： （1311840+50）（1）19211000， 则输出结果为 1921+1002021 第 16页（共 32页） 故选：D 17 （3
23、分）设圆锥的底面圆半径为 r，圆锥的母线长为 l，满足 2r+l6，这样的圆锥的侧面 积（） A有最大值? ? B有最小值? ? C有最大值? ? D有最小值? ? 【解答】解：2r+l6， l62r， 圆锥的侧面积 S侧rlr（62r）2（r23r）2（r? ? ?） 2? ?2 （r? ? ?） 2? ?， 当 r? ? ?时，S 侧有最大值 ? ? 故选：C 18 （3 分）如图，小明在 33 的方格纸上写了九个式子（其中的 n 是正整数） ，每行的三 个式子的和自上而下分别记为 A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为 B1， B2，B3，其中，值可以等于 789 的是（）
24、 AA1BB1CA2DB3 【解答】解：由题意得：A12n+1+2n+3+2n+5789， 整理得：2n260， 则 n 不是整数，故 A1的值不可以等于 789； A22n+7+2n+9+2n+11789， 整理得：2n254， 则 n 不是整数，故 A2的值不可以等于 789； 第 17页（共 32页） B12n+1+2n+7+2n+13789， 整理得：2n25628， 则 n 是整数，故 B1的值可以等于 789； B32n+5+2n+11+2n+17789， 整理得：2n252， 则 n 不是整数，故 B3的值不可以等于 789； 故选：B 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共
25、10 小题，共小题，共 78 分分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分） （1）计算： （1?）02sin45?； （2）化简： （x21）（1? ? ?）x 【解答】解： （1）原式12 ? ? ? ?1 （2）原式（x+1） （x1） ? ? ?x （x+1） （x1） ? ? ?x x（x+1）x x（x+11） x2 20 （10 分） （1）解方程：? ? ? ? ? ?0； （2）解不等式组： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【解答】解： （1）去分母得：3（x2）2x0， 去括号得：3x62x0， 解得：x
26、6， 检验：把 x6 代入得：x（x2）240， 分式方程的解为 x6； （2） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 由得：x1， 由得：x2， 则不等式组的解集为 x2 第 18页（共 32页） 21 （6 分）甲、乙、丙三人各自随机选择到 A，B 两个献血站进行爱心献血求这三人在同 一个献血站献血的概率 【解答】解：画树状图得： 共 8 种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有 2 种结果， 所以这三人在同一个献血站献血的概率为? ? ? ? ? 22 （6 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 DA，BC，使得 AECF，连接 BE， DF （1）求证：ABECD
27、F； （2）连接 BD，130，220，当ABE10时，四边形 BFDE 是菱形 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，BADBCD， 1DCF， 在ABE 和CDF 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ABECDF（SAS） ； （2）当ABE10时，四边形 BFDE 是菱形， 理由如下：ABECDF， BEDF，AECF， BFDE， 第 19页（共 32页） 四边形 BFDE 是平行四边形， 130，220， ABD1210， DBE20， DBEEDB20， BEDE， 平行四边形 BFDE 是菱形， 故答案为 10 24 （6 分）如表是第四至七
28、次全国人口普查的相关数据 年份我国大陆人口总数其中具有大学文化程 度的人数 每10万大陆人口中具 有大学文化程度的人 数 1990 年1133682501161246781422 2000 年1265830000457100003611 2010 年13397248521196367908930 2020 年141177872421836076715467 （1）设下一次人口普查我国大陆人口共 a 人，其中具有大学文化程度的有 b 人，则该次 人口普查中每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数为 ?ttttt? ? ； （用含有 a，b 的代数式表示） （2）如果将 2020 年大陆人口中
29、具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他） 的人数分布制作成扇形统计图， 求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数； （精确到 1） （3）你认为统计“每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好 处？（写出一个即可） 【解答】解：由题意得， 下一次人口普查中每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数为?ttttt? ? ， 故答案为：?ttttt? ? ； （2）360 ?t? ? ?56， 第 20页（共 32页） 答：表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数大约为 56； （3）比较直观的反应出“每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的大小
30、，说明 国民素质和文化水平的情况 25 （6 分）如图，点 A 和点 E（2，1）是反比例函数 y? ? ?（x0）图象上的两点，点 B 在 反比例函数 y? ? ?（x0）的图象上，分别过点 A，B 作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，D， ACBD，连接 AB 交 y 轴于点 F （1）k2； （2）设点 A 的横坐标为 a，点 F 的纵坐标为 m，求证：am2； （3）连接 CE，DE，当CED90时，直接写出点 A 的坐标：（? ?， ? ?） 【解答】解： （1）点 E（2，1）是反比例函数 y? ? ?（x0）图象上的点， ? ? ?1， 解得 k2， 故答案为：2； （2）在AC
31、F 和BDF 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ， ACFBDF（AAS） ， SBDFSACF， 点 A 坐标为（a，? ?） ，则可得 C（0， ? ?） ， 第 21页（共 32页） ACa，OC? ? ?， 即? ?a（ ? ? ?m）? ? ?a（ ? ? ?m） ， 整理得 am2； （3）设 A 点坐标为（a，? ?） ， 则 C（0，? ?） ，D（0，? ? ?） ， E（2，1） ，CED90， CE2+DE2CD2， 即 22+（1? ? ?） 2+22+（1? ?） 2（? ? ? ? ?） 2， 解得 a2（舍去）或 a? ? ?， A 点的坐标为（? ?， ?
32、?） 26 （8 分）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 在边 BC 上，O 经过 A，B，P 三点 （1）若 BP3，判断边 CD 所在直线与O 的位置关系，并说明理由； （2）如图 2，E 是 CD 的中点，O 交射线 AE 于点 Q，当 AP 平分EAB 时，求 tan EAP 的值 【解答】解： （1）如图 11 中，连接 AP，过点 O 作 OHAB 于 H，交 CD 于 E 第 22页（共 32页） 四边形 ABCD 是正方形， ABAD4，ABP90， AP 是直径， AP? ? ?5， OHAB， AHBH， OAOP，AHHB， OH? ? ?PB? ? ?，
33、DDAHAHE90， 四边形 AHED 是矩形， OECE，EHAD4， OEEHOH4? ? ? ? ? ?， OEOP， 直线 CD 与O 相切 （2）如图 2 中，延长 AE 交 BC 的延长线于 T，连接 PQ DECT90，DEEC，AEDTEC， ADETCE（ASA） ， ADCT4， 第 23页（共 32页） BTBC+CT4+48， ABT90， AT? ? ?4 ?， AP 是直径， AQP90， PA 平分EAB，PQAQ，PBAB， PBPQ， 设 PBPQx， SABTSABP+SAPT， ? ? ?48? ? ? ?4 ? ?x? ? ? ?4x， x2 ? ?2，
34、 tanEAPtanPAB? ? ? ? ? ? 27 （11 分）将一张三角形纸片 ABC 放置在如图所示的平面直角坐标系中，点 A（6，0） ， 点 B（0，2） ，点 C（4，8） ，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点 A，B，该 抛物线的对称轴经过点 C，顶点为 D （1）求该二次函数的表达式及点 D 的坐标； （2）点 M 在边 AC 上（异于点 A，C） ，将三角形纸片 ABC 折叠，使得点 A 落在直线 AB 上，且点 M 落在边 BC 上，点 M 的对应点记为点 N，折痕所在直线 l 交抛物线的对称轴 于点 P，然后将纸片展开 请作出图中点 M 的对应点 N 和折
35、痕所在直线 l； （要求：尺规作图，不写作法，保留 作图痕迹） 连接 MP，NP，在下列选项中：A折痕与 AB 垂直，B折痕与 MN 的交点可以落在 抛物线的对称轴上，C.r r? ? ? ?，D. r r? ?，所有正确选项的序号是A，D 点 Q 在二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象上，当PDQPMN 时，求点 Q 的坐 标 第 24页（共 32页） 【解答】解（1）由题意得： ? ? ? ? ? t ? ? ? ? ? ? ? ? ， 解之得：a? ? ?，b? ? ?，c2， y? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 x4 时，y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
36、? ? ? ? ?， D（4，? ? ?） （2）如图 1 中，点 N，直线 l 即为所求 如图 2 中，设线段 MN 的垂直平分线交抛物线对称轴于 P，交 MN 于点 Q，过点 M 作 MHCD，过点 Q 作 QJCD 于 J，QTMH 于 T 由题意 A（6，0） ，B（0，2） ，C（4，8） ， 第 25页（共 32页） 直线 AC 的解析式为 y4x+24，直线 AB 的解析式为 y? ? ?x+2，直线 BC 的解析式 为 y? ? ?x+2， MNAB， 可以假设直线 MN 的解析式为 y? ? ?x+t， 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 ? ? ? ?
37、? ? ? ? ， M（? ? ，? ? ） ， 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? ? ? ? ? ? ? ? ， N（? ? ，? ? ） ， Q（ （?t? ? ，?t ? ） ， QJCD，QTMH， QJ? ?t? ? ?4? ? ? ，QT? ?t ? ? ? ? ? ? ? ， QJQT， PJQMTQ90，QPJQMT，QJQT， PJQMTQ（AAS） ， PQMQ， PQM90， PMNMPQ45， PMPN， PMNPNM45， 第 26页（共 32页） MPN90， PMN 是等腰直角三角形， r r? ?，故选项 D 正确，B，C 错
38、误， 将三角形纸片 ABC 折叠，使得点 A 落在直线 AB 上，且点 M 落在边 BC 上， 折痕与 AB 垂直，故选项 A 正确， 故答案为：A，D 设 P（4，m） PDQPMN，PMN 是等腰直角三角形， PDQ 是等腰直角三角形， DPQ90，DPPQm? ? ?， Q（4+m? ? ?，m） ，即 Q（? ?t ? ?m，m） ， 把 Q 的坐标代入 y? ? ? ? ? ? ? ? ?，得到，m? ? ?（? ?t ? ?m）2? ? ?（? ?t ? ?m）+2， 整理得，9m242m320， 解得 m? ? ? 或? ? ?（舍弃） ， Q（2，? ? ） ， 根据对称性可知
39、 Q（10，? ? ）也满足条件， 综上所述，满足条件的点 Q 的坐标为（2，? ? ）或（10，? ? ） 28 （11 分）如图 1，ABCDEF90，AB，FE，DC 为铅直方向 的边，AF，ED，BC 为水平方向的边，点 E 在 AB，CD 之间，且在 AF，BC 之间，我们 第 27页（共 32页） 称这样的图形为“L 图形” ，记作“L 图形 ABCDEF” 若直线将 L 图形分成面积相等的 两个图形，则称这样的直线为该 L 图形的面积平分线 【活动】 小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案： 如图2， 将这个L图形分成矩形AGEF、 矩形 GBCD，这两个矩形的对称中心 O
40、1，O2所在直线是该 L 图形的面积平分线 请用无刻度的直尺在图 1 中作出其他的面积平分线 （作出一种即可，不写作法，保留作 图痕迹） 【思考】 如图 3，直线 O1O2是小华作的面积平分线，它与边 BC，AF 分别交于点 M，N，过 MN 的中点 O 的直线分别交边 BC，AF 于点 P，Q，直线 PQ是（填“是”或“不是” ）L 图形 ABCDEF 的面积平分线 【应用】 在 L 图形 ABCDEF 形中，已知 AB4，BC6 （1）如图 4，CDAF1 该 L 图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点 P，Q，求 PQ 长的最大值； 该 L 图形的面积平分线与边 AB，CD 分别相交
41、于点 G，H，当 GH 的长取最小值时， BG 的长为 ? ? （2）设? ? ?t（t0） ，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与 第 28页（共 32页） 边 AB，CD 相交的面积平分线，直接写出 t 的取值范围 ? ? t ? ? 【解答】解： 【活动】如图 1，直线 O1O2是该 L 图形的面积平分线； 【思考】如图 2，AB90， AFBC， NQOMPO， 点 O 是 MN 的中点， ONOM， 在OQN 和OPM 中， ? ?r? ? ? ?r? ? ? ?r ， OQNOPM（AAS） ， SOQNSOPM， S梯形ABMNSMNFEDC， S梯形ABMN
42、SOPMSMNFEDCSOQN， 即 SABPONSCDEFQOM， SABPON+SOQNSCDEFQOM+SOPM， 即 S梯形ABPQSCDEFQP， 直线 PQ 是 L 图形 ABCDEF 的面积平分线 故答案为：是； 第 29页（共 32页） 【应用】 （1）如图 31，以直线 OC 为 x 轴，OA 为 y 轴，以 B 为原点，建立平面直角坐标系， 同理确定 L 图形 ABCDEF 的面积平分线：直线 O1O2， AB4，BC6，AFCD1， B（0，0） ，F（1，4） ，D（6，1） ，K（1，0） ， 线段 BF 的中点 O1的坐标为（? ?，2） ，线段 DK 的中点 O2
43、 的坐标为（? ?， ? ?） ， 设直线 O1O2的解析式为：ykx+b， 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得： ? ? ? ? ? ? ? ? ， 直线 O1O2的解析式为：y? ? ?x? ? ?， 当 y0 时，? ? ?x? ? ? ?0，解得：x? ? ?， Q（? ?，0） ， 当 y1 时，? ? ?x? ? ? ?1，解得：x? ? ?， P（? ?，1） ， PQ? ? ? ? ? ? ? ? t?； 如图 32，同理确定平面直角坐标系，画出 L 图形 ABCDEF 的面积平分线：直线 O3O4， 第 30页（共 32页） G（0，1） ，F（1
44、，4） ，C（6，0） ， 线段 GF 的中点 O3的坐标为（? ?， ? ?） ，线段 CG 的中点 O4 的坐标为（3，? ?） ， 设直线 O3O4的解析式为：ymx+n， 则 ? ? ? h ? ? ? ? h ? ? ? ，解得： ? ? ? ? h ? ? ?t ， 直线 O3O4的解析式为：y? ? ?x? ? ?t， 当 y0 时，? ? ?x? ? ?t ?0，解得：x? ? ? ， Q（? ? ，0） ， 当 y1 时，? ? ?x? ? ?t ?1，解得：x? ? ? ， P（? ? ，1） ， PQ? ? ? ? ? ? ? ? t? ? ? ； ? ? ?； PQ 长
45、的最大值为 ?； 如图 4，当 GHAB 时 GH 最短，过点 E 作 EMAB 于 M， 第 31页（共 32页） 设 BGx，则 MG1x， 根据上下两部分面积相等可知，6x（41）1+（1x）6， 解得 x? ? ?，即 BG? ? ?； 故答案为：? ?； （2）? ? ?t（t0） ， CDtAF， 在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分 线， 如图 5，直线 DE 将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的 与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分线， 即（4tAF）AF6tAF， AF ? ? ?6， 0AF6， 0 ? ? ?66， 第 32页（共 32页） ? ? t ? ? 故答案为：? ? t ? ?
