1、第 1页（共 28页） 2021 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体氧气氢气氮气氦气 液化温度183253195.8268 其中液化温度最低的气体是（） A氦气B氮气C氢气D氧气 2 （3 分）如图，在ABC 中，B50，C70，直线 DE 经过点 A，DAB50， 则EAC 的度数是（） A40
2、B50C60D70 3 （3 分）如图所示的几何体，其俯视图是（） ABCD 4 （3 分）下列计算正确的是（） A3a2+4a27a4B ? ? ?1 C18+12（? ? ?）4 D ? ? ?a1? ? ? 第 2页（共 28页） 5 （3 分）已知关于 x 的不等式组 ? ?h? ? ? ? h ? ? ? ? ? ? 无实数解，则 a 的取值范围是（） Aa? ? ? Ba2Ca? ? ? Da2 6 （3 分）某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘 制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下 3 个判断，错误的有（） 该校初一学生在这三类不同地区的分布情
3、况为 3：2：7 若已知该校来自牧区的初一学生为 140 人，则初一学生总人数为 1080 人 若从该校初一学生中抽取 120 人作为样本， 调查初一学生父母的文化程度， 则从农村、 牧区、城镇学生中分别随机抽取 30、20、70 人，样本更具有代表性 A3 个B2 个C1 个D0 个 7 （3 分）在平面直角坐标系中，点 A（3，0） ，B（0，4） 以 AB 为一边在第一象限作正方 形 ABCD，则对角线 BD 所在直线的解析式为（） Ay? ? ?x+4 By? ? ?x+4 Cy? ? ?x+4 Dy4 8 （3 分）如图，正方形的边长为 4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正
4、八边 形的外接圆直径 d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形 的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面 d 及的值都正确的是（） Ad? ? ? ?，8sin22.5 Bd? ? ? ?，4sin22.5 Cd? ? ? ?，8sin22.5 Dd? ? ? ?，4sin22.5 第 3页（共 28页） 9 （3 分）以下四个命题： 任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分； A，B，C，D，E，F 六个足球队进行单循环赛，若 A，B，C，D，E 分别赛了 5，4， 3，2，1 场，则由此可知，还没有与 B 队比赛的球队可能是 D 队； 两个正六边形一定位
5、似； 有 13 人参加捐款，其中小王的捐款数比 13 人捐款的平均数多 2 元，则小王的捐款数 不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少 其中真命题的个数有（） A1 个B2 个C3 个D4 个 10 （3 分）已知二次项系数等于 1 的一个二次函数，其图象与 x 轴交于两点（m，0） ， （n， 0） ，且过 A（0，b） ，B（3，a）两点（b，a 是实数） ，若 0mn2，则 ab 的取值范围 是（） A0ab ? ? B0ab ? ? C0ab ? ? D0ab ? ? 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 18 分分本题要求把正确结果填
6、在答题卡规本题要求把正确结果填在答题卡规 定的横线上，不需要解答过程）定的横线上，不需要解答过程） 11 （3 分）因式分解：x3y4xy 12（3 分） 正比例函数 yk1x 与反比例函数 y? ? h 的图象交于 A， B 两点， 若 A 点坐标为 （ ?， 2 ?） ，则 k1+k2 13 （3 分）已知圆锥的母线长为 10，高为 8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长 为 （用含的代数式表示） ，圆心角为度 14 （3 分）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的 概率为 0.5，据此若设刚出生的这种动物共有 a 只，则 20 年后存活的有只
7、， 现年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率是 15 （3 分）已知菱形 ABCD 的面积为 2 ?，点 E 是一边 BC 上的中点，点 P 是对角线 BD 上 的 动 点 连 接 AE ， 若 AE 平 分 BAC ， 则 线 段 PE 与 PC 的 和 的 最 小 值 为，最大值为 16 （3 分）若把第 n 个位置上的数记为 xn，则称 x1，x2，x3，xn有限个有序放置的数为 一个数列 A定义数列 A 的“伴生数列”B 是：y1，y2，y3，yn，其中 yn是这个数列 第 4页（共 28页） 中第 n 个位置上的数，n1，2，k 且 yn? ?，h? h?t? ?，h? h?t?
8、并规定 x 0 xn，xn+1x1如 果数列A只有四个数， 且x1， x2， x3， x4依次为3， 1， 2， 1， 则其 “伴生数列” B是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 72 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）计算求解： （1）计算（? ?） 1（ ? ? ?）? t?tan30； （2）解方程组 ?ht ? ? ? ?ht ? ? ? 18 （8 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BEDF 且分别交对角线 AC 于点 E，F （1）求证：ABECDF； （2）当四边形 AB
9、CD 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 BEDF 的形状 （无需说 明理由） 19 （10 分）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二年 级举行有关党史知识测试活动现从一、二两个年级中各随机抽取 20 名学生的测试成绩 （满分 50 分，30 分及 30 分以上为合格；40 分及 40 分以上为优秀）进行整理、描述和 分析，给出了下面的部分信息 大学一年级 20 名学生的测试成绩为： 39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37， 25 大学二年级 20 名学生的测试成绩条形统计图如图所示； 两
10、个年级抽取的学生的测试成绩 的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示： 第 5页（共 28页） 年级平均数众数中位数优秀率 大一ab43m 大二39.544cn 请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题： （1） 上表中 a， b， c， m， n； 根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说 明理由（写出一条理由即可） ； （2）已知该大学一、二年级共 1240 名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加 此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过 1000 人； （3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两 人在同一年级的概
11、率 20 （8 分）如图，线段 EF 与 MN 表示某一段河的两岸，EFMN综合实践课上，同学们 需要在河岸 MN 上测量这段河的宽度 （EF 与 MN 之间的距离） ， 已知河对岸 EF 上有建筑 物 C、D，且 CD60 米，同学们首先在河岸 MN 上选取点 A 处，用测角仪测得 C 建筑 物位于 A 北偏东 45方向， 再沿河岸走 20 米到达 B 处， 测得 D 建筑物位于 B 北偏东 55 方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度， （用非特殊角的三角函数或根式表示即可） 21 （7 分）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究 3 探究 3 电话计费问题 下表中有两种
12、移动电话计费方式 月使用费/元主叫限定时间 /min 主叫超时费/（元 /min） 被叫 方式一581500.25免费 第 6页（共 28页） 方式二883500.19免费 考虑下列问题： 月使用费固定收： 主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费 （1）设一个月内用移动电话主叫为 tmin（t 是正整数） 根据上表，列表说明：当 t 在不 同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费 （2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算 验证你的看法 小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起 计费的变化，他把主叫
13、时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题 （1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量 x 和自变量的函数 y，请你帮小明写出： x 表示问题中的，y 表示问题中的 并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式； （2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出 如何根据主叫时间选择省钱的计费方式 （注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定） 22 （7 分）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了 第 7页（共 28页） “足球俱乐部 1 小时”活动去年学校通过采购平台在某体育用品店购买 A 品牌足球共 花费 2
14、880 元，B 品牌足球共花费 2400 元，且购买 A 品牌足球数量是 B 品牌数量的 1.5 倍，每个足球的售价，A 品牌比 B 品牌便宜 12 元今年由于参加俱乐部人数增加，需要 从该店再购买 A、B 两种足球共 50 个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整， A 品牌比去年提高了 5%，B 品牌比去年降低了 10%，如果今年购买 A、B 两种足球的总 费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个 B 品牌足球？ 23 （10 分）已知 AB 是O 的任意一条直径 （1）用图 1，求证：O 是以直径 AB 所在直线为对称轴的轴对称图形； （2） 已知O 的面积为 4， 直线
15、 CD 与O 相切于点 C， 过点 B 作 BDCD， 垂足为 D， 如图 2 求证：? ?BC 22BD； 改变图 2 中切点 C 的位置，使得线段 ODBC 时，OD2 ? 24 （12 分）已知抛物线 yax2+kx+h（a0） （1）通过配方可以将其化成顶点式为，根据该抛物线在对称轴 两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在 x 轴（填上方或 下方） ，即 4ahk20（填大于或小于）时，该抛物线与 x 轴必有两 个交点； （2）若抛物线上存在两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，分布在 x 轴的两侧，则抛物线顶点 必在 x 轴下方，请你结合 A、B 两点在抛物线上的可能位置
16、，根据二次函数的性质，对这 个结论的正确性给以说明； （为了便于说明，不妨设 x1x2且都不等于顶点的横坐标；另 如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图） （3）利用二次函数（1） （2）结论，求证：当 a0， （a+c） （a+b+c）0 时， （bc）2 4a（a+b+c） 第 8页（共 28页） 2021 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题
17、目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体氧气氢气氮气氦气 液化温度183253195.8268 其中液化温度最低的气体是（） A氦气B氮气C氢气D氧气 【解答】解：268253195.8183， 其中液化温度最低的气体是氦气 故选：A 2 （3 分）如图，在ABC 中，B50，C70，直线 DE 经过点 A，DAB50， 则EAC 的度数是（） A40B50C60D70 【解答】解：B50，C70， BAC180BC180507060， DAB50，DAB+BAC+EAC180， EAC180DABBAC180506070， 故选：D 3
18、 （3 分）如图所示的几何体，其俯视图是（） 第 9页（共 28页） ABCD 【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形如下： 故选：B 4 （3 分）下列计算正确的是（） A3a2+4a27a4B ? ? ?1 C18+12（? ? ?）4 D ? ? ?a1? ? ? 【解答】解：3a2+4a27a2，故选项 A 错误； 当 a0 时， ? ? ? ?a? ? ? ?1，当 a0 时， ? ? ? ?a? ? ? ?1，故选项 B 错误； 18+12（? ? ?）181836，故选项 C 错误； ? ? ?a1? ? ? ?（a+1）? ?t? ? ? ?t? ? ? ? ?，故选项 D
19、 正确； 故选：D 5 （3 分）已知关于 x 的不等式组 ? ?h? ? ? ? h ? ? ? ? ? ? 无实数解，则 a 的取值范围是（） Aa? ? ? Ba2Ca? ? ? Da2 【解答】解：解不等式2x31 得：x2， 解不等式h ? ?1? ? ? 得：x2a+2， 关于 x 的不等式组 ? ?h? ? ? ? h ? ? ? ? ? ? 无实数解， 第 10页（共 28页） 不等式的解集为 2a+22， 解得：a2， 故选：D 6 （3 分）某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘 制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下 3 个判断，错误的有（
20、） 该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为 3：2：7 若已知该校来自牧区的初一学生为 140 人，则初一学生总人数为 1080 人 若从该校初一学生中抽取 120 人作为样本， 调查初一学生父母的文化程度， 则从农村、 牧区、城镇学生中分别随机抽取 30、20、70 人，样本更具有代表性 A3 个B2 个C1 个D0 个 【解答】解：该校来自城镇的初一学生的扇形的圆心角为：3609060210， 该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为 90：60：2103：2：7，故正确，不 符合题意； 若已知该校来自牧区的初一学生为 140 人，则初一学生总人数为 140 ? ? ?840（人） ，
21、故错误，符合题意； 120 ? ? ?30（人） ， 120 ? ? ?20（人） ， 120 ? ? ?70（人） ， 故正确，不符合题意； 故选：C 7 （3 分）在平面直角坐标系中，点 A（3，0） ，B（0，4） 以 AB 为一边在第一象限作正方 形 ABCD，则对角线 BD 所在直线的解析式为（） Ay? ? ?x+4 By? ? ?x+4 Cy? ? ?x+4 Dy4 第 11页（共 28页） 【解答】解：过 D 点作 DHx 轴于 H，如图， 点 A（3，0） ，B（0，4） OA3，OB4， 四边形 ABCD 为正方形， ABAD，BAD90， OBA+OAB90，ABO+DA
22、H90， ABODAH， 在ABO 和DAH 中， ?th ?t? ?ht ? ?t ?h ? ? ， ABODAH（AAS） ， AHOB4，DHOA3， D（7，3） ， 设直线 BD 的解析式为 ykx+b， 把 D（7，3） ，B（0，4）代入得 ?t i ? ? i ? ? ，解得 ? ? ? ? i ? ? ， 直线 BD 的解析式为 y? ? ?x+4 故选：A 8 （3 分）如图，正方形的边长为 4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边 形的外接圆直径 d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形 的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面 d
23、 及的值都正确的是（） 第 12页（共 28页） Ad? ? ? ?，8sin22.5 Bd? ? ? ?，4sin22.5 Cd? ? ? ?，8sin22.5 Dd? ? ? ?，4sin22.5 【解答】解：如图，连接 AD，BC 交于点 O，过点 O 作 OPBC 于点 P， 则 CPPD，且COP22.5， 设正八边形的边长为 a，则 a+2 ? ? a4， 解得 a4（ ? ?1） ， 在 RtOCP 中，OC? ? ? ? ? ? ?， d2OC? ? ? ?， 由d8CD， 则? ? ? 32（ ? ?1） ， 8sin22.5 故选：C 9 （3 分）以下四个命题： 任意三角
24、形的一条中位线与第三边上的中线互相平分； A，B，C，D，E，F 六个足球队进行单循环赛，若 A，B，C，D，E 分别赛了 5，4， 3，2，1 场，则由此可知，还没有与 B 队比赛的球队可能是 D 队； 两个正六边形一定位似； 第 13页（共 28页） 有 13 人参加捐款，其中小王的捐款数比 13 人捐款的平均数多 2 元，则小王的捐款数 不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少 其中真命题的个数有（） A1 个B2 个C3 个D4 个 【解答】解：任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分，正确，是真命题， 符合题意； 由每个队分别与其它队比赛一场，最多赛 5 场，A 队已经赛完
25、 5 场，则每个队均与 A 队赛过，E 队仅赛一场（即与 A 队赛过） ，所以 E 队还没有与 B 队赛过，故原命题错误， 是假命题，不符合题意 两个正六边形一定相似但不一定位似，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 有 13 人参加捐款，其中小王的捐款数比 13 人捐款的平均数多 2 元，则小王的捐款数 不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少，正确，是真命题，符合题意， 正确的有 2 个， 故选：B 10 （3 分）已知二次项系数等于 1 的一个二次函数，其图象与 x 轴交于两点（m，0） ， （n， 0） ，且过 A（0，b） ，B（3，a）两点（b，a 是实数） ，若 0mn2，则
26、 ab 的取值范围 是（） A0ab ? ? B0ab ? ? C0ab ? ? D0ab ? ? 【解答】解法 1、函数是一个二次项系数为 1 的二次函数， 此函数的开口向上，开口大小一定， 抛物线与 x 轴交于两点（m，0） ， （n，0） ，且 0mn2， a0，b0， ab0， （ab）2a2+b22ab0（ab 时取等号） ， 即 a2+b22ab（当 ab 时取等号） ， 当 ab 时，ab 才有可能最大， 二次函数过 A（0，b） ，B（3，a）两点， 当 ab 时，点 A，B 才关于抛物线的对称轴对称，即抛物线的对称轴为直线 x1.5， 抛物线与 x 轴交于两点（m，0） ，
27、（n，0） ，且 0mn2， 第 14页（共 28页） 抛物线的顶点越接近 x 轴，ab 的值越大， 即当抛物线与 x 轴只有一个交点时，是 ab 最大值的分界点， 当抛物线与 x 轴只有一个交点时，此时 mn? ? ?， 抛物线的解析式为 y（x? ? ?） 2x23xt? ?， ab? ? ?， ab（? ?） 2? ?， 0ab ? ?， 故选：C 解法 2、由已知二次项系数等于 1 的一个二次函数，其图象与 x 轴交于两点（m，0） ， （n， 0） ， 所以可设交点式 y（xm） （xn） ， 分别代入（m，0） ， （n，0） ， abmn（3m） （3n）（3mm2） （3nn2
28、）（m? ? ?） 2t? ?（n? ? ?） 2t? ? 0mn2， 0（m? ? ?） 2t? ? ? ? ?，0（n? ? ?） 2t? ? ? ? ?， mn， ab 不能取? ?， 0mn ? ?， 故选：C 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 18 分分本题要求把正确结果填在答题卡规本题要求把正确结果填在答题卡规 定的横线上，不需要解答过程）定的横线上，不需要解答过程） 11 （3 分）因式分解：x3y4xyxy（x+2） （x2） 【解答】解：x3y4xy， xy（x24） ， xy（x+2） （x2） 第 15页（共 28页） 12
29、（3 分） 正比例函数 yk1x 与反比例函数 y? ? h 的图象交于 A， B 两点， 若 A 点坐标为 （ ?， 2 ?） ，则 k1+k28 【解答】解：正比例函数 yk1x 与反比例函数 y? ? h 的图象交于 A，B 两点，若 A 点坐 标为（ ?，2 ?） ， 2 ? ?k1，2 ? ? ? ?， k12，k26， k1+k28， 故答案为8 13 （3 分）已知圆锥的母线长为 10，高为 8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 12 （用含的代数式表示） ，圆心角为216度 【解答】解：设底面圆的半径为 rcm， 由勾股定理得：r? ?6， 2r2612， 根据题意得 26
30、? ? ? ， 解得 n216， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 216 故答案为：12，216 14 （3 分）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的 概率为 0.5，据此若设刚出生的这种动物共有 a 只，则 20 年后存活的有0.8a只，现 年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率是 ? ? 【解答】解：若设刚出生的这种动物共有 a 只，则 20 年后存活的有 0.8a 只， 设共有这种动物 x 只，则活到 20 岁的只数为 0.8x，活到 25 岁的只数为 0.5x， 故现年 20 岁到这种动物活到 25 岁的概率为?h ?h ? ? ?
31、， 故答案为：0.8a，? ? 15 （3 分）已知菱形 ABCD 的面积为 2 ?，点 E 是一边 BC 上的中点，点 P 是对角线 BD 上的动点连接 AE，若 AE 平分BAC，则线段 PE 与 PC 的和的最小值为?，最 大值为2t? 第 16页（共 28页） 【解答】解：根据图形可画出图形，如图所示， 过点 B 作 BFAC 交 AE 的延长线于点 F， FCAE，EBFACE， 点 E 是 BC 的中点， ACEFBE（AAS） ， BFAC， AE 平分BAC， BAECAE， BAEF， ABBFAC， 在菱形 ABCD 中，ABBC， ABBCAC，即ABC 是等边三角形；
32、ABC60， 设 ABa，则 BD?， 菱形 ABCD 的面积? ? ?ACBD2 ?，即 ? ? ? ? ? ?2 ?， a2，即 ABBCCD2； 四边形 ABCD 是菱形， 点 A 和点 C 关于 BD 对称， PE+PCAP+EP， 当点 A，P，E 三点共线时，AP+EP 的和最小，此时 AE?； 点 P 和点 D 重合时，PE+PC 的值最大，此时 PCDC2， 过点 D 作 DGBC 交 BC 的延长线于点 G，连接 DE， 第 17页（共 28页） ABCD，ABC60， DCG60， CG1，DG?， EG2， DE?t ?t ? ?， 此时 PE+PC2t?； 即线段 PE
33、 与 PC 的和的最小值为 ?；最大值为 2t? 故答案为： ?；2t? 16 （3 分）若把第 n 个位置上的数记为 xn，则称 x1，x2，x3，xn有限个有序放置的数为 一个数列 A定义数列 A 的“伴生数列”B 是：y1，y2，y3，yn，其中 yn是这个数列 中第 n 个位置上的数，n1，2，k 且 yn? ?，h? h?t? ?，h? h?t?并规定 x 0 xn，xn+1x1如 果数列 A 只有四个数，且 x1，x2，x3，x4依次为 3，1，2，1，则其“伴生数列”B 是0， 1，0，1 【解答】解：x0 x41x2， y10， x1x3， y21， x2x4， y30， x3
34、x5x1， y41， 第 18页（共 28页） “伴生数列”B 是：0，1，0，1， 故答案为 0，1，0，1 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 72 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）计算求解： （1）计算（? ?） 1（ ? ? ?）? t?tan30； （2）解方程组 ?ht ? ? ? ?ht ? ? ? 【解答】解： （1）原式3（ ? ?）t? ? ? ? 3（42）+1 32+1 2； （2）原方程整理为 ?ht ? ? ? ?ht ? ? ?， 12得：13x3900， 解得
35、x300， 把 x300 代入得：y400， 方程组的解为 h ? ? ? ? ? 18 （8 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BEDF 且分别交对角线 AC 于点 E，F （1）求证：ABECDF； （2）当四边形 ABCD 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 BEDF 的形状 （无需说 明理由） 【解答】解： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， BAEDCF， BEDF， BECDFA， 第 19页（共 28页） 180BEC180DFA， AEBCFD， 在ABE 和CDF 中， ?h ? ?h? ? ? ?h ? ? ， ABECDF（AAS
36、） ， （2）连接 ED，BF，BD， 由（1）知ABECDF， BEDF， BEDF， 四边形 BEDF 是平行四边形， 1当四边形 ABCD 是矩形时，四边形 BEDF 是平行四边形， 2当四边形 ABCD 是菱形时， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， EFBD， 四边形 BEDF 是菱形 19 （10 分）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二年 级举行有关党史知识测试活动现从一、二两个年级中各随机抽取 20 名学生的测试成绩 （满分 50 分，30 分及 30 分以上为合格；40 分及 40 分以上为优秀）进行整理、描述和 分析，给出了下面的部分信息
37、大学一年级 20 名学生的测试成绩为： 39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37， 25 大学二年级 20 名学生的测试成绩条形统计图如图所示； 两个年级抽取的学生的测试成绩 的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示： 第 20页（共 28页） 年级平均数众数中位数优秀率 大一ab43m 大二39.544cn 请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题： （1）上表中 a41.1，b43，c42.5，m55%，n65%； 根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说 明理由（写出一条理由即可）
38、 ； （2）已知该大学一、二年级共 1240 名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加 此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过 1000 人； （3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两 人在同一年级的概率 【解答】解： （1）将一年级 20 名同学成绩整理如下表： 成绩25303739434950 人数1242542 a? ? ?（251+302+374+392+435+494+502）41.1，b43， c? ?t? ? ?42.5，m（5+4+2）20100%55%，n（3+5+2+3）20100%65%， 故答案为：41.1，43，42.5，55
39、%，65%； 从表中优秀率看，二年级样本优秀率达到 65%高于一年级的 55%，因此估计二年级学生 的优秀率高， 所以用优秀率评价，估计二年级学生掌握党史知识较好 （2）样本合格率为：? ? ? ? ?92.5%， 估计总体的合格率大约为 92.5%， 第 21页（共 28页） 估计参加测试的两个年级合格学生约为：124092.51147（人） ， 估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能超过 1000 人； （3）一年级满分有 2 人，记为 A，B，二年级满分有 3 人，记为 C，D，E， 画树状图如图： 共有 20 种等可能的结果，两人在同一年级的结果有 8 种， 两人在同一年级的概率为
40、? ? ? ? ? 20 （8 分）如图，线段 EF 与 MN 表示某一段河的两岸，EFMN综合实践课上，同学们 需要在河岸 MN 上测量这段河的宽度 （EF 与 MN 之间的距离） ， 已知河对岸 EF 上有建筑 物 C、D，且 CD60 米，同学们首先在河岸 MN 上选取点 A 处，用测角仪测得 C 建筑 物位于 A 北偏东 45方向， 再沿河岸走 20 米到达 B 处， 测得 D 建筑物位于 B 北偏东 55 方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度， （用非特殊角的三角函数或根式表示即可） 【解答】解：如图， 过 C、D 分别作 CPMN、DQMN 垂足为 P、Q，设河宽为 x 米 由题
41、意知，ACP 为等腰直角三角形， APCPx（米） ，BPx20（米） ， 在 RtBDQ 中，BDQ55， 第 22页（共 28页） ? h ? ? h?t? h ， tan55 xx+40， （tan551） x40， h ? ? ?， 所以河宽为 ? ?米 答：河宽为 ? ?米 21 （7 分）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究 3 探究 3 电话计费问题 下表中有两种移动电话计费方式 月使用费/元主叫限定时间 /min 主叫超时费/（元 /min） 被叫 方式一581500.25免费 方式二883500.19免费 考虑下列问题： 月使用费固定收： 主叫不超限定时间
42、不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费 （1）设一个月内用移动电话主叫为 tmin（t 是正整数） 根据上表，列表说明：当 t 在不 同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费 （2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算 验证你的看法 小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起 计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题 （1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量 x 和自变量的函数 y，请你帮小明写出： x 表示问题中的主叫时间，y 表示问题中的计费 并写出计费方式一
43、和二分别对应的函数解析式； 第 23页（共 28页） （2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出 如何根据主叫时间选择省钱的计费方式 （注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定） 【解答】解： （1）由题意，可得 x 表示问题中的主叫时间，y 表示问题中的计费； 方式一：y? ?h ? ? ?t ?h? ?h?； 方式二：y? ?h ? ? ? t ?h? ?h?； 故答案为：主叫时间，计费； （2）大致图象如下： 第 24页（共 28页） 由图可知：当主叫时间在 270 分钟以内选方式一，270 分钟时两种方式相同，超过 270 分钟选方式二 22 （7 分）
44、为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了 “足球俱乐部 1 小时”活动去年学校通过采购平台在某体育用品店购买 A 品牌足球共 花费 2880 元，B 品牌足球共花费 2400 元，且购买 A 品牌足球数量是 B 品牌数量的 1.5 倍，每个足球的售价，A 品牌比 B 品牌便宜 12 元今年由于参加俱乐部人数增加，需要 从该店再购买 A、B 两种足球共 50 个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整， A 品牌比去年提高了 5%，B 品牌比去年降低了 10%，如果今年购买 A、B 两种足球的总 费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个 B 品牌足球？
45、【解答】解：设去年 A 足球售价为 x 元/个，则 B 足球售价为（x+12）元/个 由题意得：? h ? ? ? ? ? ht?，即 ? h ? ? ht?， 96（x+12）120 x， x48 经检验，x48 是原分式方程的解且符合题意 A 足球售价为 48 元/个，B 足球售价为 60 元/个 设今年购进 B 足球的个数为 a 个，则有：? ?t ? t ? ? ? ? ? t ? ? ? 50.45050.4a+54a2640 6a120， ? ? ? ? 最多可购进 33 个 B 足球 23 （10 分）已知 AB 是O 的任意一条直径 （1）用图 1，求证：O 是以直径 AB 所
46、在直线为对称轴的轴对称图形； （2） 已知O 的面积为 4， 直线 CD 与O 相切于点 C， 过点 B 作 BDCD， 垂足为 D， 如图 2 求证：? ?BC 22BD； 改变图 2 中切点 C 的位置，使得线段 ODBC 时，OD2 ? 第 25页（共 28页） 【解答】 （1）证明：如图，设 P 是O 上点 A，B 以外任意一点， 过点 P 作 PPAB，交O 于点 P，垂足为 M， 若 M 与圆心 O 不重合， 连接 OP，OP， 在OPP中， OPOP， OPP是等腰三角形， 又 PPAB， PMMP， 则 AB 是 PP的垂直平分线， 若 M 与圆心 O 重合，显然 AB 是 P
47、P的垂直平分线， 这就是说，对于圆上任意一点 P，在圆上都有关于直线 AB 的对称点 P，因此O 是以直 径 AB 所在直线为对称轴的轴对称图形； （2）证明：设O 半径为 r， 由r24可得 r2， AB4， 连接 AC，则BCA90， 第 26页（共 28页） C 是切点，连接 OC， OCCD， BDCD， OCBD， OCBDBC， 而OCBOBC， DBEOBC， 又BCABDC90， ACBCDB， h? ?h ? h? h?， BC2ABBD4BD， ? ? h? ?h?； 证明：由证明可知CBDOBC，与切点 C 的位置无关， 又 ODBC， BDOB， 又OCB 是等腰三角形
48、， BC 与 OD 互相垂直平分， 又BDC90， 四边形 BOCD 是边长为 2 的正方形， 第 27页（共 28页） t? ? ? ? 24 （12 分）已知抛物线 yax2+kx+h（a0） （1）通过配方可以将其化成顶点式为? ? ?ht ? ? ? t ? ? ，根据该抛物线在 对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在 x 轴下方（填上方或下方） ， 即 4ahk20（填大于或小于）时，该抛物线与 x 轴必有两个交点； （2）若抛物线上存在两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，分布在 x 轴的两侧，则抛物线顶点 必在 x 轴下方，请你结合 A、B 两点在抛物线上的可能
49、位置，根据二次函数的性质，对这 个结论的正确性给以说明； （为了便于说明，不妨设 x1x2且都不等于顶点的横坐标；另 如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图） （3）利用二次函数（1） （2）结论，求证：当 a0， （a+c） （a+b+c）0 时， （bc）2 4a（a+b+c） 【解答】解： （1）yax2+kx+ha（x2t ? ?x）+hax ? t ? ?x+（ ? ?） 2（ ? ?） 2+ha （xt ? ?） 2? ? tha（xt ? ?） 2t? ? ， 顶点式为：? ? ?ht ? ? ? t ? ? ，当顶点在 x 轴下方时，即 4ahk20（填大于 或小于）时
50、，该抛物线与 x 轴必有两个交点； 故答案为：? ? ?ht ? ? ? t ? ? ，下方，； （2）若设 x1x2且不等于顶点横坐标则 A，B 两点位置可能有以下三种情况： 当 A，B 都在对称轴左侧时，由于在对称轴左侧，函数值随 x 的增大而减小，所以点 A 在 x 轴上方，点 B 在 x 轴下方，顶点 M 在点 B 下方，所以抛物线顶点必在 x 轴下方如 图所示： 当 A，B 都在对称轴右侧时，由于在对称轴右侧，函数值随 x 的增大而增大，所以点 B 第 28页（共 28页） 在 x 轴上方，点 A 在 x 轴下方，顶点 M 在点 A 下方，所以抛物线顶点必在 x 轴下方如 图所示：
