1、1 地道中的数学问题地道中的数学问题 北师大版教材四年级上北师大版教材四年级上 顺义区石园小学顺义区石园小学 解建影解建影 2017 11 30 2 地道中的数学问题地道中的数学问题 顺义区石园小学解建影 一一、 【数学素养】【数学素养】 数线段问题的数学本质数线段问题的数学本质 数图形的学问为北京师版大学出版社教材四年级上册内容。 本课内容通过创设小鼹鼠回 家的情境， 帮助学生理解数学问题， 通过数形结合的方式， 建立数学模型。 通过模型的构建， 找到数图形的问题本质，并在此过程中能够做到，有顺序、不重复、不遗漏。形成良好的思 维习惯，并且在探索规律的过程中善于发现问题，善于发现规律，总结规
2、律，应用规律。规 律的总结与发现的过程就是发展学生数学推理能力的过程， 也是形成数学核心素养的重要途 径。 二、 【教学过程教学过程】 一）绘本引入，创设问题情境一）绘本引入，创设问题情境 学生的实际生活中很少看到小鼹鼠这种小动物， 离学生的实际比较遥远， 所以教师创设 绘本情境，将小鼹鼠放在情境中，通过情境中的鼹鼠介绍，孩子们对于问题理解的更到位， 更真实，同时看着问题“引导者”也更加有亲切感。 师：同学们好，今天和我们一起上课的有一只小动物，它的名字叫嘉宝。嘉宝住在城外 的一篇大草地上，草地上开着五颜六色的花儿，一看他那又松又软的皮毛，大大的爪子和粉 红色的鼻头，你就指导，嘉宝是一只小鼹鼠
3、。嘉宝白天的工作可辛苦了，他在草地底下挖隧 道，再把挖出的泥土推到外面，形成一个个小土堆。最近，嘉宝要过生日了，它的朋友要来 家里拜访他，但是它遇到了一个难题，希望你能帮他解决。 图 1 二）展示分享，经历建模过程二）展示分享，经历建模过程 图 2 关键词：任选向前走 师：小鼹鼠的朋友们要来拜访他，它统计了一下线路，如果任选一个洞口进入，向前走，再 3 任选一个洞口钻出来，一共有多少种路线呢？ 学生解释词语：任选 向前走（避免重复的情况） 学生活动： 1 用你喜欢的方式记录小鼹鼠的活动路线。 2 数一数，一共有几种方法。 学生展示层次： 1） 用示意图代表问题情境： 图 1图 2 图 3 学生
4、头脑中将情境图变成了用文字表示的洞口， 或者带有方向性的词语 “进” “出” 等， 不仅表示了问题在学生头脑中的转化， 同时也将内容用自己熟悉的表征进行编码。 但是孩子 在书写“洞口”时，每个“洞口”没有做出区别，在与他人交流思想时，表达就会出现困境， 所以需要进一步引导与提炼区分。 2） 含有图形或字母的图画表征 图 4图 5 4 图 6 在文字的基础上， 该层次的学生编码程度更高， 开始使用图形符号进行问题的阐释与 描述，并能有意识的应用字母进行问题的呈现，逻辑思维水平提高，编码能力也更强。 3） 抽象数学模型，数形结合解决问题 图 7图 8 第三层次的学生能够逐渐抽象出问题的情境模型，
5、在学生头脑中， 可以达到简单的 “去 情境化” ，能够用数学的方式呈现问题，图 7 的学生开始使用数字进行对每个洞口的区分， 这样在解释问题师，因为给洞口进行的标号，不仅便于理解，也便于与他人之间的交流。 4） 抽象字母结合，模型建立更直观 图 9图 10 第四层次的学生图示更加清晰与细致，不仅能够表明每个“洞口”的名字，或者用数字 表示每个“固定点”的线路数，同时能够清晰的表明自己的思想过程，让别的读者一眼看明 白自己的想法。 儿童的表现方式不同，有示意图，有线段图等，不同的表达方式都能体现学生的思维过 程，但是通过对比交流，学生发现了不变是鼹鼠的路线构成。通过教师设置挑战性的情境问 题，学
6、生通过符号表达，表现了自己对于问题的真实理解，同时分层次的进行展示与交流， 完善自己的符号表达，并在这个过程中，逐渐抽象问题，建立此问题的数学模型，在不断的 修改作品的过程中，交流、反思、讨论并达成最终的共识，充分经历了抽象建模的过程。 三）板书梳理，沟通方法联系三）板书梳理，沟通方法联系 学生在板书梳理的过程中， 通过对比发现， 以固定点找到线段总数的方法比较容易归纳 总结，但是对于用间隔数记录总数的概括起来比较困难，通过教师引导学生给方法起名字， 学生用自己的话语系统进行归纳总结， 能够更好的理解所学内容。 学生给数线段的方法起名 为“青蛙跳” ， “跳格子”通过儿童化的语言应用，帮助学生
7、突破难点，在跳格子的过程中， 可以先跳一格的，再跳两格两格的，最后再跳三格的，使学习的过程充满了趣味性，也使孩 子对于模型的建构更加直观清晰富有情感。 这种方法同样做到了不重复不遗漏。 在梳理的最 后，教师追问：同样方法是 3+2+1=6，算式中每个数字代表的含义相同吗？直至本质：虽然 我们分类的标准不一样，但是我们同样可以得到最终问题的答案。 学生作品展示： 1） 以固定点分类，数线段条数 5 2） 以线段长度分类，数线段条数（起名字：跳格子 青蛙跳等） 3） 沟通联系，虽然分类标准不同，列式都是 3+2+1=6（条） 4） 分析算式中 3 、2 、1 对应的含义，明白数字的内容。 图 8图
8、 9 四）拓展延伸，巩固模型应用四）拓展延伸，巩固模型应用 图 8 1.创设新的问题情境：创设新的问题情境： 师：在你们的帮助下，小鼹鼠解决了线路难题，现在它从洞里钻了出来，要去准备生日宴会 的食品，单程需要准备多少种不同的车票呢？ 1 ）解释问题 “单程” 2）学生说一说自己的想法 3）解决问题（学生板书展示） 教师提问：这个和刚才的问题有相同的地方吗？ 学生回答：都是向着一个方向 都有很多种路线 可以把一个站看成一个洞口 2.清晰清晰梳理模型构成梳理模型构成： 图 9 学生发现，依然能够按照从“固定点”除法，或者“数格子”的方法来数线段的条数， 从而得出算式 4+3+2+1=10，同时同样
9、一个算式，在不同的方法中，数字的含义时不同的。 并且能够解释每个数字在不同的方法中的意思，在“固定点”这种方法中，4 代表从 A 点出 发的 4 条线段，3 代表从 B 点出发的 3 条线段，3 代表从 C 点出发的 2 条线段，1 代表从 D 点出发的 1 条线段，一共是 10 条线段。按照“数格子”的方法，4 代表从 A 点开始，由一 格组成的基本线段条数，AB,BC,CD,DE 这 4 条线段，3 代表由 2 格线段组成的 AC,BD,CE 这 3 条线段， 2 代表由 3 格线段组成的 AD,BE 这 2 条线段， 1 代表由 4 格线段组成的 AE 这条最长 的线段。同样总数仍然是
10、10 条，学生可以清楚的说出数字的含义，也就表明了图形在学生 是清晰建构的。 3.沟通发现模型异同沟通发现模型异同 ABCDE 6 图 10 通过对比观察，学生能够发现第一个图形的算式是 3+2+1=6，第二幅图中算式为 4+3+2+1=10，第二幅图比第一幅图多了一个 4。 教师追问学生，4 是怎么来的，是直接加上的吗？ 学生能够发现，4 是因为多了一个点，所以对应的多出来 4 段线段，用“固定点”的方 法就是多出了线段 AE,BE,CE,DE.学生不仅能发现多出的线段数量，更能知道 4 的具体含义， 从而发现模型表象之下的异同点，为后来探究发现桂规律做好铺垫。 5对比观察，发现总结规律对比
11、观察，发现总结规律 通过新情境下的应用，加深学生对模型的感受与理解，并在此过程中，体会数图形过程 中的顺序性，做到不重复，不遗漏，通过数形结合的方式解决真实的数学问题。 1横向对比，沟通联系 师：看来，小鼹鼠已经非常清楚准备车票的数量了，如果还能增加一个车站呢？数量又 变成多少呢？再次增加呢？你有什么想法？ 生：现在车站变成 6 个了，还是可以应用线段图来解决问题 图 11 列竖式是 5+4+3+2+1=15 个，比 5 个车站时增加了 5 条线路。这 5 条线路分别为增加的 AF,BF,CF,DF,EF，增加了 5 个 1，所以是 5 条线路。 2纵向对比，体现规律 通过纵向对比，梳理课堂内
12、容，加深学生对于规律的掌握与理解。 图 12 发现规律类型： 数基础线段数 n，然后列式为：n+n-1+n-2+.+1 数点数：n+1 个，然后列式为：n+n-1+n-2+.+1 3算式和点数的关系，算式和基础线段之间的关系 4计算的简洁性 5加数的个数和基础线段的关系 ABCDE D AB C ABCDEF 7 通过表格内容的梳理，学生对之前内容进行深入分析，探究事物本质关系，通过学生观 察线段图、基础线段段数、线段中的点子数可以发现之间存在的与线段总数之间的关系，发 现数图形之间的基本规律， 可以对数基本图形的方法归类。 同时计算过程中可以应用高斯定 理处理算式，体现计算的简洁性。学生经历
13、了知识的生成过程，才能够做到使自己知其然， 更知其所以然，并能根据自己发现的规律进行解释与编码。 6建构体系，体会基础图形价值建构体系，体会基础图形价值 通过发现规律， 初步体会规律在图形中的迁移， 感知图形的变化与生长， 再次建构模型， 使模型具有动态属性，巩固深化模型含义，通过线段图底端直线向上滑动，平移过程中划过 的面积，变成了长方形。学生在数长方形的过程中，发现数法和数线段是一样的。再通过线 段中间隔断电斜向上延伸，在一点处相交，形成新的三角形，学生在这个过程中，既体现了 图形的丰富性，有体现了数学基础图形之间的联系性，并能够再次发现模型的根本。最后， 将三角形的一条边去掉， 变成了角
14、的组成， 使学生与已有经验进行勾连， 调动学生已有经验， 温故而知新。图形的变化，目的在于体现数学模型的多元性与丰富性，使学生头脑中形成动 态的“活”的模型。 建立数学模型的“生长性” 。 图 10图 11 图 12图 13 7应用拓展，对接生活原型应用拓展，对接生活原型 有八个小朋友参加兵乓球比赛，采用积分赛。每两个小朋友需要比赛一场，一共需要比 几场？ 请记录下自己的思考过程 1 学生说对题目的理解 2 学生尝试解决 3 汇报交流 模型是沟通数学与现实世界的桥梁。 建模是把现实生活中的实际问题加以提炼， 发现总 结规律之后，提炼数学模型，求出该模型的问题答案。同时能够在实际问题或情境中验证模 型的合理性与价值性。并能够通过模型生成现实问题，解释问题现象。同时模型思想的渗透 还在于应用拓展的过程。本课中，最后设置的问题情境，是将模放回到实际生活中，使模型 生活化， 线段中的点， 不仅可以仅在数学图形中存在， 同时还可以代表一个人， 一个小朋友， 一支比赛队伍等等真实生活中的事物，让数学模型的含义更广泛，更丰富，从而感受模型的 价值性。本课过程中，让学生经历了“观察体会问题情境提出开放性实际问题符号表征 理解抽象数学模型发现总结规律应用拓展延伸”几个方面，为学生更好的学习数学， 喜欢数学打下一定的基础。 8
