1、中小学教育资源及组卷应用平台21 世纪教育网()专题 09平面向量重点题型题型一、平面向量的概念及其线性运算题型一、平面向量的概念及其线性运算1基本概念（熟记）基本概念（熟记）（1）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.（2）相等向量：不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性（3）共线向量：即平行向量，它们均与起点无关向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈（4）非零向量 a 与|aa的关系：|aa是 a 方向上的单位向量
2、2向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律中小学教育资源及组卷应用平台21 世纪教育网()共线向量定理共线向量定理（重点）：（重点）：向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得ba.3运算运算法则法则（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用题型题型二二、平面向量的、平面向量的基本
3、定理基本定理及坐标表示及坐标表示1平面平面向量向量基本定理基本定理及应用及应用（1）概念：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数1，2，使1 122aee.其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.（2）应用：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.2平面平面向量向量的坐标运算的坐标运算（1）若向量的起点是坐标原点，
4、则终点坐标即为向量的坐标.（2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则AB =（x2x1，y2y1）.（3）设 a=（x1，y1） ，b=（x2，y2） ，则 ab=（x2+x1，y2+y1） ，ab=（x1x2，y1y2） ，a=（x1，y1） ，|a|=2211+xy，|ab|=221212( + ) +(+)xxyy.（4）设 a=（x1，y1） ，b=（x2，y2） ，则 abx1y2x2y1=0.（5）已知两个非零向量 a 和 b，作OA =a，OB =b，则AOB=（0180）叫做向量 a 与 b 的夹角.如果向量 a 与 b 的夹角是 90，我们说 a 与 b 垂直，记作
5、 ab.题型题型三三、平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用1平面向量的数量积平面向量的数量积（1）概念已知两个非零向量, a b，我们把数量|cosa b叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a b,即a b|cosa b，其中是a与b的夹角.注意：零向量与任一向量的数量积为 0.中小学教育资源及组卷应用平台21 世纪教育网()设非零向量a与b的夹角是，则|cosa(|cosb)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.2平面向量数量积的常用公式平面向量数量积的常用公式设非零向量1122( ,),(,)x yxyab，是a与b的夹角.（1）数量积：a b1212|cosx xy
6、ya b.（2）模：2211|xyaa a.（3）夹角：cos|a ba b121212122222x xy yxyxy.（4）垂直与平行：0aba b12120 x xy y；abab=|a|b|.3平面向量数量积的平面向量数量积的几何意义几何意义及应用及应用（1）a b的几何意义：数量积a b等于a的长度|a与b在a方向上的投影|cosb的乘积.（2） 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积， 实质是力和位移两个向量的数量积， 即W | | cos ( F sFs为F和s的夹角).（3）常见的向量表示形式：重心：若点 G 是ABC的重心，则GAGBGC0 或1()3PGPAPB
7、PC= (其中 P 为平面内任意一点)反之，若GAGBGC0 ，则点 G 是ABC的重心垂心： 若H是ABC的垂心， 则HA HBHB HCHC HA .反之， 若HA HBHB HC HC HA ，则点 H 是ABC的垂心内心：若点 I 是ABC的内心，则|BCIACA IBABIC 0 .反之，若|BCIACA |IBABIC 0 ，则点 I 是ABC的内心外心：若点 O 是ABC的外心，则()()()0OAOBBAOBOCCBOCOAAC 或| | |OAOBOC .反之，若| | |OAOBOC ，则点 O 是ABC的外心.中小学教育资源及组卷应用平台21 世纪教育网()考点集训一、单
8、选题一、单选题1已知向量(2,1),( 1, ), 2abxaba ，则 x 的值为（）A4B8C4D82ABC中，“ABC是钝角三角形”是“ABACBC ”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知向量(3, 2)a ，(1, )bx，且ab与2ab共线，则 x=（）A23B23C32D324设D为ABC所在平面内一点，2BCCD ，则（）A1433ADABAC B1322ADABAC C3122ADABAC D3122ADABAC 5已知向量a，b满足1a ，1a b ，则2aab（）A4B0C2D36在ABC 中，2BCBAACAC ，则ABC
9、的形状一定是（）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形7已知平面向量ab与ab的模长之比为3 :1，且夹角为90，则ab与a的夹角为（）A30B60C120D1508已知, a b 为单位向量，向量c满足|2| |caa b ，则cb的最大值为（）A2B2C3D39已知, a b 是不共线向量，设2OAab ，2OBab ，3OCabuuu rrr，3ODabuuu rrr，若OAB的面积为 3，则OCD的面积为（）A8B6C5D4中小学教育资源及组卷应用平台21 世纪教育网()10 图 1 是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”， 它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形
10、拼成个大的正方形，某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图 2，若4AD，2BD ，那么BE CD （）A2B2C6D6二、多选题二、多选题11已知点O为ABC外接圆的圆心，| 6AC ，30OAC，则（）A3OC B2 3OC C6OA OC D6OA OC 12已知向量a，b，c满足1, 1ab，37, 1ab ，1,1c ，设a，b的夹角为，则（）AabrrB/ /acC135Dbc13已知菱形ABCD边长为 1，60BAD，E 是BC中点，F 是DE中点，M 是AB中点，延长AF交CD于N(如图所示)，设ABa ，ADb，则
11、下列结论正确的是（）A.1324AFab B/ /MEAF C18AF DB D2AFFN 14已知平面向量a，b，c，若a，b是夹角为 3的两个单位向量，0acbc，,ab c，则下列结论正确的有（）A3c B3c C6cos3D6cos3中小学教育资源及组卷应用平台21 世纪教育网()15在ABC中，有如下四个命题正确的有（）A若0AC AB ，则ABC为锐角三角形B若BABCAC ，则ABC的形状为直角三角形CABC内一点 G 满足0GAGBGC ，则 G 是ABC的重心D若PA PBPB PCPC PA ，则点 P 必为ABC的外心三、填空题三、填空题16已知向量(1,0)a ，( ,
12、1)bx，b在a上投影为3，则x _.17已知平面向量3a ，2b ，8aab，则cos, a b _.18已知向量,2am，3, 6b ，若abab，则实数m的值是_19设02，向量3cos2 ,cos2a，1,sinb ，若ab，则tan_.20 如图所示的平行四边形ABCD中，6042BADABADE，为DC的中点， 则AC AE _.21已知向量1,3AB ，2, 1BD ，3EFAD ，5AD EF ，cos,AD EF _.22在四边形ABCD中，2AB ，单位向量CD 与AB 平行，P是BC的中点，APDCQ，若在AB BC ADDC中选两个作为基本向量，来表示向量AQ，则AQ _.23已知A(1，1)，B(0，1)，C(1，0)，M为线段BC上一点，且CMCB ，若MA BCMB MC ，则实数的取值范围是_.
