上海师范大学第二附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题.docx

1、试卷第 1页，共 5页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 绝密绝密启用前启用前上海师范大学第二附属中学上海师范大学第二附属中学 2021-2022 学年高二上学期期中学年高二上学期期中数学试题数学试题试卷副标题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第第 I I 卷（选择题）卷（选择题）请点击修改第 I 卷的文字说明评卷人得分一、单选题一、单选题1以下说法正确的是（）A各侧面都是矩形的棱柱是长方体B有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱C各侧面

2、都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥D底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱2已知异面直线 a、b 所成角为80，P 为空间一定点，则过 P 点且与 a、b 所成角都是50的直线有且仅有（）条A2B3C4D63古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23，若圆柱的表面积是 6现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（）试卷第 2页，共 5页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内

3、 装 订 线 A2B23CD434如图，正四棱柱1111ABCDABC D满足12ABAA，点 E 在线段1DD上移动，F 点在线段1BB上移动，并且满足1DEFB.则下列结论中正确的是（）A直线1AC与直线EF可能异面B直线EF与直线AC所成角随着 E 点位置的变化而变化C三角形AEF可能是钝角三角形D四棱锥ACEF的体积保持不变第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）请点击修改第 II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题二、填空题5“点A在平面上”，用集合语言表示可写为_.6正方体1111ABCDABC D的 12 条棱中，与 AB 异面的棱有_条7若直线a/ /平面，直线b在平面内，则

4、直线a与b的位置关系为_.8在长方体1111ABCDABC D中，4AB ，3BC ，12BB ，那么BC到平面11ADD A的距离为_.9在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，异面直线1AD与11AC所成的角_.10已知球的表面积是16，则该球的体积为_.11 圆锥的底面积和侧面积分别为9和15， 则该圆锥母线与底面所成角为_.（用反三角表示）试卷第 3页，共 5页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 12在四面体ABCD中，8AB ，6CD ，M、N分别是BC、AD的中点，且5MN ，则AB与CD所成角的大小是_.13已知三棱锥PABC的三条侧棱

5、两两垂直，且它们的长度分别为 1，1，2，则此三棱锥的高为_14 已知长度为 10cm 的线段AB与平面相交， 且线段两端到平面的距离分别为1cm和3cm，则此线段在平面上的射影长为_.15 如图所示五面体ABCDEF的形状就是 九章算术 中所述“羡除”其中/ / /ABDCEF，“羡除”形似“楔体”“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长 a，b，c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离 m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离 n已知3,2,1,2,2abcmn，则此“羡除”的体积为_16在棱长为a的正方体1111ABCDABC D中，EF、分别是棱ABBC、上的动点，且AEBF

6、，则三棱锥1BBEF的体积的最大值为_评卷人得分三、解答题三、解答题17在直三棱柱111ABCABC中，90ABC，11ABBCAA.试卷第 4页，共 5页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 （1）求异面直线11BC与AC所成的角的大小；（2）求直线1AC与平面ABC所成角.18如图所示，在正三棱锥ABCD中，E为棱BC的中点.（1）求证：BCAD；（2）若5AB ，且点A到底面BCD的距离为2，求二面角ABCD的大小（结果用反三角函数值表示）.19某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图） ，设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为 10m.（

7、1） 已知制作这种油罐的材料单价为1万元/m2， 则制作一个油罐所需费用为多少万元？（取 3.14，结果精确到 0.01 万元）（2）已知该油罐的储油量为 0.95 吨/m3，则一个油罐可储存多少吨油？（取 3.14，结果精确到 0.01 吨）20如图，已知点P在圆柱1OO的底面圆O上，120AOPo，圆O的直径4AB ，圆柱的高13OO .试卷第 5页，共 5页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 （1）求点A到平面1APO的距离；（2）求二面角1APBO的余弦值大小.21如图，长方体中1111ABCDABC D中，12,4ABADAA，点 P 为面11ADD

8、A的对角线1AD上的动点（不包括端点） ，PNBD 于 N.（1）若点 P 是1AD的中点，求线段 PN 的长度；（2）设APx，将 PN 表示为x的函数，并写出定义域；（3）当 PN 最小时，求直线 PN 与平面 ABCD 所成角的大小.答案第 1页，共 16页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 参考答案参考答案1B【分析】举反例如直三棱柱判断选项 A；由线面垂直的判定定理可判断 B；举反例判断选项 C，D；即可得正确选项.【详解】对于 A：直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体，如直三棱柱，故选项 A 不正确；对于 B：如图假设四棱柱1111ABCDABC

9、D中，侧面11ABB A和11BCC B都是矩形，则1BBAB，1BBBC，因为ABBCB，AB面ABCD，BC 面ABCD，所以1BB 面ABCD，因为棱柱的侧棱都是平行的，所以是直四棱柱，故选项 B 正确；对于 C：如图，将菱形的对角线的交点上拉可得如图四棱柱，各侧面都是全等的等腰三角形，但底面是菱形，故不是正四棱柱，故选项 C 不正确；对于 D：底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，但不是正四棱柱，故选项 D 不正确；故选：B.答案第 2页，共 16页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 2B【分析】在空间取一点P，经过点 P 分别作,/aa bb，分析直线PM满足它

10、的射影PQ在,a b 所成角的平分线上时的情况可得出答案.【详解】在空间取一点P，经过点 P 分别作,/aa bb，设直线,a b 确定平面，当直线PM满足它的射影PQ在,a b 所成角的平分线上时，PM与a所成的角等于PM与b所成的角，因为直线 a、b 所成角为80，得,a b 所成锐角为80，所以当直线PM的射影PQ在,a b 所成锐角的平分线上时，PM与,a b 所成角的范围是40 ,90，这种情况下，过 P 点有 2 条直线与 a、b 所成角都是50；当直线PM的射影PQ在,a b 所成钝角的平分线上时，PM与,a b 所成角的范围是50 ,90，这种情况下，过 P 点有且仅有 1 条

11、直线（即PM时）与 a、b 所成角都是50；综上所述，过 P 点且与 a、b 所成角都是50的直线有 3 条.故选：B.3B【分析】设出球的半径，然后根据球的表面积公式求得半径，根据体积相减即可求得结果.【详解】解：设球的半径为 r，则由题意可得球的表面积为22463r，答案第 3页，共 16页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 所以 r1，所以圆柱的底面半径为 1，高为 2，所以最多可以注入的水的体积为234212133.故选：B.【点睛】本题考查圆柱的内接球，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力4D【分析】如图所示， 连接有关线段.设 M,N 为

12、 AC,A1C1的中点， MN 的中点为 O,可得 AC1与 EF 都是以O 为中点，由此可判定 A 错误；利用线面垂直可以得到ACEF，从而否定 B；利用勾股定理和三角形锐角钝角的判定条件计算可以判定AEF 为锐角三角形，从而否定C;利用体积转化，分解方法，结合线面平行的性质可以判定D.【详解】如图所示，连接有关线段.设 M,N 为 AC,A1C1的中点，即为上下底面的中心，MN 的中点为 O,则 AC1的中点也是 O,又DE=B1F,由对称性可得 O 也是 EF 的中点，所以 AC1与 EF 交于点 O,故不是异面直线，故 A 错误；由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得AC 平面11

13、BB D D，因为EF 平面11BB D D，,ACEF故 B 错误；答案第 4页，共 16页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 设ABa=,则12AAa,设1,02DEB Fxxa,易得22222222,254,AEaxAFaaxaaxx22222222684,EFaaxaaxx因为222242220,AEAFEFaxxxaxEAF为锐角；因为22222224220,AEEFAFaaxxaxAEF为锐角，因为2222210124,AFEFAEaaxx当3x2a时取得最小值为2222101890,aaaaAFE为锐角，故AEF 为锐角三角形，故 C 错误；三棱锥 A-EFC

14、 也可以看做 F-AOC 和 E-AOC 的组合体，由于AOB 是固定的，E,F 到平面 AOC 的距离是不变的(易知 BB1，DD1平行与平面 ACC1A1)，故体积不变，故 D 正确.故选：D.【点睛】本题综合考查空间的线线角， 几何体体积问题，涉及利用勾股定理判定三角形内角是锐角问题(在ABC中，222ABBCAC，当固定,AB BCAC，变短时，满足222222,0,ABBCACABBCAC即可得到B为锐角）.关键是利用计算证明时要仔细计算，严格论证，解决体积问题时，要灵活地进行体积转化与分割.5A【分析】点是元素，平面是集合，由集合元素与集合的关系表示即可.【详解】由于点是元素，平面

15、是集合，所以由题意知，.A故答案：A64答案第 5页，共 16页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 【分析】根据异面直线的概念及几何图形判断可得；【详解】解： 如图所示， 在正方体1111ABCDABC D的 12 条棱中与AB异面的直线有1CC、1DD、11BC、11AD共 4 条；故答案为：47平行或异面【分析】由直线/ /a平面，直线b在平面内，知/ /ab，或a与b异面【详解】解：直线/ /a平面，直线b在平面内，则直线a与平面内任意直线无交点，a / /b，或a与b异面.故答案为：平行或异面.84【分析】由题可分析AB即为BC到平面11ADD A的距离

16、.【详解】在长方体中，/ /BC平面11ADD A，故点B到平面11ADD A的距离即为BC到平面11ADD A的距离，因为AB 平面11ADD A，且4AB ，所以BC到平面11ADD A的距离为为 4.答案第 6页，共 16页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 故答案为：4.960【分析】连接1BC，可证明11/BCAD，进而可得11AC B或其补角即为异面直线1AD与11AC所成的角，在11ABCV中求11AC B即可求解.【详解】连接1BC，因为11/AB C D，11=AB C D，所以四边形11ABC D是平行四边形，所以11/BCAD，所以11AC B或其补角

17、即为异面直线1AD与11AC所成的角，连接1AB，由正方体的棱长为1可得11112ABBCAC，所以1160AC B，所以异面直线1AD与11AC所成的角为60，故答案为：6010323【分析】设球的半径为 r，代入表面积公式，可解得2r = =，代入体积公式，即可得答案.【详解】设球的半径为 r，则表面积2416Sr，解得2r = =，所以体积3344322333Vr，答案第 7页，共 16页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 故答案为：323【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.113arccos5

18、【分析】圆锥的底面积和侧面积分别为9和15，由此得到底面半径和母线的比值，从而能求出该圆锥的母线与底面所成的角【详解】解：圆锥的底面积和侧面积分别为9和15，设底面圆的半径为r，母线长为l，该圆锥母线与底面所成角为215593rllrr，该圆锥的母线与底面所成角的余弦值：3cos5rl则3arccos5故答案为：3arccos51290【分析】取BD中点为O，连接OM，ON，根据题中条件，由异面直线所成角的概念，得到MON即为异面直线AB与CD所成的角，或所成角的补角，结合题中数据求解，即可得出结果.【详解】取BD中点为O，连接OM，ON，因为M、N分别是BC、AD的中点，所以/OM CD，/

19、ON AB，则MON即为异面直线AB与CD所成的角，或所成角的补角，又8AB ，6CD ，5MN ，则132OMCD，142ONAB，因此222OMONMN，则OMON，所以90MON.答案第 8页，共 16页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 故答案为：90.13105【分析】将图形还原为长方体，进而通过等积法得到答案.【详解】如图 1，将三棱锥 P-ABC 还原为长方体 PADB-CQRS，由题意可知，111223326C PABPABVSPC，设 P 到平面 ABC 的距离为 d，如图 2，M 为 BA 中点，则 CMBA，答案第 9页，共 16页 外 装 订 线 学

20、校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 由勾股定理可知，225322CM，所以1552222ABCS，所以1536P ABCABCVSdd，由5210665C PABP ABCVVdd.故答案为：105.142 21cm.【分析】由线段AB与平面相交，可得线段AB的两端点在平面的两侧，如图，设线段AB与平面交于点 O， 作,AEBF， 则线段EF即为线段 AB 在平面上的射影， 根据OAE与OBF相似，可得3OAOB，3OEOF，从而可得答案.【详解】解：因为线段AB与平面相交，所以线段AB的两端点在平面的两侧，如图，设线段AB与平面交于点 O，作,AEBF，则1cmBF ，3cmAE

21、 ，则,E O F三点共线，且线段EF即为线段 AB 在平面上的射影，因为,AEBF，则OAE与OBF相似，则有13OBBFOFOAAEOE，即3OAOB，3OEOF，又10OAOBAB，所以155,22OAOB，所以222521142OFOBBF，3 2132OEOF，所以2 21EF ，答案第 10页，共 16页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 所以此线段在平面上的射影长为2 21cm.故答案为：2 21cm.154【分析】将该几何体分成一个三棱柱与一个四棱锥即可求得.【详解】如图 1，将该几何体分成一个三棱柱PQEBCF与一个四棱锥EAPQD,1 122 2232E

22、APQDV ,如图 2，将三棱柱PQEBCF进行割补，使得新三棱柱PQRBCE是高为 1 的直三棱柱12 2 122PQE BCFPQR BCEVV 几何体的体积为 4.故答案为：4.答案第 11页，共 16页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 16324a【分析】设AEBFx.根据体积的表达式13BBEFBEFaVS，只需求出BEFS的最大值，建立12BEFSax x，利用二次函数求出最大值，即可求解.【详解】设AEBFx.因为111= 33BBEFBEFBEFaVSBBS，所以当BEFS取得最大值时,三棱锥1BBEF的体积取得最大值.因为2221122428

23、BEFaaaSax xx,所以当2ax 时,即 E,F 分别是棱 AB,BC 的中点时,三棱锥1BBEF的体积取得最大值 ，此时123=3824BBEFaaaV.故答案为：324a17 （1）45； （2）2arctan2.【分析】（1）根据异面直线所成角的概念，结合题中条件，得到ACB即为异面直线所成角，进而可求出结果；（2）根据直棱柱的特征，结合线面角的概念，得到1ACA即为所求线面角，进而可求出结果.【详解】（1）因为在直三棱柱111ABCABC中，11/BC BC，所以ACB即为异面直线11BC与AC所成的角，又90ABC，1ABBC，所以ABC为等腰直角三角形，因此45ACB；（2）

24、在直三棱柱111ABCABC中，侧棱和底面垂直，即1AA 平面ABC；答案第 12页，共 16页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 连接1AC，则1ACA即为直线1AC与平面ABC所成角，又11ABBCAA，则22112AC ，因此112tan2AAACAAC，所以直线1AC与平面ABC所成角为2arctan2.18 （1）证明见解析； （2）arctan4.【分析】（1）证得BC 平面ADE，结合线面垂直得性质定理即可证出结论；（2）因此AED为二面角ABCD的平面角，在在Rt AEO中，直接求正切值即可求出结果.【详解】（1）证明连接DE，正三棱锥ABCD中，ABAC，

25、E为BC中点，则AEBC，等边三角形BCD中，E为BC中点，则DEBC，且AEDEE，因此BC 平面ADE，又因为AD平面ADE，因此BCAD.（2）由于AEBC，DEBC，答案第 13页，共 16页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 因此AED为二面角ABCD的平面角， 过A作AO 平面BCD于O，则O为等边三角形BCD的重心，连接OB，由已知得2,5AOAB，则11,2BOEO，在Rt AEO中，2tan412AOAEDEO，由图可知二面角ABCD的平面角为锐角，因此二面角ABCD的大小为tan4arc.19 （1）979.56 万元； （2）1989.68

26、 吨.【分析】由题意知，求得圆柱和圆锥的高以及圆锥的母线长；（1）求得组合体的表面积，从而求得造价；（2）求得组合体体积，从而求得储油量.【详解】由题意知，圆柱和圆锥的底面半径10mr ，圆柱和圆锥的高均为5mh ；则圆锥的母线长225105 5l ，（1）由上知，组合体的表面积为：21222Sr hrr l21210 510210 5 5(20050 5)2 ，则总造价为(20050 5)1979.56 万元；（2）组合体的体积为：2222112000105105333Vr hrh ，又储油量为0.95吨/3m，则一个油罐可以储存油量为：20000.951989.683吨20 （1）32；

27、（2）2 77.【分析】（1）根据等体积法，由11AAOPA AOPVV即可求出点A到平面1APO的距离；（2）先证明PBAP，1PBAA，由线面垂直的判定定理可得PB 面1AAP，进而可得1APA即为所求二面角的平面角，在1Rt APA中，计算11cosAPAPAAP即可求解.【详解】（1）因为113AAOO，122AOAB，答案第 14页，共 16页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 所以2222113213AOAAAO，在AOP中，由余弦定理可得：222212cos120222 2 22 32APAOOPAO OP ，所以22221132 321APAAAP，2OP

28、，在1AOP中，由余弦定理可得2221111214 1321cos272212APOPAOAPOAP OP，所2112 7sin1cos7APOAPO，所以112 72122 327AOPS ，设点A到平面1APO的距离为d，由11AAOPA AOPVV，得111133AOPAO PSAASd，即11112 2 332 33223d ，解得：32d ，所以点A到平面1APO的距离为32；（2）二面角1APBO即二面角1APBA，因为AB是圆O的直径，点P在圆柱1OO的底面圆O上，所以PBAP，因为1AA 面ABP，PB 面ABP，可得1PBAA，因为1APAAA，所以PB 面1AAP，因为1A

29、P 面1AAP，AP 面1AAP，所以PB AP，PB 1AP，所以1APA即为二面角1APBO的平面角，在1Rt APA中，121AP ，2 3AP ，所以112 72 3cos217APAPAAP，所以二面角1APBO的余弦值为2 77.答案第 15页，共 16页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 21 （1）3 22； （2）219040 5200,(0,2 5)10PNxxx； （3）1arcsin3.【分析】(1)过点 P 作 PM/DD1交 AD 于 M，连 MN，证明 BDMN，P 为 AD1中点，求出 PM，MN长即可得解；(2)利用(1)中信息

30、，用 x 表示出 PM，MN 长即可得解；(3)探求出直线 PN 与平面 ABCD 所成角，求出(2)中函数最小值即可计算作答.【详解】(1)在长方体中1111ABCDABC D中，过点 P 作 PM/DD1交 AD 于 M，连 MN，如图所示：因1DD 平面ABCD，则PM 平面ABCD，而BD 平面ABCD，则PMBD，因 PNBD，PNPMP，且,PN PM 平面 PMN，则有BD 平面 PMN，又MN 平面PMN，于是得BDMN，点 P 是1AD的中点时，因12,4ABADAA，则 M 是 AD 中点，1122PMAA，显然底面 ABCD 是正方形，则有2sin452MNDM，在直角三

31、角形 PMN 中，222223 22()22PNPMMN，所以线段 PN 的长度是3 22；答案第 16页，共 16页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 (2)当APx时，12 5AD ，1112 5sin5DDDADAD，由(1)知,PMAD MNBD，则12 5525sin,sin45(2)5525PMAPDADx AMx MNDMx，在直角三角形 PMN 中，22222 525()(2)525PNPMMNxx292 52105xx，因10APAD，即02 5x，所以219040 5200,(0,2 5)10PNxxx，(3)由(1)知，PNM是直线 PN 与平面 ABCD 所成的角，由(2)知，212 51600490()10993PNx，当且仅当2 59x 时， PN 取最小值43， 此时49PM ，1sin3PMPNMPN，1arcsin3PNM，所以当 PN 最小时，直线 PN 与平面 ABCD 所成角的大小为1arcsin3.