1、专题十一专题十一概率统计概率统计统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，为人们制定决策提供依据概率是研究随机现象规律的学科，为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法统计一章介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型，学习某些离散型随机变量分布列及其期望、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思
2、考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识111概率概率(一一)【知识要点】【知识要点】1事件与基本事件空间：随机事件：当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，随机事件简称为事件基本事件与基本事件空间：在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述，这样的事件称为基本事件所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间，常用表示2频率与概率频率：在相同的条件 S 下，重复 n 次试验，观察某个
3、事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A的出现次数 m 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例nm为事件 A 出现的频率概率：一般的，在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的频率nm，当 n 很大时总是在某个常数附近摆动， 随着n的增加， 摆动幅度越来越小， 这时就把这个常数叫做事件A的概率， 记做P(A) 显然有 0P(A)1不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1，随机事件的概率在(0，1)之间3互斥事件的概率加法公式事件的并： 由事件 A 或 B 至少有一个发生构成的事件 C 称为事件 A 与 B 的并， 记做 CAB互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件互斥
4、事件加法公式：如果事件 A、B 互斥，则事件 AB 发生的概率等于这两个事件分别发生的概率和，即 P(AB)P(A)P(B)如果 A1，A2，An两两互斥，那么事件 A1A2An发生的概率，等于这 n 个事件分别发生的概率和，即 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件事件 A 的对立事件记作A，满足 P(A)1P(A)概率的一般加法公式(选学)：事件 A 和 B 同时发生构成的事件 D，称为事件 A 与 B 的交(积)，记作 DAB在古典概型中，P(AB)P(A)P(B)P(AB)4古典概型古典概型：一次试验有下面两个特征
5、：(1)有限性，在一次试验中可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的，则称这个试验为古典概型古典概型的性质：对于古典概型，如果试验的 n 个基本事件为 A1，A2，An，则有 P(A1A2An)1 且nAPi1)(概率的古典定义：在古典概型中，如果试验的基本事件总数为 n()，随机事件 A 包含的基本事件数为 n(A)，则 p(A)试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A，即)()()(nAnAP5几何概型几何概型：一次试验具有这样的特征：事件 A 理解为区域的一个子区域 A，A 的概率只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)
6、成正比，而与 A 的位置和形状无关，这样的试验称为几何概型几何概型的特点：(1)无限性：一次试验中可能出现的结果有无穷多个；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性相等几何概型中事件 A 的概率定义：AAP)(，其中表示区域的几何度量，A表示子区域 A 的几何度量随机数：就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会均等计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法， 可以节约大量的人力物力6条件概率与事件的独立性条件概率：一般的，设 A、B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(BA)()(APBAP为在事件 A发生的条件下，事件 B 发生的概率
7、一般把 P(BA)读作“A 发生的条件下 B 发生的概率” 在古典概型中，用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则有 P(BA)()(AnBAn事件的独立性：设 A、B 为两个事件，如果 P(BA)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立，并称事件 A、B 为相互独立事件若 A、B 为两个相互独立事件，则 A 与A、A与 B、A与B也都相互独立若事件 A 与事件 B 相互独立，则 P(AB)P(A)P(B)【复习要求】【复习要求】1 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性， 了解概率的意义， 了解频率与概率的区别2了解两个互斥事件的概率加法公式3理解古典概型及其概率计算公式，会计算
8、一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率4了解随机数的意义，了解几何概型的意义5 在具体情境中， 了解条件概率， 了解两个事件相互独立的概念及独立事件的概率乘法公式，并能解决一些简单的实际问题【例题分析】【例题分析】例例 1国家射击队的某队员射击一次，命中 710 环的概率如下表：命中环数10 环9 环8 环7 环概率0.320.280.180.12求该队员射击一次，(1)射中 9 环或 10 环的概率；(2)至少命中 8 环的概率；(3)命中不足 8 环的概率【分析】【分析】射击运动员一次射击只能命中 1 个环数，命中不同的环数是互斥事件，射中 9 环或10 环的概率等于射中 9 环与射
9、中 10 环的概率和 命中不足 8 环所包含的事件较多， 而其对立事件为“至少命中 8 环” ，可先求其对立事件的概率，再通过 P(A)1P(A)求解解：解：设事件“射击一次，命中 k 环”为事件 Ak(kN，k10)，则事件 Ak彼此互斥(1)记“射击一次，射中 9 环或 10 环”为事件 A，则P(A)P(A10)P(A9)0.60(2)记“射击一次，至少命中 8 环”为事件 B，则P(B)P(A10)P(A9)P(A8)0.78(3)“射击一次，命中不足 8 环”为事件 B 的对立事件，则P(B)1P(B)0.22【评析】【评析】解决概率问题时，要先分清所求事件由哪些事件组成，分析是否是
10、互斥事件，再决定用哪个公式当用互斥事件的概率加法公式解题时，要学会不重不漏的将事件拆为几个互斥事件，要善于用对立事件解题例例 2现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组()求 A1被选中的概率；()求 B1和 C1不全被选中的概率【分析】【分析】本题是一个古典概型的问题，可以直接用概率公式)()()(nAnAP求解解解：()从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事件空间(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1
11、)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)由 18 个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用 M 表示“A1恰被选中”这一事件，则M(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)事件
12、 M 由 6 个基本事件组成，因而31186)(MP()用 N 表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于N(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，事件N由 3 个基本事件组成，所以61183)(NP，由对立事件的概率公式得65611)(1)(NPNP【评析】【评析】古典概型解决概率问题时，选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重要的一步本题中选定“从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果”为基本事件空间，计算时采用列举法，也可以利用乘法计数原理计算 33218本题第一问还可以选定“从通
13、晓日语的 3 人中选出 1 人的可能结果”为基本事件空间，共有 3 个基本事件，选出 A1只有一种可能，故所求概率为31例例 3一个口袋中装有大小相同的 2 个红球， 3 个黑球和 4 个白球， 从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回(1)连续摸球 2 次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；(2)连续摸球 2 次，在第一次摸到黑球的条件下，求第二次摸到白球的概率；(3)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过 3 次的概率【分析】【分析】本题是一个古典概型问题，因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多，宜用排列组合公式计算，当然也可利用两个计数原理计数本题第二问是条件概率问题做第三问
14、时，要分为三个事件： “第一次摸到红球” ， “第一次摸到不是红球，第二次摸到红球” ， “前两次摸到不是红球，第三次摸到红球” ，显然三个事件是互斥事件解：解：(1)从袋中依次摸出 2 个球共有29A种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 3412 种结果，则所求概率6112291AP(或6184931P)(2)设“第一次摸到黑球”为事件 A， “第二次摸到白球”为事件 B，则“第一次摸到黑球，且第二次摸到白球”为事件 AB，又31)(AP，P(AB)61，所以或213161)|(ABP(或2184)|(ABP)(3)第一次摸出红球的概率为1912AA，第二次摸出红球的概率为291217A
15、AA，第三次摸出红球的概率为391227AAA，则摸球次数不超过 3 次的概率为12739122729121719122AAAAAAAAP【评析】【评析】利用古典概型求解时，求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致，若无序则都无序，若有序则都有序，分子和分母的标准要相同在求事件个数时常用列举法(画树状图、列表、坐标系法)，有时也与排列组合联系紧密，计算时灵活多变，但要注意分类讨论，做到不重不漏要正确识别条件概率问题，理解 P(A)，P(AB)，P(BA)的含义例例 4(1)两根相距 6 米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2米的概率是_(2)甲乙两人约定在 6
16、点到 7 点之间在某处会面，并约好先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去则两人能会面的概率是_(3)正方体内有一个内切球，则在正方体内任取一点，这个点在球内的概率为_【分析】【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解分别转化为线段长度、图形面积、几何体体积问题求解解解： (1)本题可转化为： “在长为 6m 的线段上随机取点， 恰好落在 2m 到 4m 间的概率为多少?”易求得31P(2)本题可转化为面积问题：即“阴影部分面积占总面积的多少?” ，解得167)(AP(3)本题可转化为体积问题：即“内切球的体积与正方体体积之比是多少?” 解得6P【评析】【评析】几何概型也是一种概率模型，它具有等可
17、能性和无限性两个特点解题的关键是要建立模型，将实际问题转化为几何概率问题基本步骤是：把基本事件空间转化为与之对应的区域；把随机事件 A 转化为与之对应的区域 A；利用概率公式)()()(AAP计算常用的几何度量包括：长度、面积、体积例例 5设有关于 x 的一元二次方程 x22axb20()若 a 是从 0，1，2，3 四个数中任取的一个数，b 是从 0，1，2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；()若 a 是从区间0，3任取的一个数，b 是从区间0，2任取的一个数，求上述方程有实根的概率【分析【分析】本题第一问是古典概型问题，第二问由于 a、b 在实数区间选取，可以转化为几何概型问
18、题求解解：解：设事件 A 为“方程 x22axb20 有实根” 当 a0，b0 时，方程 x22axb20 有实根的充要条件为 ab()基本事件共 12 个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值事件 A 中包含 9 个基本事件，事件A 发生的概率为43129)(AP()试验的全部结果所构成的区域为(a，b)0a3，0b2构成事件 A 的区域为(a，b)0a3，0b2，ab 所以所求的概率为3223221232【评析】【评析】几何概型与古
19、典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的，只是几何概型的基本事件有无限个，而古典概型的基本事件有有限个在具体问题中，不能因为古典概型的基本事件的个数多而误认为是几何概型例例 6如图，用 A、B、C 三类不同的元件连结成两个系统 N1、N2，当元件 A、B、C 都正常工作时，系统 N1正常工作；当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作时，系统 N2正常工作，已知元件 A、B、C 正常工作的概率为 0.80、0.90、0.90，分别求系统 N1、N2正常工作的概率【分析【分析】三个元件能否正常工作相互独立当元件 A、B、C 同时正常工作时，系统 N1正常工作；当元件 A 正常工作且元
20、件 B、C 至少有一个正常工作时，系统 N2正常工作，而 B、C 至少有一个正常工作的概率可通过其对立事件计算解解：设元件 A、B、C 正常工作为事件 A、B、C，则 P(A)0.8，P(B)0.9，P(C)0.9，且事件 A、B、C 相互独立(1)系统 N1正常工作的概率为p1P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.800.900.900.648(2)元件 B、C 至少有一个正常工作的概率为1P(BC)1P(B)P(C)10.10.10.99，所以系统 N2正常工作的概率为p2P(A)(1P(BC)0.800.990.792【评析【评析】本题以串、并联为背景，重点在正确理解题意在计算几个事件
21、同时发生的概率时，要先判断各个事件之间是否相互独立独立事件、互斥事件、对立事件的概率各有要求，要依据题目特点，巧妙地选用相关方法例例 7每次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分别标以数字 1，2，3，4，5，6)(1)连续抛掷 3 次，求向上的点数之和为 3 的倍数的概率；(2)连续抛掷 6 次，求向上的点数为奇数且恰好出现 4 次的概率【分析】【分析】向上点数之和为 3 的倍数共有 6 种情况，计数时要不重不漏；向上点数为奇数的概率为21，连续抛掷 6 次是独立重复试验解：解：(1)向上的点数之和为 3 的结果有 1 种情况，为 6 的结果共 10 种情况，为 9 的结果共 25种情况，为 1
22、2 的结果共 25 种情况，为 15 的结果共 10 种情况，为 18 的结果共 1 种情况所以3166611025251012P(2)因为每次抛掷骰子，向上的点数为奇数的概率为 P21，根据独立重复试验概率公式有6415)21()21(24463CP【评析】【评析】独立重复试验是一类重要的概率问题，要善于分析模型的特点，正确合理的解题例例 8某学校进行交通安全教育，设计了如下游戏，如图，一辆车模要直行通过十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车模前面已有 4 辆车模依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶)已知每辆车模直行的概率是53，左转行驶的概率是52，该路口红绿灯转换间隔时间
23、均为 1 分钟假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要 10 秒钟，一辆左转去北向的车模驶出停车线需要 20 秒钟，求：(1)前 4 辆车模中恰有 2 辆车左转行驶的概率；(2)该车模在第一次绿灯亮起时的 1 分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口)【分析】【分析】该车模 1 分钟内通过路口包含 2 种情况：4 辆车都直行，3 辆车直行 1 辆车左转解：解：(1)设前 4 辆车模中恰有 2 辆左转行驶为事件 A，则625216)52()53()(2224CAP(2)设该车在第一次绿灯亮起时的 1 分钟内通过该路口为事件 B，其中 4 辆车模均直行通过路口为事件 B1，3 辆直
24、行 1 辆左转为事件 B2，则事件 B1、B2互斥)()()()(2121BBPBBPBP62529752)53()53(334444CC【评析】【评析】善于从复杂的背景中发现线索，体会其实质善于转化问题的叙述，恰当的分类练习练习 111一、选择题一、选择题1下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的()A频率就是概率B频率是客观存在的，与试验次数无关C随着试验次数增加，频率一般会越来越接近概率D概率是随机的，在试验前不能确定2从装有 2 个黑球 2 个白球的口袋中任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A至少有一个白球，都是白球B至少有一个白球，至少有一个红球C恰有一个白球，恰有两
25、个白球D至少有一个白球，都是红球3独立工作的两套报警系统遇危险报警的概率均为 0.4，则遇危险时至少有一套报警系统报警的概率是()A0.16B0.36C0.48D0.644考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()A751B752C753D754二、填空题二、填空题5甲、乙二人掷同一枚骰子各一次如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为_6设每门高射炮命中飞机的概率都是 0.6今有一敌机来犯，要有 99的把握击中敌机，至少需要_门高射炮7在平面直角坐标系 xoy 中，设 D 是横坐
26、标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则落入 E 中概率为_8一个口袋中有 4 个白球，2 个黑球有放回的取出 3 个球，如果第一次取出的是白球，则第三次取出的是黑球的概率为_；不放回的取出 3 个球，在第一次取出的是白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率为_三、解答题三、解答题9已知集合 A42，0，1，3，5 ，在平面直角坐标系中点 M(x，y)的坐标满足 xA，yA计算：(1)点 M 恰在第二象限的概率；(2)点 M 不在 x 轴上的概率；(3)点 M 恰好落在区域0008yxyx上的概率10某个高中研究性学习
27、小组共有 9 名学生，其中有 3 名男生和 6 名女生在研究学习过程中，要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报)， 每次汇报都从这 9 名学生中随机选 1 人作为代表发言设每人每次被选中与否均互不影响；(1)求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率；(2)求男生发言次数不少于女生发言次数的概率113 名志愿者在 10 月 1 日至 10 月 5 日期间参加社区服务工作，若每名志愿者在这 5 天中任选两天参加社区服务工作，且各名志愿者的选择互不影响求(1)这 3 名志愿者中在 10 月 1 日都参加社区服务工作的概率；(2)这 3 名志愿者中在 10 月 1 日至多有 1 人参加社区服务工作的
28、概率112概率概率(二二)【知识要点】【知识要点】1离散型随机变量及其分布列随机变量：如果随机试验的可能结果可以用一个变量 X 来表示，并且 X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量 X 叫做一个随机变量如果随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称 X 为离散型随机变量离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1，x2，xn，X 取到每一个值 xi(i1，2，n)的概率为 P(Xxi)pi，则称表Xx1x2xixnPp1p2pipn为离散型随机变量 X 的分布列具有性质：pi0，i1，2，3，n；p1p2pn1离散型随机变量在某个范围取值的概率等于它
29、取这个范围内各个值的概率和二点分布：如果随机变量的分布列为X10Ppq其中 0p1，q1p，则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的二点分布二项分布：一般的，在相同条件下重复地做 n 次试验，各次试验的结果相互独立，称为 n 次独立重复试验在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 )(kXPknkknqpC(其中 p 为在一次试验中事件 A 发生的概率，q1p，k0，1，n).若将 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数设为 X，则 X 的分布列为X01knPnnqpC00111nnqpCknkknqpC0qpCnnn称这样的离散型随机变量 X 服从参数为 n、p 的二
30、项分布，记作 XB(n，p)超几何分布：一般的，设有总数为 N 件的两类物品，其中一类有 M 件，从所有物品中任取 n件(nN)，这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量，它取值为 m 时的概率为mCCCmXPnNmnMNmM0()(l，其中 l 为 n 和 M 中较小的一个)我们称离散型随机变量 X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称 X 服从参数为 N、M、n 的超几何分布2随机变量的数字特征及正态分布离散型随机变量的数学期望(均值)与方差：若离散型随机变量 X 的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的
31、数学期望(或均值)，它反映了离散型随机变量的平均取值水平称iinipXExXD21)()(为随机变量 X 的方差，它反映了离散型随机变量X 相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，其算数平方根)(XD为随机变量 X 的标准差，记作(X)，方差(或标准差)越小表明 X 的取值相对于期望越集中，否则越分散均值与方差的性质：E(aXb)aE(X)bD(aXb)a2D(X)若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)pq；若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)npq正态曲线：函数),(21)(222)(xexx，其中R，0)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线其特点有：曲线位于 x 轴上
32、方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，关于 x对称；曲线在 x处达到峰值21；曲线与 x 轴之间的面积为 1；当一定时，曲线随着的变化而沿 x 轴平移；当一定时，曲线的形状由决定越小，曲线越“瘦高” ，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散正态分布：如果对于任意实数 ab，随机变量 X 满足)(bXaPdxxba)(，则称 X 的分布为正态分布；随机变量 X 服从参数、的正态分布，记作 N(，2)正态分布的三个常用数据：P(X)68.3；P(2X2)95.4；P(3X3)99.7【复习要求】【复习要求】在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念
33、，认识分布列对于刻画随机现象的重要性通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用通过实例，理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题通过实例，理解取有限值的离散型随机变量期望、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的期望、方差，并能解决一些实际问题通过实际问题，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【例题分析】【例题分析】例例 1一袋中装有编号为 1、2、3、4、5、6 的 6 个大小相同的小球，现从中随机取出 3 个球，以 X 表示取出球的最大号码，(1)求 X 的分布列；(2)求 X4 的概率；(3)求 E(X)【分析【分析】随机变量 X 可能取的值为
34、 3、4、5、6，应用古典概型求得 X 取每一个值的概率，就可以写出分布列解：解：(1)随机变量X可能取的值为3、4、5、6，且,203)4(,2011)3(362336CCXPCXP3624)5(CCXP103206，212010)6(3625CCXP，所求 X 的分布列为X3456P20120310321(2)6()5()4(XPXPXP54(3).25. 5216103520342013)(XE【评析【评析】离散型随机变量的分布列反映了一次试验的所有可能结果(X 的所有可能取值)，以及取得每个结果(X 的每一个值)的概率书写分布列首先要根据具体情况正确分析 X 可取的所有值，然后利用排列
35、组合及概率的有关知识求得每个 xi所对应的概率 pi， 最后列成表格 要注意不同的 X值所对应的事件之间是互斥的，求离散型随机变量在某一范围的概率等于它取这个范围内各个值的概率和例例 2袋中装有大小相同的 5 个红球、5 个白球，现从中任取 4 个球，其中所含红球的个数为X，写出 X 的分布列，并求 X 的期望【分析】【分析】袋中共有 10 个球，从中任取 4 个，所含红球的个数为 0、1、2、3、4，每个事件的概率可以利用古典概型求解解：解：随机变量 X 可取的值有 0、1、2、3、4，)0(XP,42121054104505CCC) 1(XP215210504103515CCC，)2(XP
36、21102101004102525CCC，4101535)3(CCCXP21050215，4212105)4(4100545CCCXP，分布列为X01234P42121521102154212421421532110221514210)(XE【评析【评析】本题的随机变量 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，其中 N10，M5，n4例例 3某人练习射击，每次击中目标的概率为31(1)用 X 表示击中目标的次数若射击 1 次，求 X 的分布列和期望；若射击 6 次，求 X 的分布列和期望；(2)若他连续射击 6 次，设为他第一次击中目标前没有击中目标的次数，求的分布列；(3)他一共只有 6
37、发子弹，若击中目标，则不再射击，否则子弹打完为止，求他射击次数的分布列【分析】【分析】射击问题常被看做是独立重复试验的取值为 0 到 6，的取值为 1 到 6解：解：(1)X 服从二点分布X01P323131)(XEX 服从二项分布)6 , 1 , 0()32()31()(),31, 6(66kCkXPBkkk，分布列为X0123456P7296472919272924072916072960729127291. 2316)(XE(2)的取值为 0 到 6，k(k0，1，5)表示第 k1 次击中目标，前 k 次都没击中目标，则 P(k)5 , 1 , 0(31)32(.kk，6 表示射击 6
38、次都未击中目标， )6(P6)32(的分布列为0123456P3192274818243167293272964(3)的取值为 1 到 6k(k1，2，5)表示第 k 次时第一次击中目标， )(kP6;31)32(.1k表示前 5 次都没有击中目标，5)32()6(P的分布列为123456P31922748182431624332【评析】【评析】要书写分布列，必须先弄清随机变量 X 的含义以及取值情况，并准确定义事件“Xk” 在计算满足二点分布和二项分布的随机变量的期望和方差时，可直接应用公式计算例例 4甲乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 X 和 Y，且 X 和 Y 的分布
39、列为X10987650P0.50.20.10.10.05 0.050Y10987650P0.10.10.10.10.20.20.2计算 X 和 Y 的期望和方差，并以此为依据分析两人的技术水平【分析】【分析】先由分布列所提供的数据用期望和方差公式计算，再根据实际意义作出分析解解：E(X)8.85，D(X)2.2275；E(Y)5.6，D(Y)10.24由于 E(X)E(Y)，说明甲射击的平均水平比乙高；由于 D(X)D(Y)，说明甲射击的环数比较集中，发挥比较稳定，乙射击的环数比较分散，技术波动较大，不稳定，由此可以看出甲比乙的技术好【评析】【评析】正确记忆期望和方差的公式，在分布列中，期望是
40、每个变量乘以它所对应的概率再相加，求方差要先求期望，再作差、平方、乘以相应概率再相加科学对待计算结果，正确分析数据所表达的实际意义例例 5设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程 x2bxc0实根的个数(重根按一个计)(1)求方程 x2bxc0 有实根的概率；(2)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程 x2bxc0 有实根的概率；(3)若21，求、的数学期望和方差；【分析】【分析】本题概率问题是古典概型，要分别求出事件中所含元素的个数，第一问事件“二次方程有实根”等价于“b24c0” ，b、c 的值都取自1，2，3，4，5，6；第二问是条件概率问题；第三问
41、先求的期望和方差，再由公式求的期望和方差解解：(1)由题意知：设基本事件空间为，记“方程 x2bxc0 没有实根”为事件 A， “方程x2bxc0 有且仅有一个实根”为事件 B， “方程 x2bxc0 有两个相异实数”为事件 C，中基本事件总数为 36 个，A 中的基本事件总数为 17 个，B 中的基本事件总数为 2 个，C 中的基本事件总数为 17 个又因为 B，C 是互斥事件，故所求概率36193617362)()(CBBPP(2)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 D， “方程 x2bxc0 有实数”为事件 E，由上面分析得DPDP(,3611)(367) E，117)()()|(D
42、PEDPDEP()由题意的可能取值为 0，1，2，则,36172,1811,36170PPP故的分布列为：012P36171813617所以18173617) 12(181) 11 (3617(00, 136172181136170222DE9342) 12(, 312) 12(2DDDEEE【评析【评析】本题是一道概率的综合题，由 07 山东卷改编而得在古典概型中解决条件概率问题时，概率公式是)|(ABP)()()()(AnBAnAPBAP具有线性关系的两个随机变量的期望和方差之间的关系是bXaEbaXE)()(，)()(2XDabaXD例例6(1)设两个正态分布N(1，21)(10)和N(
43、2，22)(20)的密度函数图象如图所示 则有()A12，12B12，12C12，12D12，12(2)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3，2)，已知 P(X4)02，则 P(2X3)_(3)假设某自动车床生产的弹簧的自由长度服从 N(1.5， 0 022)， 已知 P(1.530.02)0.997质检员抽检到 5 件弹簧的自由长度分别为 1.47，1.53，1.49，1.57，141，据此判断生产情况是否正常?解：解：(1)选择 A；(2)0.3；(3)(1.530.02，1.530.02)(1.44，1.56)，而 1.41(1.44，1.56)，所以小概率事件“1.530.02”发生
44、，说明生产情况不正常.【评析【评析】正态分布的学习要明确三点：参数，的含义及对曲线形状的影响，正态曲线的性质，3原则例例 7某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有 A 到过疫区，B 肯定是受 A 感染的对于 C，因为难以判定他是受 A 还是受 B 感染的，于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是 1/2，同样也假设 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是 1/3在这种假定之下，B、C、D 中直接受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量，写出 X 的分布列(不要求写出计算过程)，并求 X 的均值(即数学期望)【分析【分析】由题意分析得 X 可取的值为 1、2、3，
45、用“Xk”(k1、2、3)表示被 A 直接感染的人数四个人的传染情形共有 6 种：ABCD，每种情况发生的可能性都相等，所以 A 传染 1 人有两种情况，传染 2 人有三种情况，传染 3人有一种情况 “x1”表示 A 传染 B，没有传染给 C、D； “x2”表示 A 传染给 B、C，没有传染给 D，或 A 传染给 B、D，没有传染给 C； “x3”表示 A 传染给 B、C、D于是有6131211)3(,213221131211)2(,3132211) 1(xPxPxP解解：X可取的值为 1、2、3，其中61)3(,21)2(,31) 1(XPXPXP，分布列为X123P312161E(X)61
46、1613212311【评析】【评析】本题是一道背景很新的题目，密切贴近现实情境在求每个事件的概率时，利用已知条件用列举法分析事件构成成为解题的关键例例 8在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投篮 3 次；在 A 处投篮每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次某同学在 A 处的命中率 q1为 0.25，在 B 处的命中率 q2，该同学选择在 A 处投一球，以后都在 B 处投用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为02345P0.03P1P2P3P4(1)求 q2的值；(2)求随机变量的数学期望 E；(3)试
47、比较该同学都选择在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小【分析【分析】分布列中“0”的概率为 0.03，即事件“三次都没投进”的概率是 0.03，由此可求出 q2，从而求出 pi(i1，2，3，4)解：解：(1)P(0)(1q1)(1q2)20.03，而 q10.25，解得 q20.8.(2)p1P(2)(1q1)12C(1q2)q20.24，p2P(3)q1(1q2)20.01，p3P(4)(1q1)q220.48，p4P(5)q1q2q1(1q2)q20.24，所求期望E00.0320.2430.0140.4850.243.63.(3)设该同学按上述方法
48、投篮超过 3 分为事件 C，选择一直在 B 处投篮超过 3 分为事件 D，则 P(C)p3p40.72，P(D)22q122Cq(1q2)q20.896，故 P(D)P(C)，所以该同学都选择在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大于选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率.【评析】【评析】深入理解离散型随机变量的分布列，挖掘题目信息.合理应用概率的加法公式、乘法公式、对立事件的概率公式解决概率问题.练习练习 112一、选择题一、选择题1某试验成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 描述一次试验成功的次数，则 P(X0)等于()A0B21C31D322袋中有大小相同的红球 6 个，白球 5 个，
49、从袋中每次任取一球，直到取出白球为止设所需取球次数为 X，则 X 的可能值为()A1，2，6B1，2，7C1，2，11D1，2，3，3已知随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)1.6，则 ab 的值为()X0123P0.1ab0.1A0.1B0.2C0.2D0.44设掷一颗骰子所得的点数为随机变量 X，则()AE(X)3.5，D(X)3.52B1235)(, 5 . 3)(XDXECE(X)3.5，D(X)3.5D1635)(, 5 . 3)(XDXE二、填空题二、填空题5一批产品有 8 件正品和 4 件次品，现从中任取 3 件，其中次品数 X 的分布列如下表，完成下表XP6 设随机变量
50、X 服从二项分布 XB(n， p)， 且 E(X)2 4， D(X)1.44， 则 p_， n_7一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面朝上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面朝上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位若青蛙跳动四次停止，设停止时青蛙所在数轴上对应点的坐标为 X，则 E(X)_8已知随机变量 X 服从正态分布 XN(2，2)，P(X4)0.84，则 P(X0)_三、解答题三、解答题9某个高中研究性学习小组共有 9 名学生，其中有 3 名男生和 6 名女生在研究学习过程中，要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报)，每次汇报都从这 9 名学生中随机选 1 人作为代表发
