1、研究主题：表面涂色的正方体研究主题：表面涂色的正方体研究目标：研究目标：1、使学生经历把表面涂有颜色的正方体切成若干个同样大的小正方体，探索表面涂有颜色的小正方体的各种情况以及其中隐含的简单规律的过程。2、使学生进一步积累探索简单数学规律的经验，感悟数学思想方法，发展数学思维能力和空间观念。3、使学生在探索数学规律的过程中，感受数学的结构美，获得成功发现数学规律的愉悦体验，激发学习数学的兴趣。课前准备：课前准备：多媒体课件、三阶魔方、四阶魔方。研究过程：研究过程：一一、提出问题，激发兴趣。、提出问题，激发兴趣。师：前面我们学习了有关长方体和正方体的知识，今天我们继续来研究正方体（出示表面涂色的
2、正方体模型图，）看，这是一个正方体，我在它的表面涂上颜色，今天这节课我们就围绕“表面涂色的正方体”来展开！二、经历过程，探究规律。二、经历过程，探究规律。（一）探究 1：每条棱都平均分成 2 份的正方体表面涂色情况。1、出示问题 1：一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成 2 份，如果照下图的样子把它切开，能切成多少个同样大的的小正方体？出示问题 2：每个小正方体有几个面涂色？2、过渡：猜一猜，如果把正方体的每条棱都平均分成 3 份结果会不会也这样？（二）探究 2：每条棱都平均分成 3 份的正方体表面涂色情况。1、出示问题 1：把正方体的每条棱都平均分成 3 份，再把正方体切开，能切成多少个小
3、正方体？出示问题 2：像这样切开后，小正方体表面涂色的情况一共有几种？分别是哪几种？2、自主探究：（1）观察猜想：切成的小正方体中，3 面涂色、2 面涂色、1 面涂色的小正方体各有多少个？（2）小组合作，动手操作。3、回顾过程：刚才我们把大正方体的棱平均分成 3 份，知道了 3 面涂色、2 面涂色、1 面涂色的小正方体的位置和个数，我们经历了怎样的过程才知道的？板书：观察猜想、实验验证（板书：找、数）、得出结论过渡：刚刚我们研究了把棱平均分成 3 份时，分成的小正方体表面涂色的情况，如果把棱平均分成 4 份呢。（三）探究 3：每条棱都平均分成 4 份的正方体表面涂色情况。1、出示问题：如果把大
4、正方体的每条棱平均分成 4 份，再切成同样大的小正方体，能切成多少个小正方体？其中 3 面、2 面、1 面涂色的小正方体分别在什么位置？各有多少个？（老师也给大家准备了这样一个模型）2、自主探究：（1）提出实验要求；（2）汇报演示：让数的小组先全部汇报完， 问： 有没有不同的想法？ （如果没有， 可以提示：除了一个一个数出个数，还有什么快速的方法知道 2 面涂色、1 面涂色的小正方体个数？）达成共识后比较方法：有的小组是一个一个数出来的，有的小组是根据位置的特点算出来的，你更喜欢谁的方法？为什么？（3）得出结论（四）每条棱都平均分成 5 份的正方体表面涂色情况。师：刚才我们研究了棱平均分成 3
5、 份、4 份时小正方体表面涂色的情况，那把棱平均分成 5 份呢，小正方体表面涂色的情况又会怎样呢。请大家独立思考，再填一填实验单。汇报演示：找好了吗？达成共识。（很快）得出结论并板书。4、过渡：刚才我们研究了棱平均分成 3 份、4 份、5 份时，分成的小正方体表面涂色情况，一起来看一下（出示课件和板书），你有什么新的发现？（小组讨论一下）三、观察比较、归纳规律。三、观察比较、归纳规律。1、观察课件和板书，学生小组讨论：你有什么新的发现？（说清楚归纳和发现规律的思考过程）2、师：如果把棱平均分成 6 份、7 份、9 份、10 份你能知道每种小正方体的位置和个数了吗？还需要一个一个来研究吗？有什么
6、好办法让人一下子看出其中的规律呢？如果用 n 表示把大正方体的棱平均分的份数，用 a、b 分别表示 2 面涂色和 1 面涂色的小正方体的个数，你能用式子分别表示 n 和 a、b 的关系吗？a= 12（n-2）b=6（n-2）3、（修改完板书成：把 69、64、61 改写成平方的形式。121=12，61=6）四、回顾过程，反思得失。四、回顾过程，反思得失。回顾探索和发现规律的过程，说说你有什么体会。1、找各种小正方体时，要注意它们在大正方体上的位置。2、把找、数、算等方法结合起来，根据图形的特征进行思考。3、经历了怎样的过程发现这些规律的？（观察猜想-实验验证-得出结论-回顾反思）翻开新版小学数
7、学教材，同样六年级，同样长方体和正方体这个单元，却发现了不少悄然变化着的东西，感受到了更多的直观的、更具有数学性的内容。这些内容对于学生的数学思维提出了更高的要求。这就需要教师在设计和组织教学活动时更加重视思维能力的培养，更多地为学生提供从直观形象向抽象概括发展的阶梯。在长方体和正方体这一单元中，新增了 “表面涂色的正方体”这样一个实践活动。在以前的教材中，这一内容只是以一道思考题的形式出现，记得去年在讲这道题的时候只是把三面涂色、两面涂色、以免涂色的小正方体数清楚就可以了。但是新版的教材提高了要求，首先它立足于找规律，同样的一题，要求教师引导学生站得更高，透过现象去寻找本质规律，并能总结出一
8、般性规律。仔细研读教材，亲自展开教学实践，才发现原以为 40 分钟对于这一内容来讲太奢侈了，事实证明，恰恰相反。40 分钟，学生似乎还意犹未尽。教学感悟之一：想象兼之观察，突出思维。表面涂色的正方体是在第一单元的最后，教材图文并茂地了提供棱长等分 2、3、4、5 份的正方体图形共计四个。“长方体和正方体”这一单元系统学习后，学生虽然对正方体的特征业已了然于胸，但对于探究表面涂色的大正方体每条棱等分若干份后，各小正方体表面涂色的情况毕竟还是个新问题新挑战。原想如果学生没人能有这样一个学具该多好，直观形象，一眼就能观察得到。但是转念一想，操作中如若没有目的性的观察，热闹的操作终究不会回到冷静的思考
9、。大正方体切割后各类涂色小正方体所处的位置及数目可以观察教学具，也可以观察课本中的大正方体切分图，还可以观察课件的动画演示，如果在观察的基础上加以合理的联想，充分发挥想象力将会是学习的一个更高层次， 只要多媒体展示到位， 教师善于激趣与引导， 一定会比直观观察更多地锻炼学生的数学思维能力。教学感悟之二：善用归纳策略，突出规律。原教材的那道思考题一题一解， 学生所作的仅仅统计棱长 4 厘米表面涂色的大正方体切割等分后各小正方体的涂色情况，归纳无从谈起。而表面涂色的正方体在教材中是用统计表填空形式呈现的。正是利用学生已经学过的统计和归纳的知识，引导学生在想象、观察后归纳、发现现象后面的本质规律。根
10、据学生在课上的热情度，最后还研究了“一面都不涂色的小正方体个数”，借助媒体展示，成功找到了潜藏其中的规律。教学感悟之三：反思探索过程，突出方法。最有意思的是，在探索发现规律之后，教材还安排了 3 个卡通人物对上述学习和探索活动进行回顾和反思，并分别说出各自的“体会”。这样的编排让我们不光看到了数学知识的介绍，还有的是教学的重点、关键和学习品质的多方面的“流露”。从这一个细节上可以看到，数学教材编写者不光关注着相应的数学知识，还体现了一种学习方法的渗透，提出问题、自主探索、发现规律和回顾反思的四个环节层层推进，在兴趣下探索、在探索中发现、在发现后反思。这样的安排更多的关注学生的数学素养，确实值得
11、称道。探索规律表面涂色的正方体教材分析探索规律表面涂色的正方体教材分析一个较大的正方体的 6 个面上都涂了颜色。 如果把这个正方体切成若干个同样大的小正方体，这些小正方体的 6 个面上不会都涂了颜色。切成的小正方体可能有多少面涂了颜色？其中有没有规律？会是什么规律？回答这些问题是这次活动的数学内容。较大正方体切成的小正方体，分布在大正方体的各个位置上。正是由于各个小正方体在大正方体上的位置不同，所以它们涂颜色面的个数不同。研究小正方体涂色面的规律，要分类整理各种小正方体的原来位置，与刚刚教学的正方体知识有联系，对空间想象力提出了新的内容与要求，有益于学生空间观念的发展。教材分三段安排学生开展探
12、索规律的活动，依次是：提出问题与观察想象、揭示规律与写出关系式、回顾过程与反思体验。（一） 提出问题，呈现现象，数数想想，初步发现规律大正方体切成的小正方体个数越多，数出表面涂颜色的小正方体个数就越难。教材由少到多，逐渐增加难度：先把大正方体的每条棱平均分成 2 份，图示一个表面涂了颜色的大正方体被平均分的情境，让学生看着实物图数数、想想、说说，“能切成多少个大小相等的小正方体？有几个面涂了颜色？”这是多数学生没有想过的、富有挑战性的问题。教材希望学生围绕小正方体“有多少个面涂有颜色，哪些面涂了颜色”这些问题进行思考和讨论，发现切成的每个小正方体都有 3 个面涂了颜色，3 个面没有涂颜色。从切
13、成的小正方体的面有些在大正方体的表面上、有些在大正方体的里面，找到小正方体有涂色的面，也有没涂色面的原因。接着把大正方体的每条棱平均分成 3 份，并切出大小相等的小正方体。这时的情况就比较复杂了， 有些小正方体的 3 个面上涂了颜色， 有些小正方体的 2 个面上涂了颜色，有些小正方体的 1 个面上涂了颜色，有些小正方体所有面上都没有涂颜色。教学应引导学生研究， 为什么小正方体涂颜色面的个数不同？引导他们认识到由于有些小正方体在大正方体的顶点位置、有些在大正方体棱的位置、有些在大正方体表面的中间位置、有些在大正方体的里面，所以有 3 面涂色的、2 面涂色的、1 面涂色的、没有面涂色的小正方体，并
14、且理解小正方体最多有 3 面涂了颜色。然后把大正方体的每条棱平均分成 4 份、5 份，仍然切成大小相同的小正方体，继续研究小正方体面上涂颜色的问题。 由于学生已经研究过大正方体每条棱平均分成 3 份的情况，其中的研究方法与经验可以应用于更加复杂些的情形之中，所以教材同时呈现了大正方体每条棱平均分成 4 份和 5 份的实物图，让学生独立进行研究活动，并把数得的结果填在教材的表格里。学生从表格里的数据中会发现：随着把大正方体的每条棱平均分的份数越来越多，切出的小正方体中，3 面涂颜色的总是 8 个，2 面涂颜色、1 面涂颜色、没有面涂颜色的小正方体的个数也越来越多。于是会思考，为什么 3 面涂颜色
15、的小正方体总是 8 个？2面涂色、1 面涂色、没有面涂色的小正方体的个数有没有规律？能不能计算？这就进入了问题情境，产生了探索规律的兴趣。仔细观察与想象，能够发现：一个正方体被切成若干个同样大的小正方体，3 面涂色的小正方体都在大正方体的顶点位置上，大正方体有 8 个顶点，3 面涂色的小正方体一定是 8 个。 2 面涂色的小正方体个数不固定， 可能没有， 可能是 12 个、 24 个、 36 个这些数都是 12（大正方体棱的条数）的倍数，这些小正方体总在大正方体每条棱的中间位置上。1 面涂色的小正方体个数也不固定，可能没有，可能 6 个、24 个、54 个这些数分别是 6（大正方体面的个数）的
16、 1 倍、4（22）倍、9（32）倍这些小正方体在大正方体每个面的中间位置上。没有面涂色的小正方体个数仍然不固定，可能没有，可能 1 个、8 个、27 个这些数刚好是 0、13、23、33这些小正方体都在大正方体的里面。（二） 写出含有字母的关系式，用数学模型表达规律3 面涂色的小正方体一定是 8 个，个数确定且不变就是规律。2 面涂色的小正方体在大正方体每条棱中间位置上，个数虽然不固定，却是有规律的， 这就可以用数学的方法与形式来刻画规律。 教材引导学生联系用字母表示数的经验，用 a 表示 2 面涂色小正方体的个数，n 表示大正方体的棱平均分的份数。这样，2 面涂色的小正方体个数可以通过式子
17、 12（n-2）计算，a12（n-2）概括地表示了 2 面涂色小正方体个数与大正方体棱平均分的份数的关系。在学生写出含有字母的式子时，要让他们看到 2 面涂色小正方体的个数与两个要素有关：一与正方体棱的条数有关；二与大正方体的棱被平均分的份数有关。大正方体的每条棱都平均分成 n 份，沿着每条棱的 2面涂色的小正方体有 （n-2） 个。 大正方体有 12 条棱， 2 面涂色的小正方体一共有 12 （n-2）个。教学应引导学生结合填写在表格里的数据，得出（n-2）并理解其意思。学生用含有字母的式子表示数量关系，是参与一次建立数学模型的活动，不应要求他们记忆和应用写出的式子，也不应要求把这个用字母表
18、示的关系式作为基础知识加以掌握，但应该经历写出式子的过程。1 面涂色的小正方体在大正方体每个面的中间位置上，个数也是既不固定又有规律的。也可以用含有字母的式子来表达规律，不过式子更加复杂些。1 面涂色的小正方体个数与大正方体面的个数“6”有关，还与大正方体的棱被平均分的份数有关。如果用 b表示 1 面涂色小正方体的个数，n 表示大正方体的棱被平均分的份数，那么大正方体一个面上能切出 1 面涂色的小正方体（n-2）2个，6 个面一共能切出 1 面涂色的小正方体6（n-2）2个。式子 b6（n-2）2表示 1 面涂色小正方体的个数与大正方体的棱被平均分的份数之间的关系。一个面也不涂色的小正方体都在
19、大正方体的内部。 如果用 c 表示没有涂色面的小正方体个数，n 表示大正方体的棱平均分的份数，那么这些没有涂色面的小正方体形成一个棱长为（n-2）的正方体，其中有（n-2）3个小正方体。式子 c=（n-2）3表示没有涂色面的小正方体个数与大正方体的棱长被平均分的份数之间的关系。学生独立得出上面这些关系式会有点困难，部分学生理解这些关系式也不容易，可以在教师帮助下写出和解释这些关系式。一定要把观察想象和揭示规律有机结合，在学生观察想象达到一定程度时， 组织他们用适当的形式表达规律， 用自己的语言解释规律。（三） 回顾发现规律的过程，体会其中的经验回顾与反思是数学学习的重要步骤。当学生完成一段数学活动以后，及时回顾活动过程， 反思活动的方式方法， 有利于他们积累数学活动经验， 增添继续学习数学的后劲。这次探索规律教学的最后，要求学生说说自己的收获，体会如何仔细观察、充分想象，如何通过数数、算算找到有关数据，如何根据数据归纳出规律，如何用含有字母的式子准确、清楚、概括地表达规律这些体会的作用与价值，将体现在以后的数学学习之中。
