第二章 一元二次方程- 5 一元二次方程的根与系数的关系-ppt课件-(含教案+视频+素材)-市级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：c0443).zip

一元二次方程的根 与系数的关系1课堂讲解一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业 方程ax2bxc0(a0)的求根公式 不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？1知识点一元二次方程的根与系数的关系思考1 从因式分解法可知，方程(xx1)(xx2)0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2pxq0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？知1导知1导归 纳方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1x2p，x1x2q.知识点 一般的一元二次方程ax2bxc0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？知1导思考2知1导归 纳方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为： 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x27x60； (2)2x23x20. 解：(1)这里a1，b7，c6. b24ac724164924250. 方程有两个实数根 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1x27，x1x26. (2)这里a2，b3，c2. b24ac(3)242(2)916250， 方程有两个实数根 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1x2 ，x1x21.知1讲识点知1讲例2 根据一元二次方程的根与系数的关系，求 下列方程两个根x1，x2的和与积： （1）x26x150 （2）3x27x90； （3）5x14x2. 解： (1)x1x2(6)6，x1x215. (3)方程化为4x25x10，1一元二次方程x24x30的两根为x1，x2，则x1x2的值是()A4 B4 C3 D3已知x1，x2是方程x23x10的两个实数根，那么下列结论正确的是()Ax1x21 Bx1x23Cx1x21 Dx1x23知1练2DB2知识点一元二次方程的根与系数的关系的应用知2讲例3 已知关于x的方程x26xp22p50的 一个根是2，求方程的另一个根和p的值导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之 和可求出另一根，再运用两根之积求出常数 项中p的值知2讲解： 设方程的两根为x1和x2， x1x26，x12，x24. 又x1x2 p22p5248， p22p30，解得 p3或p1.知2讲总 结 已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值1已知关于x的一元二次方程x2mx80的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为()A4，2 B4，2C4，2 D4，2知2练D2等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x26xn10的两根，则n的值为()A9 B10C9或10 D8或10知2练B知2讲例4 方程x22kxk22k10的两个实数根x1，x2满 足x12x224，则k的值为_由x12x22x122x1x2x222x1x2(x1x2)22x1x24，根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值x12x22x122x1x2x222x1x2 (x1x2)2 2x1x24，x1x22k，x1x2k22k1，4k24(k22k1)4， 解得k1.导引：k1知2讲总 结 已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，进而求出待定字母的值1若关于x的一元二次方程x2kx4k230的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1x2x1x2，则k的值为()A1或 B1 C. D不存在知2练C1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根x1，x2 和系数a，b，c的关系： 2. 用一元二次方程根与系数的关系，求另一根及 未知系数的方法： (1)当已知一个根和一次项系数时，先利用两根 的和求出另一根，再利用两根的积求出常数项 (2)当已知一个根和常数项时，先利用两根的积 求出另一根，再利用两根的和求出一次项系数一元二次方程根与系数的关系课堂检测题一元二次方程根与系数的关系课堂检测题一、单项选择题：一、单项选择题：1关于的方程中，如果，那么根的情况是（ ）x0122 xax0a（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 （D）不能确定2设是方程的两根，则的值是（ ）21,xx03622 xx2221xx（A）15 （B）12 （C）6 （D）33下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）（A）2y2+5=6y（B）x2+5=2x（C）x2x+2=0（D）3x22x+1=053264以方程 x22x30 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A） y2+5y6=0 （B）y2+5y6=0 （C）y25y6=0 （D）y25y6=05如果是两个不相等实数，且满足，那么等21xx，12121 xx12222 xx21xx 于（ ）（A）2 （B）2 （C） 1 （D）1二、填空题：二、填空题：6、如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么 。0422kxxk7、如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取x012) 14(222kxkxk值范围是 。8、已知是方程的两根，则 ， 21xx，04722 xx21xx 21xx， 221)(xx 9、若关于的方程的两个根互为倒数，则 。x01)2()2(22xmxmm10、当= 时，方程有两个相等的实数根；m042 mxx三、解答下列各题：三、解答下列各题：11、已知 3是方程的一个根，求另一个根及 m 的值。2072 mxx12、m 取什么值时，方程012) 14(222mxmx（1）有两个不相等的实数根， （2）有两个相等的实数根， （3）没有实数根；13、求证：方程没有实数根。0)4(2) 1(222mmxxm一元二次方程根与系数的关系教学设计教学目标：（一）知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。（二）过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。（三）情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。教学重点：根与系数关系及运用教学难点：定理的发现及运用。教学过程：一、创设情境，激发探究欲望我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如：抛出的重物总会落下-万有引力定律（牛顿） 电路中的电流、电压、电阻存在一定关系：U=-欧姆IR定律（欧姆）而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律，比如：直角三角形的三边 a,b,c 满足关系：+=-勾股定2a2b2c理（毕达哥拉斯）那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天共同去探究，感受一次当科学家的味道。设计意图：让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望。 二、探究规律先填空，再找规律：一元二次方程 1x2x+1x2x.1x2x+6x-16=02x-2x-5=02x2-3x+1=02x5+4x-1=02x思考：观察表中+与.的值，它们与前面的一元二次方程的各1x2x1x2x项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？设计意图:通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。三、得出定理并证明（韦达定理）若一元二次方程 a+bx+c=0（a0）的两根为、，则2x1x2x+= - . =1x2xba1x2xca特殊的：若一元二次方程+px+q=0 的两根为、，则2x1x2x+=-p . =q1x2x1x2x证明此处略（师生合作完成）设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。四、运用定理解决问题例 1. 求下列方程的两根之和与两根之积.（1）-6x-15=0 (2)5x-1= 42x2x(3)=4 (4)2=3x2x2x(5)-(k+1)x+2k-1=0(x 是未知数，k 是常数)2x设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便， （3） 、 （4） 、 （5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解。例 2. 若一元二次方程-4 x+2=0 的两根是、，求下列各式的值：2x1x2x（1）+ （2）+11x12x21x22x设计意图：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。例 3. 若一元二次方程+ax+2=0 的两根满足：+=12，求 a 的2x21x22x值。设计意图：它是例 2 的一个变式，目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和等于 2 等。五、课堂小结：让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。六、课堂板书（略）七、教后反思