综合与实践-猜想、证明与拓广-ppt课件-(含教案+素材)-市级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：00ea7).zip

【学习目标】1、经历猜想、证明、拓广的过程，增强发现和提出问题的能力，以及对问题进行自主探索的意识，积累探索和发现的经验。2、在探究问题结论和论证结论正确性的过程中，综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识3、在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想和方法，体会证明的必要性4、在合作交流的过程中，拓展思路，发展推理能力【重难点】重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.难点：在问题解决过程中的策略和方法。【学习过程】【探究活动一探究活动一】任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的形周长和面积的 2 2 倍？倍？ 特例特例 1、若正方形的边长为 1，是否存在满足要求的正方形？边长为 2 呢？3 呢？ 猜想猜想 证明证明 设给定正方形边长为 a 方法 1 （代数方法） 方法 2（几何方法） 结论结论 拓广拓广 你能提出新的问题吗？【探究活动二探究活动二】任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的和面积的 2 2 倍？倍？参照前面的探究方法，探究的一般步骤是什么？ 特例特例 1、已知矩形的长和宽分别为 2 和 1，那么你能找到满足上面要求的矩形吗？2、若长和宽分别为 3 和 1 呢？4 和 1 呢？ 猜想猜想 证明及结论证明及结论 1、已知矩形的长和宽分别为 n 和 1，则满足要求的新矩形的长和宽分别为 2、已知矩形的长和宽分别为 m 和 n，则则满足要求的新矩形的长和宽分别为 【探究拓广探究拓广】任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？长和面积的一半？ 猜想猜想 探索探索 1、 已知矩形的长和宽分别是 2 和 1，存在满足要求的矩形吗？3 和 1 呢？4 和 1 呢？5 和 1 呢？2、 能否进行猜想？试一试长和宽分别为 6 和 1 的矩形3、 何时存在？何时不存在？ 证明证明 已知矩形的长和宽分别为 m，n，满足什么条件时才存在满足条件的新矩形？【总结】问题情境初步猜想验证发现证明拓广【课后阅读】教材 168 页 读一读 换一个角度看 ，从几何的角度解决今天的问题。世界著名数学问题世界著名数学问题哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题18 世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有 7 座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如下图所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍 7 座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。欧拉很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成 A、B、C、D 四点，7座桥表示成 7 条连接这 4 个点的线，如下图。于是“七桥问题”就等价于图中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。图 2 的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍 7 座桥，而每座桥只许通过一次的走法。欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。四色问题四色问题地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用 1，2，3，4 这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。虽然四色定理证明了任何地图可以只用四个颜色着色，但是这个结论对于现实上的应用却相当有限。现实中的地图常会出现两个不连通的区域属于同一个国家的情况（如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，四个颜色是不够用的。哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想1742 年德国人哥德巴赫给大数学家欧拉写了一封信，在信中提出两个问题：一，是否每个大于 4 的偶数都能表示为两个奇质数之和？如 6=3+3，14=3+11 等。二，是否每个大于 7 的奇数都能表示 3 个奇质数之和？如 9=3+3+3，15=3+5+7 等。这就是著名的哥德巴赫猜想。它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于7 的奇数显然可以表示为一个大于 4 的偶数与 3 的和。1937 年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3 个奇质数之和，基本上解决了第二个问题。但是第一个问题至今仍未解决。由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为 m、n 的两个自然数之和，简记为“m+n” 。1920 年挪威数学家布龙证明了“9+9” ；以后的 20 几年里，数学家们又陆续证明了“7+7” ， “6+6” ， “5+5” ， “4+4” ， “1+c” ，其中 c 是常数。1956 年中国数学家王元证明了“3+4” ，随后又证明了“3+3” ， “2+3” 。60 年代前半期，中外数学家将命题推进到“1+3” 。1966 年中国数学家陈景润证明了“1+2” ，这一结果被称为“陈氏定理” ，至今仍是最好的结果。陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉，不仅仅是因为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位，更重要的是以陈景润为代表的一大批中国数学家克服重重困难，不畏艰险，永攀高峰的精神将鼓舞和激励有志青年为使中国成为 21 世纪世界数学大国而奋斗！ 商业计划书 http:/ http:/ 综合与实践综合与实践 猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广一、一、教学目标教学目标猜想、证明与拓广，通过一系列具体的问题逐渐展开，引导学生分类研究，先考察一些简单的，特殊的情形，发现一些规律后再讨论一般情况，在此过程中让学生不断的体会由一般到特殊的探究问题的思想，寻求一般性的解决方法.培养学生直观“判断”和正确“猜想” ，并配合一定的形式说理，在交流个人想法中拓展思维。猜想要“检验是否存在” ，再由“特殊到一般”给出一般性的证明.由“倍增”再到“减半”的“拓广” ，总结获得的数学知识和策略性的经验，发展学生的推理能力和探究能力.教学突出学生自主探索，合作交流，协助学生自行找到解决问题的方法。为此，本节课的教学目标是：为此，本节课的教学目标是：1、通过创设问题情境，让学生经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。2、在探究问题结论和论证结论正确性的过程中，综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识；3、在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会知识之间的内在联系，理解证明的必要性。4、在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。二、学情分析学情分析学生的知识构成分析：学生的知识构成分析：学生在经历了证明一证明二以及特殊的四边形的学习后，积累了一定的证明的经验思想和方法，具备了几何证明及探究的能力，在九上的第二章学习了一元二次方程后，会利用根的判别式判断根的情况，并且积累了列一元二次方程解决几何问题的实际经验。学生的整体水平分析：学生的整体水平分析：学生整体学习习惯不太好,书写普遍不够端正,整体的数学水平参差不齐。对于基础知识,同学们普遍掌握的不够扎实,对关于发表自己的意见以及讲解能力较差。普遍学习不够积极不够主动。三、重点难点重点难点重点：重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.难点：难点：在问题解决过程中的策略和方法。四、教学过程教学过程本节课设计了五个教学环节：第一环节：提出问题，猜想探究；第二环节：思维拓广，证明猜想；第三环节：问题拓广，自主探究；第四环节：总结反思，方法提炼；第五环节：布置作业，巩固所学。【探究活动一探究活动一】任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的是已知正方形周长和面积的 2 2 倍？倍？说明：教师引导学生从画图、特殊值等角度猜想结论。个人思考后进行小组交流，小组代表展示讨论结果。 （学生利用多媒体课件以表格形式展示变化前后的情况进行讲解） （学生还可能举出不同的特例，教师引导） 证明环节证明环节 提出问题：通过学生的展示，我们由一些特例得到一个猜想：对于一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的 2 倍。但这一猜想对任意正方形一定成立吗？怎样验证猜想的正确性？说明：教师引导学生可以用字母表示边长，得到一般性的结论；或者运用相似的知识解释，在上一环节的基础上小组交流，小组代表发言。（学生分别以代数方法和几何方法进行证明，教师予以补充说明）说明：让学生意识到，通过几个特例得来的猜想不一定适用于所有正方形，必须经过证明才能确认。对正方形的探讨虽然简单，但要让学生经历“猜想-验证-证明”的过程，在这一部分，教师主要是引导学生思考解决问题的思路和方法，学生要在教师的引导下自主完成探究，小组合作交流，小组代表发言说明结论。 拓广环节拓广环节 证明环节结束后，教师引导学生提出拓展性的问题； 已知正方形已知正方形所求正方形所求正方形所求正方形所求正方形边长边长1 1 ？ ？周长周长4 4 8 8 ？面积面积1 1 ？ 2 2学生可能会提出三角形，正多边形，矩形、圆、菱形等图形的“倍增”问题，对称可以按相似和不相似分成两类来分别研究。对相似图形用反证法可解决；对不相似的图形，可先解决矩形“倍增”问题。还会有学生提出 3 倍等其他问题，教师予以鼓励。【探究活动二探究活动二】任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的矩形周长和面积的 2 2 倍？参照前面的探究方法，探究的一般步骤是什么？倍？参照前面的探究方法，探究的一般步骤是什么？说明：学生总结表达可能会不太准确，教师进行学生发言的总结。 特例特例 1、已知矩形的长和宽分别为 2 和 1，那么你能找到满足上面要求的矩形吗？2、若长和宽分别为 3 和 1 呢？4 和 1 呢？ 分小组分别选择一个进行探究，然后交流，合作解决问题。教师巡视，适当引导学生。（学生发言后，教师利用 ppt 用表格展示变化前后的情况） 已知矩形所求矩形长2x=？宽1y=？周长6周长为12（x+y=6）面积2面积为 4（xy=2）将图形问题转化成方程问题，转化成一元二次方程进行求解。 证明环节证明环节 对矩形的“倍增”问题有什么猜想？这个猜想正确吗？先研究矩形长和宽分别为 n 和1 的情况。说明：对于矩形的长和宽分别为 n 和 1 的情况，让学生自主解决，学生代表在黑板展示成果。对矩形长和宽分别为 m 和 n，是否依然存在？说明：由于解字母系数的方程对部分学生来说难度较大，因此这个问题师生共同研究，教师通过多媒体课件演示求解过程。最后得到一般结论。【总结总结】问题情境初步猜想验证发现证明拓广【拓广环节拓广环节】任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？已知矩形周长和面积的一半？说明：类比这节课的探究方法，将矩形的“减半”问题作为本节课的作业，课后小组探究解决，下一课时小组进行展示交流。猜想、证明与拓广辽宁省朝阳市第六中学 杨瑞颖探究活动一任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？周长变大为周长变大为2 2倍倍面积变大为面积变大为2 2倍倍探究活动一 已知正方形 所求正方形 所求正方形 边长 1 周长 4 面积 18（周长固定为2倍）2（面积固定为2倍）探究活动一 猜想： 不存在周长和面积分别是已知正方形周长和面积2倍的正方形。 证明 设给定正方形边长为a 代数方法 几何方法结论：任意给定一个正方形，结论：任意给定一个正方形，不存在另一个正方形，它的不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方周长和面积分别是已知正方形周长和面积的形周长和面积的2倍。倍。探究活动二任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？探究活动二1、已知矩形的长和宽分别为2和1，那么你能找到满足上面要求的矩形吗？2、若长和宽分别是3和1呢？4和1呢？已知矩形所求矩形长2x=？宽1y=？周长6周长为12（x+y=6）面积2面积为4（xy=4）探究活动二对矩形“倍增”问题的猜想： 对于任何矩形，都存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。证明你的猜想。1、已知矩形的长和宽分别为n和1，则满足要求新矩形的长和宽分别为 。 2、已知矩形的长和宽分别为m和n，则满足要求新矩形的长和宽分别为 。已知矩形已知矩形长：长：m宽：宽：n周长：周长：2(m+n)面积：面积：mn可列方程 x2(n+m)-x=2mn新矩形新矩形长：长：x宽：宽：2(m+n)-x周长：周长：4(m+n)面积：面积：2mn解：设新矩形的长为x；解得探究活动二 结论任意给定一个矩形，必然存在另一个矩形，它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍。总结反思，方法提炼总结反思，方法提炼探究与数学有关的问题时，我们往往要经历问题情境问题情境初步猜想初步猜想验证验证发现规律发现规律证明证明拓广拓广布置作业，拓广所学布置作业，拓广所学任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？