1、第 1 页教学设计：一元二次不等式及其解法教学设计：一元二次不等式及其解法一、教学课题：一、教学课题： 1、教材版本：普通高中新课程（A 版）必修 5 2、教学章节：第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 3、教学年级：高二 4、授课类型：新授课二、课前分析：课前分析： 1、教材分析：本课的基础是一元二次方程及二次函数，可以从三个“一次”的关系入手，让学生自然类比、归纳出三个“二次”的关系。 2、学生分析：学生需要联系前面所学的一元二次方程、二次函数的知识，然而有的学生这些知识并未掌握牢固；再者要深刻挖掘它们之间的联系，从中寻求一元二次不等式的解法。这比单纯数形结合要求更高。三、教学目
2、标：三、教学目标：（一）知识与能力： 1一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。 2一元二次不等式的解法。 3. 通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想。 4.通过一元二次不等式的解集的分类列表形式，培养分类讨论的数学思想。（二）过程与方法： 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；（三）情感态度与价值观： 1. 从解一元一次不等式到解一元二次不等式的过程是培养学生类比的思维方法的过程 2. 通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，激发学生学习数学的热情，培养
3、勇于探索、勇于创新的精神，同时使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，从而树立辨证的世界观。四、教学重点：四、教学重点： 一元二次不等式的解法。五、教学难点：五、教学难点： 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。六、教学方法与手段：六、教学方法与手段： 问题探究启发式,结合电脑、投影仪等多媒体设备辅助教学，增强直观性，增大教学容量，提高课堂效率第 2 页七、教学过程：七、教学过程： （I）复习提问：）复习提问： 1、一元二次方程的解的情况。20,(0)axbxca 2、二次函数的图像的作法。2,(0)yaxbxc a（II）新课学习：新课学习： 1.问题引入：解方程 230 x作函
4、数 的图像23yx解不等式 及230 x230 x【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？ 利用几何画板演示过程 【回答】函数图像与轴的交点横坐标为方程的根（也即函数的零点） ，不x等式的解集为函数图像落在轴上方部分对应的横坐标；不等式230 xx的解集为函数图像落在轴下方部分对应的横坐标230 xx 从特殊到一般 由学生完成下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。 0a 0a 一次函数yaxb的图像一元一次方程的解集0axb |bx xa |bx xa 一元一
5、次不等式的解集0axb |bx xa |bx xa 一元一次不等式的解集0axb |bx xa |bx xa yaxbbayaxbba第 3 页 2.探索研究： 在这里我们发现一元一次方程，一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？ 一元二次不等式的定义：象这样，只含有一个未知数，并且未知250 xx数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式。解方程 250 xx作函数 的图像25yxx解不等式 及250 x
6、x250 xx 我们现在就结合不等式的求解来试试，师生共同作出250 xx25yxx的图像，然后找出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。类似地请一位同学说出的解集。250 xx 探究：二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：,二次函数有两个零点：120,5xx,二次方程的根就是二次函数的零点。120,5xx观察图象，获得解集画出二次函数的图象， ，观察函数图象，可知：25yxx当 ，或时，函数图象位于轴上方，此时，,即；0 x 0 x x0y 250 xx当时，函数图象位于轴下方，此时，,即；05xx0y 250 xx所以，不等式的解集是 250 xx|05xx
7、探究一般的一元二次不等式的解法 下面我们再对一般的一元二次不等式2200,(0)axbxcaxbxca和,为简便起见，我们暂先考虑的情形:0a 一般地，怎样确定一元二次不等式与的解集呢？20axbxc20axbxc我们知道，对于一元二次方程，设，它的解20,(0)axbxca24bac 第 4 页按照可以分为三种情况，相应地，二次函数0,0,0 的图像与轴的位置关系也分为三种情况，因此，我们可2,(0)yaxbxc ax分三种情况来讨论对应的一元二次不等式的解集。设相应20,(0)axbxca的一元二次方程的两根为，200axbxca1212xxxx、且24bac 则不等式的解的各种情况如下表
8、：(让学生独立完成课本第 77 页的表格) 0 0 0 二次函数2yaxbxc（）的图象0a 一元二次方程200axbxca的根有两相异实根1212,()x x xx有两相等实根122bxxa 无实根20(0)axbxca的解集12x xxxx或2bx xa R20(0)axbxca的解集12x xxx 回顾刚才的探究过程，完成书本 P78 的程序框图。利用 FLASH 编写的程序展示一元二次不等式的求解过程。3.典型例题：注意书写步骤：例：解不等式25xx解：原不等式整理为：250 xx第 5 页在对应方程中，有两个不等实根分别为250 xx250 120,5xx作出对应函数的图像可知，25
9、yxx原不等式的解集为：。250 xx05xx针对部分基础较差学生作图能力问题，用 POWERPOINT 展示详细作图过程,并归纳解一元二次不等式的步骤。变式 1：解不等式250 xx解析：法一、变形为的形式250 xx 法二、直接做出的图像观察25yxx 变式 2：求函数的定义域。25yxx解析：即求不等式的解集。250 xx变式 3：求函数的定义域。2lg(5 )yxx解析：即求不等式的解集。250 xx4.实战演习：练习：解下列不等式：222260230410210 xxxxxxxx -4 -答案：| 231|12xxx xx x 请 4 位基础较好的同学当堂演练，借助几何画板作出图像讲
10、解，进一步巩固。5.小结归纳： 今天我们主要学习了解一元二次不等式的方法：利用一元二次方程、一元二次不等式与二次函数图像的关系。第 6 页6.作业布置：教材 P80习题 3.2 A 组 第 1、 2 、4 题课后思考：利用图像解下列不等式： 2log0 x 280 x 2|xx21xx八、教学小结：八、教学小结： 这节课我们学习了一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次函数的图像与一元二次方程及一元二次不等式之间的关系，数形结合得出所求一元二次不等式的解集。九、教学反思：九、教学反思： 课后思考：这种解不等式的方法能进一步推广到其他类型不等式的解法吗？1、用图象法解一元二次不等式在教材中对一
11、元二次不等式的解集的求法是从一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间关系中引出的，是从函数图象上，结合方程的解得出解集的求法的，所以在讲解一元二次不等式的解法是也是从函数图象出发来讲解的；用图象法来解一元二次不等式涉及知识点较多，需联系前面所学的一元二次方程、二次函数的知识，然而有的学生这些知识并未掌握牢固；再者要深刻挖掘它们之间的联系，从中寻求一元二次不等式的解法。这比单纯数形结合要求的水平更高，何况相对一部分学生不理解数形结合法。由于对于这部分学生来讲数与形是割裂的，没能真正和谐统一在一起，这是其认识及理解水平造成的。2、认识方程、函数、不等式三者之间的关系在本节中，难点是对一元二次不等
12、式解法的理解与认识，也就是二次函数与二次方程，二次不等式三者之间的关系。二次函数是研究自变量与之间的对应关系，也就2,(0)yaxbxc ayx是研究自变量 变化过程中函数 的变化过程及变化趋势，显然方程与不等xy式的解集是二次函数自变量变化过程中的某种特殊情况，二次方程的解就是自变量变为何值时，函数值 的这一情况；而二次不等式的解集是自变量变0y 化过程中何时函数值 与 的这一情况，二次方程 的解0y 0y 20axbxc对研究函数变化是十分重要的。由于两根是函数值由正变负或由负变为12xx、正的分界点，也是不等式解区间的端点，正是三者之间的相互联系，我们才知道二次函数与二次方程与二次不等式
13、解集的联系。学习过程中，只有搞清三者第 7 页联系，才能正确认识与理解二次不等式的解法，才能解决由此产生各种变式的问题。学案：一元二次不等式及其解法学案：一元二次不等式及其解法一、学习目标：一、学习目标： 利用一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系解一元二次不等式。二、学习过程：二、学习过程：(I)复习回顾： 1、一元二次方程的解的情况。20,(0)axbxca 2、二次函数的图像的作法。2,(0)yaxbxc a(II)新课学习：1、填写表格：解方程 230 x 作函数 的图像23yx解不等式 及230 x 230 x 函数的图像23yx方程的解集230 x不等式的解集230 x不等式
14、的解集230 x 在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方第 8 页程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？ 总结规律，从特殊到一般，填写表格：0a 0a 一次函数yaxb的图像一元一次方程的解集0axb一元一次不等式的解集0axb一元一次不等式的解集0axb2、一元二次不等式的定义： _3、类比填写下表： 0 0 0 二次函数2yaxbxc（）的简图0a 一元二次方程200axbxca的根 yaxbbayaxbba第 9 页20(0)axbxca的解集 20(0)axbxca的解集 例：解不等式25xx变式：解不等式250 xx练习：解下列不等式： 260 xx2230 xx- 2410 xx 42210 xx -第 10 页(III)学习小结：(IV)课后作业：教材 P80习题 3.2 A 组 第 1、 2 、4 题思考：利用图像解下列不等式：2log0 x 280 x2|xx21xx
