1、教学设计示例教学设计示例 1 1教学目标教学目标：（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；（3）进一步向学生渗透“特殊?一般”再“一般?特殊”的唯物辩证法思想教学重点教学重点：正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理教学难点教学难点：对定理的理解以及定理的证明方法教学活动设计：（一）观察、分析、归纳：观察、分析：1等边三角形的边、角各有什么性质？2正方形的边、角各有什么性质？归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点教师组织学生进行，并可以提问学
2、生问题（二）正多边形的概念：（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形如果一个正多边形有 n(n3)条边，就叫正 n 边形等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形（2）概念理解：请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形（正三角形、正方形、正六边形，.）矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？矩形不是正多边形，因为边不一定相等菱形不是正多边形，因为角不一定相等（三）分析、发现：问题：正多边形与圆有什么关系呢？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得
3、正五边形要将圆六等分呢？（四）多边形和圆的关系的定理定理：把圆分成 n(n3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n边形我们以 n=5 的情况进行证明已知：O 中，=，TP、PQ、QR、RS、ST 分别是经过点 A、B、C、D、E 的O 的切线求证：（1）五边形 ABCDE 是O 的内接正五边形；（2）五边形 PQRST 是O 的外切正五边形证明：（略）引导学生分析、归纳证明思路：弧相等说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：依次连结圆的
4、 n(n3)等分点，所得的多边形是正多迫形；经过圆的 n(n3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形（五）初步应用P157 练习1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么?2求证：正五边形的对角线相等3如图，已知点 A、B、C、D、E 是O 的 5 等分点，画出O 的内接和外切正五边形（六）小结：知识：（1）正多边形的概念（2）n 等分圆周(n3)可得圆的内接正 n 边形和圆的外切正 n 边形能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多
5、边形判断能力（七）作业（七）作业 教材教材 P172P172 习题习题 A A 组组 2 2、3 3教学设计示例教学设计示例 2 2教学目标教学目标：（1）理解正多边形与圆的关系定理；（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；教学重点教学重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理教学难点教学难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解教学活动设计：（一）提出问题：问题：上节课我们问题：上节课我们学习学习了正多
6、边形的定义，并且知道只要了正多边形的定义，并且知道只要 n n 等等分分(n(n3)3)圆周就可以得到的圆的内接正圆周就可以得到的圆的内接正 n n 边形和圆的外切正边形和圆的外切正 n n 边形边形反过反过来，来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？（二）实践与探究：组织学生自己完成以下活动实践：1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？探究 1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？探究 2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的
7、圆心在哪？(正方形对角线的交点)（2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？（三）拓展、推理、归纳：（1）拓展、推理：过正五边形 ABCDE 的顶点 A、B、C、作O 连结 OA、OB、OC、OD同理，点 E 在O 上所以正五边形 ABCDE 有一个外接圆O因为正五边形 ABCDE 的各边是O 中相等的弦，所以弦心距相等因此，以点 O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切可见正五边形 ABCDE还有一个以 O 为圆心的内切圆（2）归纳：正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和
8、半径其他两个顶点到圆心的距离都等于半径正五边形的各顶点共圆正五边形有外接圆圆心到各边的距离相等正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离照此法证明，正六边形、正七边形、正 n 边形都有一个外接圆和内切圆定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角正 n 边形的每个中心角都等于 （3）巩固练习：1、正方形 ABCD 的外接圆圆心 O 叫做正方形
9、ABCD 的_2、正方形 ABCD 的内切圆O 的半径 OE 叫做正方形 ABCD 的_3、若正六边形的边长为 1，那么正六边形的中心角是_度，半径是_，边心距是_，它的每一个内角是_4、正 n 边形的一个外角度数与它的_角的度数相等（四）正多边形的性质：1、各边都相等2、各角都相等观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？3、正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心4、边数相同的正多边形相似它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似
10、比，面积的比等于相似比的平方5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习学习精神精神（五）总结知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质能力：探索、推理、归纳等能力方法：证明点共圆的方法（六）作业 P159 中练习 1、2、3教学设计示例教学设计示例 3 3教学目标
11、教学目标：（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识教学重点教学重点：综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归教学难点教学难点：综合运用知识证题综合运用知识证题教学活动设计：（一）知识回顾1什么叫做正多边形？2什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？3正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)4正 n 边形的每个中心角都等于 5正多边
12、形的有关的定理（二）例题研究：例 1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形已知：如图，在五边形 ABCDE 中，A=B=C=D=E，边 AB、BC、CD、DE、EA 与O 分别相切于 A、B、C、D、E求证：五边形 ABCDE 是正五边形分析：要证五边形 ABCDE 是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可教师引导学生分析，学生动手证明证法 1：连结 OA、OB、OC，五边形 ABCDE 外切于OBAO=OAE，OCB=OCD，OBA=OBC，又BAE=ABC=BCDBAO=OCB又OB=OBABOCBO，AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA五边形 ABCDE 是正五边形
13、证法 2：作O 的半径 OA、OB、OC，则OAAB，OBBC、OCCDB=C1=2=同理=，即切点 A、B、C、D、E是O 的 5 等分点所以五边形 ABCDE 是正五边形反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理 1 来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切 n 边形是正边形”此外，用正多边形与圆的关系定理 1 中“把圆 n 等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接 n 边形是正 n 边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。拓展 1：已知：如图，五边形 ABCDE 内接于O，AB=BC=C
14、D=DE=EA求证：五边形 ABCDE 是正五边形（证明略）分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法拓展 2：已知：如图，同心圆O 分别为五边形 ABCDE 内切圆和外接圆，切点分别为 F、G、H、M、N求证：五边形 ABCDE 是正五边形（证明略）学生独立完成证明过程，对 B、C 层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬例 2、已知：正六边形 ABCDEF求作：正六边形 ABCDEF 的外接圆和内切圆作法：1 过 A、B、C 三点作OO 就是所求作的正六边形的外接圆2、以 O 为圆心，以 O 到 AB 的距离(OH)为半径
15、作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆用同样的方法，我们可以作正 n 边形的外接圆与内切圆练习：P1611、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是，举出一个反例(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形；(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形3、已知：正方形 ABCD求作：正方形 ABCD 的外接圆与内切圆（三）小结知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法能力与方法：重点复习了正多边形的判定正多边形的外接圆与内切圆的画法（四）作业教材 P172 习题 4、5；另 A 层学生：P174B 组 3、4探究活动探究活动折叠问题：（1）想一想：怎样把一个正三角形
16、纸片折叠一个最大的正六边形（提示：对折；再折使 A、B、C 分别与 O 点重合即可）（2）想一想：能否把一个边长为 8 正方形纸片折叠一个边长为 4 的正六边形（提示：可以主要应用把一个直角三等分的原理参考图形如下：对折成小正方形 ABCD；对折小正方形 ABCD 的中线；对折使点 B 在小正方形 ABCD 的中线上（即 B）；则 B、B为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形）探究问题：（安徽省（安徽省 20022002）某）某学习学习小组在探索小组在探索“各内角都相等的圆内接多各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：时，进行如下讨论：甲同学：这
17、种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；乙同学：我发现边数是 6 时，它也不一定是正多边形如图一，ABC 是正三角形,形，=，可以证明六边形 ADBECF 的各内角相等，但它未必是正六边形；丙同学：我能证明，边数是 5 时，它是正多边形我想，边数是 7 时，它可能也 是正多边形(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形 ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证)(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明)（1）说明（2）证明（3）猜想解：（1）由图知AFC 对因为=，而DAF 对的=+=+=所以AFC=DAF同理可证，其余各角都等于AFC所以，图 1 中六边形各内角相（2）因为A 对，B 对，又因为A=B，所以=所以=同理=所以七边形 ABCDEFG 是正七边形猜想：当边数是奇数时(或当边数是 3，5，7，9，时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形
