1、1、教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析重点：重点：点和圆的三种位置关系，圆的有关概念，因为它们是研究圆的基础；点和圆的三种位置关系，圆的有关概念，因为它们是研究圆的基础；五种常见的点的轨迹，一是对几何图形的深刻理解，二为今后立体几何、解析五种常见的点的轨迹，一是对几何图形的深刻理解，二为今后立体几何、解析几何的几何的学习学习作重要的准备作重要的准备. .难点： 圆的集合定义，学生不容易理解为什么必须满足两个条件，内容本身属于难点；点的轨迹，由于学生形象思维较强，抽象思维弱，而这部分知识比较抽象和难懂.2、教法建议本节内容需要 4 课时第一课时：圆的定义和点和圆的位置关系（1）让学生自己
2、画圆，自己给圆下定义，进行交流，归纳、概括，调动学生积极主动的参与教学活动；对于高层次的学生可以直接通过点的集合来研究，给圆下定义（参看教案圆（一）；（2 2）点和圆的位置关系，让学生自己观察、分类、探究，在）点和圆的位置关系，让学生自己观察、分类、探究，在“数数形形”的过程中，的过程中，学习学习新知识新知识. .第二课时：圆的有关概念（1 1）对（）对（A A）层学生放开自学，对（）层学生放开自学，对（B B）层学生在老师引导下自学，要提高学）层学生在老师引导下自学，要提高学生的生的学习学习能力，特别是概念较多而没有很多发挥的内容，老师没必能力，特别是概念较多而没有很多发挥的内容，老师没必要
3、去讲；要去讲；（2）课堂活动要抓住：由“数”想“形”，由“形”思“数”，的主线.第三、四课时：点的轨迹条件较好的学校可以利用电脑动画来加深和帮助学生对点的轨迹的理解，一般条件较好的学校可以利用电脑动画来加深和帮助学生对点的轨迹的理解，一般学校可让学生动手画图，使学生在动手、动脑、观察、思考、理解的过程中，逐学校可让学生动手画图，使学生在动手、动脑、观察、思考、理解的过程中，逐步从形象思维较强向抽象思维过度步从形象思维较强向抽象思维过度. .但我的观点是不管怎样组织教学，都要遵循学但我的观点是不管怎样组织教学，都要遵循学生是生是学习学习的主体这一原则的主体这一原则. .第一课时：圆（一）教学目标
4、教学目标：1、理解圆的描述性定义，了解用集合的观点对圆的定义；2、理解点和圆的位置关系和确定圆的条件；3、培养学生通过动手实践发现问题的能力；4 4、渗透、渗透“观察观察分析分析归纳归纳概括概括”的的数学数学思想方法思想方法. .教学重点教学重点：点和圆的关系点和圆的关系教学难点教学难点：以点的集合定义圆所具备的两个条件：以点的集合定义圆所具备的两个条件教学方法：自主探讨式教学过程教学过程设计设计( (总框架总框架) )：一、一、创设情境，开展创设情境，开展学习学习活动活动1、让学生画圆、描述、交流，得出圆的第一定义：定义 1：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个
5、端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径.记作O，读作“圆 O”.2、让学生观察、思考、交流，并在老师的指导下，得出圆的第二定义.从旧知识中发现新问题观察：共性：这些点到 O 点的距离相等想一想：在平面内还有到 O 点的距离相等的点吗？它们构成什么图形？（1）圆上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径的长 r）；（2）到定点距离等于定长的点都在圆上.定义 2：圆是到定点距离等于定长的点的集合.3、点和圆的位置关系问题三：点和圆的位置关系怎样？（学生自主完成得出结论）如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则：点在圆上d=r；点在圆内dr.“数
6、”“形”二、例题分析，变式练习练习：已知O 的半径为 5cm，A 为线段 OP 的中点，当 OP=6cm 时，点 A 在O_；当 OP=10cm 时，点 A 在O_；当 OP=18cm 时，点 A 在O_.例 1求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.已知（略）求证（略）分析：四边形 ABCD 是矩形要证 A、B、C、D 4 个点在以 O 为圆心的圆上证明： 四边形 ABCD 是矩形 OA=OC，OB=OD；AC=BD OA=OC=OB=OD A、B、C、D 4 个点在以 O 为圆心，OA 为半径的圆上.符号“”的应用（要求学生了解）证明：四边形 ABCD 是矩形OA=OC=O
7、B=ODA、B、C、D 4 个点在以 O 为圆心，OA 为半径的圆上.小结：要证几个点在同一个圆上，可以证明这几个点与一个定点的距离相等.问题拓展研究：我们所研究过的基本图形中（平行四边形，菱形，正方形，等腰梯形）哪些图形的顶点在同一个圆上.（让学生探讨）练习 1求证：菱形各边的中点在同一个圆上.（目的：培养学生的分析问题的能力和逻辑思维能力.A 层自主完成）练习 2设 AB=3cm，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.(1)和点 A 的距离等于 2cm 的点的集合；(2)和点 B 的距离等于 2cm 的点的集合；(3)和点 A，B 的距离都等于 2cm 的点的集合；(4)和点 A，B
8、 的距离都小于 2cm 的点的集合；（A 层自主完成）三、课堂小结问：这节课问：这节课学习学习的主要内容是什么？在的主要内容是什么？在学习学习时应时应注意哪些问题？在学生回答的基础上，强调：注意哪些问题？在学生回答的基础上，强调：(1)(1)主要主要学习学习了圆的两种不同的定义方法与圆的三种位置关系；了圆的两种不同的定义方法与圆的三种位置关系；(2)在用点的集合定义圆时，必须注意应具备两个条件，二者缺一不可；(3)(3)注重对注重对数学数学能力的培养能力的培养四、作业四、作业 8282 页页 2 2、3 3、4.4.第二课时：圆（二）教学目标教学目标1、使学生理解弦、弧、弓形、同心圆、等圆、等
9、孤的概念；初步会运用这些概念判断真假命题。2、逐步培养学生阅读教材、亲自动手实践，总结出新概念的能力；进一步指导学生观察、比较、分析、概括知识的能力。3 3、通过动手、动脑的全过程，调动学生主动、通过动手、动脑的全过程，调动学生主动学习学习的积极性，使的积极性，使学生从积极主动获得知识。学生从积极主动获得知识。教学重点教学重点、难点和疑点、难点和疑点1、重点：理解圆的有关概念2、难点：对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解3、疑点：学生容易把长度相等的两条弧看成是等弧。让学生阅读教材、理解、交流和与教师对话交流中排除疑难。教学过程教学过程设计设计：（一）阅读、理解重点概念：1
10、、弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦2、直径：经过圆心的弦是直径3、圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧简称弧半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧4、弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形5、同心圆：即圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆6、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆7、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧（二）小组交流、师生对话问题：1、一个圆有多少条弦？最长的弦是什么？2、弧分为哪几种？怎样表示？3、弓形与弦有什么区别？在一个圆中一条弦能得到几个弓形？4、在等圆、等弧中，“互相重合”是什么含义？
11、（通过问题，使学生与学生，学生与老师进行交流、（通过问题，使学生与学生，学生与老师进行交流、学习学习，加，加深对概念的理解，排除疑难）深对概念的理解，排除疑难）（三）概念辨析：判断题目：（1）直径是弦（ ）（2）弦是直径（ ）（3）半圆是弧（ ）（4）弧是半圆（ ）（5）长度相等的两段弧是等弧（ ）（6）等弧的长度相等（ ）（7）两个劣弧之和等于半圆（）（8）半径相等的两个半圆是等弧（）（主要理解以下概念：（1）弦与直径；（2）弧与半圆；（3）同心圆、等圆指两个图形；（4）等圆、等弧是互相重合得到，等弧的条件作用）（四）应用、练习例 1、已知：如图，AB、CB 为O 的两条弦，试写出图中的所有
12、弧解：一共有 6 条弧、（目的：让学生会表示弧，并加深理解优弧和劣弧的概念）例 2、已知：如图，在O 中，AB、CD 为直径求证：ADBC（由学生分析，学生写出证明过程，学生纠正存在问题锻炼学生动口、动（由学生分析，学生写出证明过程，学生纠正存在问题锻炼学生动口、动脑、动手实践能力，调动学生主动脑、动手实践能力，调动学生主动学习学习的积极性，使学生从积极主的积极性，使学生从积极主动获得知识）动获得知识）巩固练习：教材 P66练习中 2 题(学生自己完成)（五）小结教师引导学生自己做出总结：1、本节所学似的知识点；2、概念理解：弦与直径；弧与半圆；同心圆、等圆指两个图形；等圆和等弧3、弧的表示方
13、法（六）作业教材 P66练习中 3 题，P82习题 l(3)、(4)第三、四课时圆（三）?点的轨迹教学目标教学目标1、在了解用集合的观点定义圆的基础上，进一步使学生了解轨迹的有关概念以及熟悉五种常用的点的轨迹；2、培养学生从形象思维向抽象思维的过渡；3 3、提高学生、提高学生数学数学来源于实践，反过来又作用于实践的辩证唯物来源于实践，反过来又作用于实践的辩证唯物主义观点的认识。主义观点的认识。重点、难点1、重点：对圆点的轨迹的认识。2、难点：对点的轨迹概念的认识，因为这个概念比较抽象。教学活动设计教学活动设计（在老师与学生的交流对话中完成（在老师与学生的交流对话中完成教学目教学目标标）（一）创
14、设（一）创设学习学习情境情境1、对“圆”的形成观察?理解?引出轨迹的概念（使学生在老师的引导下从感性知识到理性知识）观察：圆是到定点的距离等于定长的的点的集合；（电脑动画）理解：圆上的点具有两个性质：(1)圆上各点到定点(圆心 O)的距离都等于定长(半径的长 r)；(2)到定点距离等于定长的的点都在圆上；（结合下图）引出轨迹的概念：我们把符合某一条件的所有的点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上（轨迹的概念非常抽象，是教学的难点
15、，这里教师要精讲，细讲）上面左图符合（1）但不符合（2）；中图不符合（1）但符合（2）；只有右图（1）（2）都符合因此“到定点距离等于定长的点的轨迹”是圆轨迹 1：“到定点距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆”。（研究圆是轨迹概念的切入口、基础和关键）（二）类比、研究 1（在老师指导下，通过电脑动画，学生归纳、整理、概括、迁移，获得新知识）轨迹 2：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；轨迹 3：到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线；（三）巩固概念练习：画图说明满足下列条件的点的轨迹：(1)到定点 A 的距离等于 3cm 的点的轨迹；(2
16、)到AOC 的两边距离相等的点的轨迹；(3)经过已知点 A、B 的圆 O，圆心 O 的轨迹（A 层学生独立画图，回答满足这个条件的轨迹是什么?归纳出每一个题的点的轨迹属于哪一个基本轨迹；B、C 层学生在老师的指导或带领下完成）（四）类比、研究 2（这是第二次“类比”，目的：使学生的知识和能力螺旋上升这次通过电脑动画，使 A 层学生自己做，进一步提高学生归纳、整理、概括、迁移等能力）轨迹 4：到直线l的距离等于定长 d的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的两条直线；轨迹 5：到两条平行线的距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线（五）巩固训练练习题 1：
17、画图说明满足下面条件的点的轨迹：1到直线l的距离等于 2cm 的点的轨迹；2已知直线 ABCD，到 AB、CD 距离相等的点的轨迹（A 层学生独立画图探索；然后回答出点的轨迹是什么，对 B、C 层学生回答有一定的困难，这时教师要从规律上和方法上指导学生）练习题 2：判断题1、到一条直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于这条直线到这条直线的距离等于定长的直线()2、和点 B 的距离等于 5cm 的点的轨迹，是到点 B 的距离等于 5cm 的圆()3、到两条平行线的距离等于 8cm 的点的轨迹，是和这两条平行线的平行且距离等于 8cm 的一条直线()4、底边为 a 的等腰三角形的顶点轨迹，是底边
18、a 的垂直平分线()(这组练习题的目的，训练学生思维的准确性和语言表达的正确性题目由学生自主完成、交流、反思)(教材的练习题、习题即可，因为这部分知识属于选学内容，而轨迹概念又比较抽象，不要对学生要求太高，了解就行、理解就高要求)（六）理解、小结（1）轨迹的定义两层意思；（2）常见的五种轨迹。（七）作业教材 P82习题 2、6探究活动探究活动爱尔特希问题爱尔特希问题在平面上有四个点，任意三点都可以构成等腰三角形，你能找到这样的四点吗?分析与解：开始自然是尝试、探索，主要应以如何构造出这样的点来考虑最容易想到的是，使一个点到另三个点等距离，换句话说，以一个点为圆心，作一个圆，其他三个点在此圆上寻
19、找，只要使这圆上的三点构成等腰三角形即可，于是得到如图中的上面两种形式.其次，取边长都相等的四边形，即为菱形的四个顶点(见图中第 3 个图).最后，取梯形 ABCD，其中 AB=BC=CD，且 AD=BD=AC，但是这样苛刻条件的梯形存在吗?实际上，只要将任一圆周 5 等分，取其中任意四点即可(见图中的第 4 个图)综上所述，符合题意的四点有且仅有三种构形：任意等腰三角形的三个顶点及其外接圆圆心(即外心)；任意菱形的 4 个顶点；任意正五边形的其中 4 个顶点上述问题是大上述问题是大数学数学家爱尔特希家爱尔特希(P(PErdos)Erdos)提出的：提出的：“在平面内在平面内有有 n n 个点，其中任意三点都能构成等腰三角形个点，其中任意三点都能构成等腰三角形”中中 n n4 4 的情形的情形当 n3、4、5、6 时，爱尔特希问题都有解已经证明，时，问题无解
