1、兴仁市凤凰中学兴仁市凤凰中学 20222022 届高一第二学期期中考试（数学）试题届高一第二学期期中考试（数学）试题满分：满分：150150 分测试时间：分测试时间：120120 分钟分钟第第卷（选择题，共卷（选择题，共 6060 分）分）一一、选择题选择题（本题共本题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的）是符合题目要求的）1.已知实数2a ，8b ，则a，b的等差中项为（）A. 4B.4C.5D. 5【答案】D【解析】【分析】根据a，b的等差中项为2ab，直接计算即可得
2、到答案【详解】实数2a ，8b ，a，b的等差中项为：28522ab故选：D【点睛】本题考查两数的等差中项的求法，考查等差中项的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.在等差数列 na中，若45615aaa，则5a （）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的性质，求得5a的值.【详解】依题意45655315,5aaaaa.故选：A【点睛】本小题主要考查等差数列下标和的性质，属于基础题.3.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin:sin:sin5:12:13ABC ，则三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D.
3、等腰三角形【答案】B【解析】【分析】结合正弦定理和余弦定理，判断出三角形的形状.【详解】根据正弦定理可知: :5:12:13a b c ，所以22251213cos02 5 12C ，由于0C，所以2C，所以三角形ABC是直角三角形.故选：B【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.4.如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量12ABAD 等于A.AE B.ACC.DCD.BC 【答案】A【解析】【分析】利用,AB DC 是相等向量及E为中点可得正确的选项【详解】因为12ABADADDEAE ，故选 A【点睛】本题考查向量的加法及向量的线性运算，属于容易题5.
4、已知向量1,2 ,2,2ab，且ab，则等于（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解【详解】因为(1,2),(2,2)ab，且ab，22(2)0a b，则1故选：D【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题6.已知向量3,1a ，3, 1b ，则a与b的夹角为（）A.6B.3C.23D.56【答案】B【解析】【分析】由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果.【详解】解：由题意得，设a与b的夹角为，3 11cos2 22a ba b ，由于向量夹角范围为：0，3.故选：B.【
5、点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围.7.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 akm，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为()A. a kmB.3a kmC.2akmD. 2akm【答案】B【解析】【分析】先根据题意确定ACB的值，再由余弦定理可直接求得AB的值【详解】在ABC中知ACB120，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos1202a22a2123a2，AB3a.故选:B.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题8.若等差数列 na
6、的前n项和为nS，且235aa，则4S的值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式可求得4S的值.【详解】由等差数列的基本性质得14235aaaa，因此，14444 51022aaS.故选：B.【点睛】本题考查等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.9.已知等比数列 na中，427a ，公比3q ，则1a （）A. 1B.1C. 3D.3【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式可得结果【详解】由数列 na是等比数列，所以11nnaa q则34127aa q，又3q ，所以11a 故选：B【点睛】本题考查等比数列的通项公式，属基础题.10.
7、在等比数列 na中，4a，12a是方程2310 xx 的两根，则8a等于（）A. 1B. -1C.D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】由韦达定理得412a a，再由等比数列性质可求得8a。【详解】 4a，12a是方程2310 xx 的两根， 4123aa ，4121a a， 4120,0aa，又na是等比数列，284121aa a，而等比数列na中所有偶数项同号，81a 。故选：B。【点睛】本题考查等比数列的性质，考查韦达定理，掌握等比数列性质是解题基础。11.已知向量(1, 2),2( 3,1)aab ，则b （）A.5 2B. 5C.2 5D. 2【答案】A【解析】【分析】根据平面向量
8、线性运算的坐标表示公式， 通过解方程组求出向量b的坐标， 再根据平面向量模的坐标表示公式进行求解即可.【详解】 设( , )bx yr， 所以2(2, 4)abxy 因为2( 3,1)ab ， 所以23,41.xy 解得5,5.xy 所以( 5,5)b ，所以22|( 5)55 2b 故选：A【点睛】本题考查向量的坐标运算和模，考查运算求解能力以及方程思想12.已知ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，若 A3，b2acos B，c1，则ABC 的面积等于()A.32B.34C.36D.38【答案】B【解析】试题分析：根据正弦定理sinsinabAB由2 cosbaB可得si
9、n2sincosBAB,sintan2sin2sin3cos3BBAB,在ABC中3B,3CAB,ABC为边长为 1 的正三角形,131 1 sin6024ABCS .故 B 正确.考点：正弦定理.【思路点睛】本题主要考查正弦定理,属容易题.三角形问题中强调边角统一,边角互化可以用正弦定理和余弦定理.本题中应根据正弦定理将已知条件转化为角的三角函数之间的关系式,即可轻松求得所求.第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 9090 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.
10、.13.在ABC中，6a ，30B，120C，则ABC的面积是_.【答案】9 3【解析】【分析】计算30A，等腰三角形计算面积，作底边上的高，计算得到答案.【详解】30B，120C30A过 C 作CDAB于 D，则3,6 3CDAB13 6 39 32ABCS 故答案为9 3【点睛】本题考查了三角形面积计算，属于简单题.14.在等比数列an中，已知a2a4a6=8，则a3a5=_【答案】4【解析】【分析】由等比数列的性质即可得a2a4a6=（a4）3=8，即a4=2，即可求解a3a5【详解】根据题意，在等比数列an中，已知a2a4a6=8，则（a4）3=8，则a4=2，则a3a5=（a4）2=
11、4；故答案为 4【点睛】本题考查等比数列的下标性质，属于基础题15.在ABC 中，若 a2b2c2bc，则 A_.【答案】120【解析】【分析】用余弦定理求出cos A后可得A【详解】222abcbc，2221cos22bcaAbc ，120A 【点睛】已知条件是三边的关系式，而问题求角，根据等式的形式可考虑用余弦定理求角16.已知数列 na的通项公式为12nann，则数列 na的前n项和nS _.【答案】121 122nn 【解析】【分析】化简12nann，可得22nnna，然后使用裂项相消法法求和，可得结果.【详解】由题可知：12nann则22nnna所以12nnSaaa则13142532
12、2nnnS 所以121 122nnSn 故答案为：121 122nn 【点睛】本题考查裂项相消法求和，考验观察能力，熟练掌握常用的求和方法：裂项相消法，错位相减，公式法，属基础题.三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 6 小题，第小题，第 1717 小题满分小题满分 1010 分，第分，第 1818 至至 2222 小题每题满分小题每题满分 1212 分，共分，共 7 70 0分分. .解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. .17.已知,1axr，4, 2b （1）当/ /ab时，求x的值；（2）当abrr时，求2ab.【答案】 （1）
13、2（2）5【解析】【分析】（1）根据共线向量的坐标公式，即可求解；（2）由已知求出x，求出2ab的坐标，根据模长公式，即可求解.【详解】解： （1）由/ /ab，得142x解得2x （2）当ab时，有420 x，解得12x 23,4ab ，222345ab【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及到共线向量、垂直、模长运算，属于基础题.18.等比数列 na中，15314aaa，（1）求 na的通项公式；（2）记nS为 na的前n项和若63mS ，求m【答案】 （1）12nna 或12nna.（2）6m .【解析】分析： （1）列出方程，解出 q 可得； （2）求出前 n 项和，解方程可得 m详解：
14、（1）设na的公比为q，由题设得1nnaq由已知得424qq，解得0q （舍去） ，2q 或2q 故12nna 或12nna（2）若12nna ，则123nnS 由63mS 得2188m ，此方程没有正整数解若12nna，则21nnS 由63mS 得264m，解得6m 综上，6m 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式，属于基础题19.在平面四边形ABCD中，已知34ABC，ABAD，1AB （1）若5AC ，求ABC的面积；（2）若2 5sin5CAD，4AD，求CD的长【答案】 （1）12； （2）13.【解析】【分析】（1）在ABC中，由余弦定理，求得2BC ,进而利用三
15、角形的面积公式，即可求解；（2） 利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式， 求解10sinBCA10， 再在ABC中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解.【详解】 （1）在ABC中，222ACABBC2AB BC COSABC即251 BC2 BC 2BC2BC40,解得BC2.所以ABC1121SAB BC sinABC122222 .（2）因为02 5BAD90 ,sinCAD5,所以2 5cosBAC5，5sinBAC5,sinBCAsinBAC4所以2cosBACsinBAC222 551025510.在ABC中，ACABsinABCsinBCA,AB sinABCAC5sinBCA.
16、222CDACAD2AC AD cosCAD所以55 16254135 所以CD13.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.20.ABC内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知3sinsin2aCcA .（1）求A；（2）若7a ，2 3b ，求ABC的面积.【答案】 （1）6； （2）5 32.【解析】【分析
17、】（1）应用正弦的二倍角公式结合正弦定理可得cos A，从而得A（2）用余弦定理求得c，再由三角形面积公式可得三角形面积【详解】 （1）因为3sinsin2aCcA ，由正弦定理3sinsinsinsin2ACCA，因为sin22sincosAAA，sinsin0AC ，所以3cos2A .因为0A，所以6A.（2）因为7a ，2 3b ，6A，由余弦定理2222cosabcbcA得2650cc，解得1c 或5c ，均适合题.当1c 时，ABC的面积为13sin22SbcA.当5c 时，ABC的面积为15 3sin22SbcA.【点睛】本题考查二倍角公式，正弦定理，余弦定理，考查三角形面积公式
18、三角形中可用公式很多，关键是确定先用哪个公式，再用哪个公式，象本题第（2）小题选用余弦定理求出c，然后可直接求出三角形面积，解法简捷21.设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，2 sinabA.(1)求B的大小(2)若3 3a ，5c ，求b.【答案】(1)6B(2)7b 【解析】【分析】（1）根据正弦定理sinsinabAB可解得角 B； （2）由余弦定理，将已知代入，可得 b【详解】解： （1）由2 sinabA，得sin2sinsinABA，又因 B 为锐角，解得6B(2)由题得22232cos27252 3 35524572bacacB ，解得7b 【点睛】本题考查
19、正，余弦定理解三角形，属于基础题22.已知数列 na为等差数列，公差0d ，且1427a a ，424S .（1）求数列 na的通项公式；（2）令11nnnbaa，求数列 nb的前n项和nT.【答案】 （1）21nan； （2）69nn【解析】【分析】（1）利用题目所给两个已知条件求出首项和公差，由此求得数列的通项公式.（2）由（1）求得nb的表达式，再利用裂项求和法求得数列的前n项和.【详解】 （1）由题意可知，1444242aaS，1412aa.又1427a a ，0d ，13a，49a ，2d ，21nan.故数列 na的通项公式为21nan.（2）由（1）可知，1112123nnnba ann1112 2123nn，1 1111111 112 355721232 32369nnTnnnn.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求解，考查裂项求和法求数列的前n项和.求等差数列通项公式的题目，往往会给两个条件，将两个条件解方程组，可求得1,a d，由此可求得等差数列的通项公式.如果数列是两个等差数列乘积的倒数的形式，那么可以利用裂项求和法求得前n项和.
