1、数学试卷数学试卷考试时间：考试时间：4 4 月月 2525 日日上午上午 8 8：00-1000-10：0000一、选择题一、选择题( (本题包括本题包括 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分).).1.在等差数列 na中，若34567750aaaaa，则28aa（）A. 360B. 300C. 240D. 200【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的下标和性质计算可得；【详解】解：因为34567750aaaaa，37465282aaaaaaa所以28300aa故选：B【点睛】本题考查等差数列的下标和性质的应用，属于基础题.2.若, ,a b cR且ab，
2、则下列不等式成立的是()A.22abB.11abC.|a cb cD.2211abcc【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质对四个选项逐一判断.【详解】选项 A:0,1ab ，符合ab，但不等式22ab不成立，故本选项是错误的；选项 B:当0,1ab 符合已知条件，但零没有倒数，故11ab不成立 ，故本选项是错误的；选项 C:当0c =时，a cb c不成立，故本选项是错误的；选项 D:因为210c ，所以根据不等式的性质，由ab能推出2211abcc，故本选项是正确的，因此本题选 D.【点睛】本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法.3.ABC中，若2 c
3、oscaB，则ABC的形状为（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形【答案】B【解析】【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状【详解】因为 sinC=2sinAcosB，所以 sin（A+B）=2sinAcosB，所以 sinAcosB-sinBcosA=0，即 sin（A-B）=0，因为 A，B，C 是三角形内角，所以 A=B三角形的等腰三角形故答案为 B4.三角形ABC所在平面内一点P满足PA PBPB PCPC PA ，那么点P是三角形ABC的（）A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心【答案】B【解析】
4、【分析】先化简得0,0,0PA CBPB CAPC AB ，即得点P为三角形ABC的垂心.【详解】由于三角形ABC所在平面内一点P满足PA PBPB PCPC PA ，则0,0,0PAPBPCPBPAPCPCPBPA 即有0,0,0PA CBPB CAPC AB ，即有,PACB PBCA PCAB ，则点P为三角形ABC的垂心.故选：B.【点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.若关于x的不等式230axbx的解集为11,2，其中a，b为常数，则不等式230 xbxa的解集是A.2,1B.( 1,2)C.1,12D.11,2【答案】B【解析】
5、【分析】首先由解集为11,2计算出, a b的值，然后再求一元二次不等式230 xbxa的解集.【详解】因为230axbx的解集为11,2，所以30113042abab，解得63ab ，所以23360 xx，所以210 xx，解得1,2x ，故选 B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，难度较易.若一元二次不等式200axbxca的解集为12,x x，则一元二次方程200axbxca的两个根为12,x x.6.若锐角, 满足13tan13tan4，则的值为（）A.6B.56C.3D.23【答案】C【解析】【分析】化简得到tantan3tantan3，故tan3，得到答案.【详解】13tan1
6、3tan4，故13tan3tan3tantan4.故tantan3tantan3，故tantantan31tantan.锐角, ，0,，故3.故选：C.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.7.在ABC中，已知的三边a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB等于（）A.23B.12C.24D.34【答案】D【解析】【分析】由 三 边a、b、c成 等 比 数 列 ， 且2ca， 得2ba， 然 后 直 接 套 入 余 弦 定 理222cos2acbBac，即可得到本题答案.【详解】因为三边a、b、c成等比数列，所以2bac，又2ca，则2ba，所以222222423
7、cos2224acbaaaBacaa.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列与余弦定理的综合应用，考查学生的运算求解能力.8.在ABC中，已知面积2224Sabc，则角C的度数为（）A.135B.45C.60D.120【答案】B【解析】【分析】由面积公式和余弦定理化简条件可得tan1C ，从而得解.【详解】由2224Sabc，得14sin2cos2abCabC，解得tan1C ，又角C为ABC的内角，所以45C .故选 B.【点睛】本题主要考查了余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题.9.在矩形ABCD中，3,3,2ABBCBEEC，点F在边CD上，若ABAF3 ，则AEBF 的值为（）A.
8、0B.8 33C. -4D. 4【答案】C【解析】【分析】先建立平面直角坐标系，求出 B,E,F 坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.【详解】如图所示，ABAF22 32,3cos1133BEECBEBCAFDF 以A为原点建立平面直角坐标系，AD为x轴，AB为y轴，则2 30,3 ,3,1 ,33BFE，因此BFAEBF2 33, 2 ,32 32643 ，故选 C.【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cosa ba b；二是坐标公式1212a bx xy y；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量
9、积的运算律或相关公式进行化简.10.已知正数x、y满足1xy，则141xy的最小值为（）A.72B. 4C.92D.5【答案】C【解析】【分析】由1xy得(1)2xy，再将代数式(1)xy与141xy相乘，利用基本不等式可求出141xy的最小值【详解】解：1xy，所以，(1)2xy，则141441412()(1)()5 2591111xyxyxyxyxyyxyx，所以14912xy，当且仅当4111xyyxxy，即当2313xy时，等号成立，因此，141xy的最小值为92，故选：C【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中档题11.已知数列 na满足1
10、18a ，12nnaan，则nan的最小值为（）A.294B.6 21C.152D.385【答案】C【解析】【分析】由累加法，可得218nann，然后借助函数的单调性，即可确定nan的最小值.【详解】由题，得 11112211nnnnnnnaaaaaaaaaa22(1)2(2)2 1 18nnn (1)2182nn218nn，所以218nann，218181nannnnnn，因为双勾函数18( )f xxx在(0,3 2)递减，在(3 2,)递增，且541538,4255aa，所以nan的最小值为152.故选：C【点睛】本题主要考查利用累加法求通项公式以及借助函数的单调性确定数列的最小项，考查
11、学生的分析问题与解决问题的能力.12.已知正项数列 na单调递增，则使得不等式211ia x对任意(1,2,3, )ia ik都成立的x的取值范围是（）A.110,aB.120,aC.10,kaD.20,ka【答案】D【解析】【分析】解不等式可得20ixa；根据 na单调递增可知2na单调递减，则要保证恒成立只需22kiaa，从而解得结果.【详解】由211ia x可得：1 11ia x ，即20ia x 0na 20ixa na单调递增2na单调递减对任意1,2,3,ik，有22kiaax的取值范围为：20,ka本题正确选项：D【点睛】本题考查数列性质的应用，关键是能够通过解不等式得到恒成立的
12、条件，再结合数列的单调性得到结果.二、填空题二、填空题( (本题包括本题包括 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分) )13.已知向量23,6akr，2,1b r，且ab，则实数k _【答案】0【解析】【分析】利用向量垂直的性质直接求解【详解】解：向量23,6akr，2,1b r，且ab，2231 60a bk ，解得0k 故答案为：0【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用14.已知0 x ，0y ，且211xy，若222xymm恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】 （-4，2）【解析】试题分析：因为214
13、42(2 )()4+428yxyxxyxyxyxyxy当且仅当2xy时取等号，所以22842mmm 考点：基本不等式求最值15.已知函数f(x)Acos(x)(A0，0，0)为奇函数，该函数的部分图象如图所示， EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形， 则=_，f(12)_.【答案】(1).2(2).62【解析】【分析】根据奇函数得到2，根据22T，得到2，3A ，故 sin23f xx ，代入计算得到答案.【 详 解 】 cos()xf xA， 函 数 为 奇 函 数 且0， 故2， 故 sinf xAx .EFG是边长为 2 的等边三角形，故22T，故4T ，24，故2.3A
14、，故 sin23f xx ，163sin242f .故答案为：2；62.【点睛】本题考查了三角函数图像，求解析式，意在考查学生的识图能力和计算能力.16.正整数数列 na满足11,231,nnnnna aaaa是偶数是奇数，已知64a ， na的前 6 项和的最大值为S，把1a的所有可能取值从小到大排成一个新数列 nb， nb所有项和为T，则ST_.【答案】62【解析】【分析】根据分段数列和64a ,倒过来依次分析 na的前 5 项,即可求出S和T,从而求出答案.【详解】正整数数列 na满足11,231,nnnnna aaaa是偶数是奇数,且64a ,所以54a 或 1,再依次分析4321,a
15、 a a a,则可得 na的前 6 项分别为:128,64,32,16,8,4;或 21,64,32,16,8,4;或 20,10,5,16,8,4;或 3,10,5,16,8,4;或 16,8,4,2,1,4;或 2,1,4,2,1,4;因此1286432 1684252S ,23 162021 128190T ,62ST,故答案为:62【点睛】本题考查分段数列的运用,考查学生的计算推理能力,有一定难度.三三、 解答题解答题 （本大题共本大题共 6 6 小题小题， 共共 7070 分分， 解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. .）17.已
16、知数列 na满足：313a ，141,nnaannN.（1）求1a，2a及通项na；（2）设nS是数列 na的前n项和，则数列1S，2S，3S，中哪一项最小？并求出这个最小值.【答案】 （1）121a ，217a ，425nan； （2）6S最小，为66【解析】【分析】（1）直接计算得到12,a a，判断数列为等差数列，计算得到答案.（2）610a ，730a ，故6S最小，根据公式计算得到答案.【详解】 （1）14nnaa，当3n 时，324aa，217a ，214aa，121a .14nnaa，故数列为首项是21，公差为4的等差数列，故425nan.（2）425nan，故610a ，730
17、a ，故6S最小，66 56214662S .【点睛】本题考查了等差数列通项公式，和的最值，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.18.已知关于x的不等式012axax.（1）当2a 时，解关于x的不等式；（2）当aR时，解关于x的不等式.【答案】 （1）1|12xx； （2）详见解析【解析】【分析】（ 1 ） 将 不 等 式 化 为2110 xx即 可 求 得 结 果 ；（ 2 ） 将 不 等 式 化 为110 xaxa； 当0a 时 直 接 求 得1x ； 当0a 时 ， 不 等 式 变 为1110 xxa ，计算110 xaxa的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集；当0a 时，不等式
18、变为1110 xxa ，根据方程110 xaxa两根大小关系即可得到解集.【详解】 （1）当2a 时，不等式2210 xx 可化为：2110 xx不等式的解集为1|12xx（2）不等式012axax可化为：110 xaxa，（i）当0a 时，10 x ，解得：1x 不等式解集为1x x （ii）当0a 时，1110 xxa ，1110 xxa 的根为：11x ，211xa当102a时，111a不等式解集为1|11xxa当12a 时，111a，不等式解集为当12a 时，111a不等式解集为1|11xxa （iii）当0a 时：1110 xxa 此时1101a 不等式解集为1|1x xa或1x 【
19、点睛】本题考查不含参数和含参数的一元二次不等式的求解问题；关键是能够根据一元二次不等式和二次函数、一元二次方程之间的关系，分别在参数不同范围的情况下讨论一元二次方程根的大小，从而得到解集；易错点是忽略了二次项系数为零的情况，导致情况不完整.19.已知函数 22 3sin cos2cos1f xxxx.（1）求函数 fx的单调递增区间；（2）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若满足 2f B ，8a ，5c ，求cos A.【答案】 （1）,63kkkZ； （2）17【解析】【分析】（1）化简得到 2sin 26fxx，取222,262kxkkZ，解得答案.（2） 2si2n 2
20、6f BB，解得3B，根据余弦定理得到7b ，再用一次余弦定理解得答案.【详解】 （1） 22 3sincos2cos13sin2cos22sin 26fxxxxxxx .取222,262kxkkZ，解得,63xkkkZ .（2） 2si2n 26f BB,因为110,2,666BB ， 故262B，3B.根据余弦定理：2222cos49bacacB，7b .2222225781cos22 5 77bcaAbc .【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.20.合肥一中、六中为了加强交流，增进友谊，两校准备举行一场足球赛，由合肥一中版画社
21、的同学设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为24000cm，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白.（1）如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小?（2）设画面的高与宽的比为t，且29510t ，求t为何值时，宣传画所用纸张面积最小?【答案】 （1）画面的高80cm，宽50cm时所用纸张面积最小； （2）910t .【解析】【分析】（ 1 ） 设 画 面 高 为xcm， 宽 为4000cmx， 纸 张 面 积 为S， 可 得 到4000640016104160 10Sxxxx，利用基本不等式可求得最小值，同时确定当6400 xx时取最小值， 从而得到结果； （2） 画面高
22、为xcm， 宽为4000cmx， 则24000 xt ，根据t的范围可知40,60 x，根据（1）中的S表达式，结合对号函数图象可知60 x 时取最小值，从而得到结果.【详解】 （1）设画面高为xcm，宽为4000cmx，纸张面积为S则40006400640016104160 104160 10 25760Sxxxxxx当且仅当6400 xx，即80 x 时取等号即画面的高为80cm，宽为50cm时所用纸张面积最小，最小值为：25760cm.（2）设画面高为xcm，宽为4000cmx，则24000 xt 20 10 xt ，又29510t 40,60 x 由（1）知：64004160 10Sx
23、x由对号函数性质可知： S x在40,60上单调递减60 x，即910t 时，所用纸张面积最小【点睛】本题考查建立合适的函数模型解决实际问题，重点考查利用基本不等式、对号函数单调性求解函数最值的问题；关键是能够建立起合适的函数模型，易错点是忽略了自变量的取值范围，造成最值求解错误.21.已知向量(sin3cos ,1)mxx，2(2sin ,4cos)nxx，函数( )f xm n（1）当0,2x时，求( )f x的值域；（2）若对任意0,2x，2( )(2) ( )20fxaf xa，求实数a的取值范围【答案】 （1）1,4（2）(,2【解析】【分析】（1）根据向量数量积，得到函数 f x表
24、达式，利用倍角公式、降幂公式，化简得 2cos 233fxx，根据自变量 x 的范围，求 f x的值域（2）利用换元法，令 tf x，转化成关于 t 的一元二次不等式通过分离参数，结合基本不等式，求参数的取值范围【详解】 （1） 222sin2 3sin cos4cosf xxxxx222cos2 3sin cosxxx3cos23sin2xx2cos 233x当0,2x时，42,333x，1cos 21,32x ，所以 f x的值域为1,4（2）令 tf x，0,2x，由（1）得1,4t，问题等价于2220tata，1,4t恒成立，当1t 时，aR；当1t 时，111att，1,4t恒成立，
25、因为1,4t，11121211tttt，当且仅当2t 时，等号成立，所以111tt的最小值为 2，故2a ，综上，实数a的取值范围为,2【点睛】本题考查了利用降幂公式、倍角公式对三角函数式化简、求值，利用换元法、基本不等式等、分离参数法等解不等式，综合性强，属于中档题22.已知数列 na满足111,1nnaa aa 我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a1 时，得到无穷数列：1，2， ，；当a12时，得到有穷数列：12，1，0.（1）求当a为何值时40a ；（2）设数列 nb满足1111,1nnbbnNb ，求证a取数列 nb中的任一个数，都可以得到一个有穷数列 na；（3）若324
26、2nan，求a的取值范围.【答案】 （1）23； （2）见解析； （3）0a 【解析】【分析】（1）根据数列递推公式直接计算得到答案.（2） 变换得到111nnbb， 计算2111111nnabab ， 故11nab ， 得到10na，得到证明.（3）根据题意计算得到4322a，即3322221aa，解得答案.【详解】 （1）40a ，故43110aa ，31a ，32111aa ，212a ，211112aa ，故123aa .（2）111nnbb，故111nnbb，设1naab，则2111111nnabab .32211111nnabab ，故11nab ，10na，故只能得到有穷数列 na.（3）3242nan，故1131122322nnnaaa ，5n ，解得1322na.故4322a，111,1nnaa aa ，故43221aaa，即3322221aa，解得0a .【点睛】本题考查了根据数列通项公式求项，证明数列是有穷数列，根据数列范围求参数，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
