1、江苏省昆山江苏省昆山 2019201920202020 学年高一第二学期期中调研试卷学年高一第二学期期中调研试卷数学试题数学试题一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 4040 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.直线310 xy 的倾斜角为（）A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】C【解析】【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率k，再由tank =求解倾斜角.【详解】直线
2、310 xy 的斜率=3ktan3,0 ,180 )ook ，120.故选：C【点睛】本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题.2.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，45A，120B ，6a ，则b （）A.2 6B.3 2C.3 3D.3 6【答案】D【解析】【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解【详解】45A ，120B ，6a ，由正弦定理sinsinabAB，可得：sin6 sin1203 6sinsin45aBbA故选D【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题3.在平面直角坐标系xOy中，矩形
3、OABC的顶点坐标分别为0,0 ,4,0 ,4,(2)(),0,2OABC，则矩形OABC的外接圆方程是（）A.22420 xyxyB.22420 xyxyC.22840 xyxyD.22840 xyxy【答案】B【解析】【分析】根据矩形的中心是其外接圆的圆心，矩形的对角线是其外接圆的直径，求出圆心坐标和半径，得到圆的标准方程，再化为圆的一般方程即可得到答案.【详解】矩形OABC的中心为( 2,1)，对角线长为22422 5，所以矩形OABC的外接圆的圆心为( 2,1)，半径为5，所以矩形OABC的外接圆方程是22(2)(1)5xy，即22420 xyxy.故选：B【点睛】本题考查了根据圆心坐
4、标和半径求圆的标准方程，属于基础题.4.古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 2016 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 270 粒内夹谷 30 粒，则这批米内夹谷约为（）A. 222 石B. 224 石C. 230 石D. 232 石【答案】B【解析】【分析】根据 270 粒内夹谷 30 粒，可得 2016 石的夹谷约为302016270石，即可得到答案【详解】由题意可知，2016 石的夹谷约为302016224270石故选：B【点睛】本题主要考查了简单随机抽样，用样本估计总体，属于容易题5.已知直线1:210laxy ， 直线2:820lxaya， 若12ll
5、/， 则实数a的值为 （）A.4B. 4C.4D. 0【答案】A【解析】【分析】解不等式8 20,aa 得4a ，检验舍去4a 得解.【详解】因为12ll/，所以8 20,4aaa .当4a 时，1:4210lxy ，2:4210lxy ，两直线重合，所以舍去；当4a 时，满足题意.故选：A【点睛】本题主要考查两直线平行的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6.已知()2,3 ,6,2MN，点P在x轴上，且使得PMPN取最小值，则点P的坐标为（）A.( 2,0)B.12,05C.14,05D.6,0【答案】C【解析】【分析】作图，找到M关于x轴对称点是2, 3M，连结MN，求
6、出MN 的方程，则MN与x轴交于P点，此时，PMPN取最小值，且PMPNM N，此时根据直线方程求出P点即可【详解】如图，M关于x轴对称点是2, 3M，M和N在x轴两侧， 则当MN成一直线， 此时，MN与x轴交于P点，有PMPN取最小值，此时，PMPNM N，而直线MN的方程为263226yx ，化简得，58140 xy，则直线MN交x轴于P点，所以，P点坐标为14,05答案选：C【点睛】本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题7.如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线AC匀速飞行在A处观测地面目标A，测得俯角30BAP经 2 分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角60ABP又经过一段时间飞行后在
7、C处观察地面目标P，测得俯角BCP且4 1919cos，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（）A.1.25 分钟B. 1.5 分钟C. 1.75 分钟D. 2 分钟【答案】B【解析】【分析】结合图形，直接利用解三角形知识的应用和三角函数的关系式的恒等变换，列出方程，即可求解.【详解】设飞机的飞行速度为V，所以根据飞机的飞行图形，测得俯角30BAP，经过 2 分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角为60ABP，所以ABP为直角三角形，过点P作PDAC于点D，则2 ,3 ,ABV APV BPV，解得32VDP ，设CBxV，因为4 1919cos，可得257sin1 cos19，所以3tan4，
8、在直角PCD中，3321a4n2tVVxV，解得1.5x ，即该侦察飞机由B至C的飞行时间为1.5分钟.故选：B.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中结合图形，合理利用解三角形的知识和三角函数的基本关系式求解是解答的关键，着重考查数形结合数学，以及运算、求解能力.8.已知圆C的方程为：222(1)(2)(0)xyr r，若直线210 xy 上存在一点P，使得在圆C上总存在不同的两点,M N，使得2MNNP ，则圆C的半径r的取值范围是（）A.50,5B.2 50,5C.5,5D.2 5,5【答案】D【解析】【分析】设P的坐标，可得M的坐标，代入圆的方程，可得以1,2为圆心，
9、r为半径的圆与以2 +1 22,33mn为圆心，3r为半径的圆有公共点，由此求得C的半径r的取值范围【详解】直线的方程为210 xy ，设,P m n，( , )N x y( ,)M x y,MNxx yy ，,NPmx ny 又2MNNP ,2,xx yymx ny可得2222xxmxyyny，即3232xxmyyn32 ,32Mxmyn又M，N都在半径为r的圆C上，222222(1)(2)(321)(322)xyrxmynr即：222222(1)(2)2122339xyrmnrxy该关于x，y的方程组有解，即以1,2为圆心，r为半径的圆与以2 +1 22,33mn为圆心，3r为半径的圆相交
10、或相切，可得：22222122123333rmnrrr即：22224212216129339mnrr 由点,P m n在210 xy 21nm 将代入整理可得：222244846916rmmmmr2224521316rmmr2221145131655rmr故：222164451655rmr要保证直线210 xy 上存在一点P，使得在圆C上总存在不同的两点,M N，使得2MNNP 需264165r，解得：2 55r 故圆C的半径r的取值范围为2 5,5故选：D.【点睛】本题解题关键是掌握的向量线性坐标表示和两圆相交几何特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、多项选择题（本大题共二、多项选
11、择题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 2020 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,P P P P，则下列结论中正确的是（）A.1234PPPPB.312PPC.12341PPPPD.423PP【答案】CD【解析】【分析】利用n次的独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式， 分别求得1234,P P P P的值
12、，即可求解.【详解】由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、 “三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,P P P P，根据独立重复试验的概率计算公式，可得：3322121233431111113113( ),( ),( ) (1),(1)2828228228PPPCPC，由1234PPPP，故A是错误的；由313PP，故B是错误的；由12341PPPP，故C是正确的；由423PP，故D是正确的.故选：CD【点睛】 本题主要考查概率的计算及其应用， 其中解答中熟练应用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能
13、力.10.在同一直角坐标系中，直线0axya与圆222()xaya的位置可能是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径比较大小即可得到结果【详解】解：圆222()xaya的圆心为(,0)a，半径为a则圆心(,0)a到直线0axya的距离为221aada不妨令221aaaa，可得2111aa，即22121aaa ，当0a 时，恒成立，可知 A 正确，B 不正确；当0a 时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以 C 不正确，D正确，故选：AD【点睛】此是考查直线与圆的位置关系的判断，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，属于中档题.11
14、.对于ABC，有如下判断，其中正确的是（）A. 若sin2sin2AB，则ABC必为等腰三角形B. 若AB，则sinsinABC. 若5,3,60abB，则符合条件的ABC有两个D. 若222coscoscos1ABC，则ABC必为钝角三角形【答案】BD【解析】【分析】根据正弦函数性质，正弦定理，余弦定理对每个命题进行判断【详解】 ,A B是三角形内角， 由sin2sin2AB得22AB或22180AB， 即AB或90AB，三角形为等腰三角形或者直角三角形，A 错；ABab，又由sinsinabAB得sinsinAB，B 正确；若5,3,60abB，则sin5sin605 3sin136aBA
15、b，无解，C 错；若222coscoscos1ABC，则2221 sin1 sin(1 sin)1ABC ，即222sinsinsin0ABC，由正弦定理得2220abc，222cos02abcCab，C为钝角，D 正确故选：BD【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查正弦定理、余弦定理解三角形掌握正弦定理和余弦定理是解三角形的关键应用正弦定理解三角形时注意三角形解的情况，可能 1 解也可能 2解，还可能无解12.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的方程是|1(0)xaybabab，则下列结论正确的是（）A. 曲线C关于( , )a b对称B.22xy的最小值为2222a babC. 曲线C的周
16、长为2()abD. 曲线C围成的图形面积为2ab【答案】ABD【解析】【分析】确定方程表示的曲线，根据对称性判断 A，利用22xy的几何意义判断 B，计算曲线的周长与所围图形面积判断 C，D【 详 解 】 设00(,)xy是 曲 线 上 的 任 一 点 ， 则00|1xaybab， 所 以00(2)(2)1axabybab，所以点00(2,2)axby也在曲线上，而点00(,)xy与00(2,2)axby是关于( , )a b对称的，由00(,)xy的任意性知 A 正确，如,xa yb时方程|1xaybab化为1axbyab，即1xyab，其中0,0 xayb，表示一条线段，同理当2 ,0ax
17、ayb时，方程为1xyab，当0,2xa byb时，方程为1xyab，当2 ,2axa byb时，方程为3xyab所以方程|1(0)xaybabab表示的曲线是以( ,0),(0, ),( ,2 ),(2 , )A aBb C ab Da b为顶点的菱形M，如图，22xy表示菱形M上点到原点距离的平方，原点到AB的距离为为OAB斜边AB上的高22abhab，所以22xy的最小值为2222a bab，B 正确；菱形M的周长为224 ab，C 错误；菱形M的面积为12222abab，D 正确故选：ABD【点睛】本题考查曲线的对称性，考查用方程研究曲线的性质，考查方程的曲线，解题关键是确定方程表示的
18、曲线，注意掌握绝对值的定义，按绝对值分类讨论即可三三、填空题填空题（本大题共本大题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共计共计 2020 分分其中第其中第 1616 题共有题共有 2 2 空空，第一个空第一个空 2 2分，第二个空分，第二个空 3 3 分；其余题均为一空，每空分；其余题均为一空，每空 5 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上）13.随机抽取圆柱形零件样本 5 件， 测量其直径依次为 5.1， 4.9， 5.2， 4.7， 5.1 （单位：mm） ，则数据 5.1，4.9，5.2，4.7，5.1 的方差为_【答案】0.032【解析】
19、【分析】先计算出平均值，然后根据方差公式计算【详解】由已知均值为5.14.95.24.75.155x，所以方差为2222220.1( 0.1)0.2( 0.3)0.10.0325s 故答案为：0.032【点睛】本题考查方差的计算，属于基础题14.在ABC中，已知7a ，3c ，60A，则b _【答案】1或 2【解析】【分析】直接根据余弦定理2222cosabcbcA可解得结果.【详解】由余弦定理得2222cosabcbcA，即217962bb，所以2320bb，解得1b 或2b .故答案为：1或 2【点睛】本题考查了用余弦定理解三角形，属于基础题.15.在平面直角坐标xOy中，已知4,3A、5
20、,2B、1,0C，平面内的点P满足PAPBPC，则点P的坐标为_【答案】3,1【解析】【分析】设点P的坐标为, x y，根据条件PAPBPC建立有关x、y的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得点P的坐标.【详解】设点P的坐标为, x y，由PAPBPAPC可得222222224352431xyxyxyxy，解得31xy，因此，点P的坐标为3,1.故答案为：3,1.【点睛】本题考查利用两点间的距离求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.16.在平面直角坐标系xOy内，已知( 1,0),(1,0)AB，若点P满足2PAPO，则PAB面积的最大值为_；若点P还同时满足3PBPO，则点P的横坐标等于_
21、【答案】(1).2(2).16【解析】【分析】设( , )P x y，根据2PAPO求出P点的轨迹方程，可得PAB面积的最大值，根据3PBPO求出P点的轨迹方程，联立两个方程可解得16x ，即可得答案.【详解】设( , )P x y，则2222(1)2xyxy，化简得22(1)2xy,所以P点的轨迹是以(1,0)B为圆心，2为半径的圆，所以PAB面积的最大值为12222 ，由3PBPO得2222(1)3xyxy，化简得22102xyx，联立2222210102xyxxyx ，解得16x ，即点P的横坐标等于16.故答案为：2；16.【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求法，考查了三角形的面积，考查
22、了求曲线的交点坐标，属于基础题.四四、解答题解答题（本大题共本大题共 6 6 小题小题，共计共计 7070 分分请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC中， 已知(1, 1), (3,2)AB， 且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上（1）求顶点C的坐标；（2）求ABC的面积【答案】 （1）( 1, 2) ； （2）2【解析】【分析】（1） 设点00,C xy,根据AC边的中点M在y轴上求出01x ， 根据BC边的中点N在x轴上求出02y ，即得解；（2）先求出直线AC的方程为2
23、30 xy，再求出点B到直线AC的距离，即得ABC的面积【详解】解： （1）设点00,C xy,AC边的中点M在y轴上，0102x ，解得01x 又BC边的中点N在x轴上，0202y ，解得02y 点C的坐标是( 1, 2) .(2)(1, 1), ( 1, 2), |5ACAC 由题得1211 12ACk ,所以直线AC的方程为11(1)2yx ，所以直线AC的方程为230 xy又(3,2)B，点B到直线AC的距离为|343|4 555d114 5|52225ABCSACd【点睛】本题主要考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18
24、.某校高一某班 50 名学生参加防疫知识竞赛，将所有成绩制作成频率分布表如下：分组频数频率50,60)ac60,70)b0.0670,80)350.07080,90)60.1290,1004d（1）求频率分布表中a b c d, ,的值；（2）从成绩在50,70)的学生中选出 2 人，请写出所有不同的选法，并求选出 2 人的成绩都在60,70)中的概率【答案】 （1）2,3,0.04,0.08abcd；（2）所有选法： 1211121321222312,A AA BA BA BA BA BA BB B， 1323,B BB B；概率为310【解析】【分析】（1）根据频率分布表中的数据，结合频数
25、、频率的计算方法，即可求解；（2）设成绩落在50,60)中的 2 人为12,A A，成绩落在60,70)中的 3 人为123,B B B，利用列举法得到基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1） 由题意， 该班学生人数为 50 人， 所以表格中的频数总和为356450ab ，则根据频率与频数的关系，可得40.0850d ，50 0.063b ，所以503 35642a ，0.0450ac （2） 由 （1） 可得成绩落在50,60)中的 2 人为12,A A， 成绩落在60,70)中的 3 人为123,B B B，则从成绩在50,7
26、0)的学生中选 2 人的基本事件有： 12111213,A AA BA BA B， 212223121323,A BA BA BB BB BB B，共有 10 个，其中 2 人的成绩都在60,70)中的基本事件有 121323,B BB RB B，共有 3 个，所以选出 2 人的成绩都在60,70)中的概率为3( )10P A 答：从成绩在50,70)的学生中选出 2 人，2 人的成锁都在60,70)中的概率为310【点睛】本题主要考查了频率分布表的应用，以及古典概型的概率计算，其中解答中认真审题，熟记频率分布表中的频数与频率的计算，以及利用列举法得出基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析
27、问题和解答问题的能力.19.在锐角ABC中，角, ,A B C的对边分別为, ,a b c，且32 sinacA（1）求角C的大小；（2）若13c ，且ABC的面积为3 3，求a b的值【答案】 （1）3； （2）7【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，得到3sin2sinsinACA进而得到3sin2C ，即可求解角C的大小；（2） 由ABC的面积为3 3， 求得12ab ， 再余弦定理和13c ， 得到2213abab，联立方程组，即可求解【详解】 （1）在锐角ABC中，因为32 sinacA，由正弦定理可知：2 sin,2 sinaRAcRC（其中R为ABC外接圆半径） ，所以3s
28、in2sinsinACA，又因为锐角三角形，则0,2A，可得sin0A ，所以3sin2C ，又因为锐角三角形，则0,2C，所以3C（2）因为ABC的面积为3 3，即11sinsin3 3223ABCSabCab，可得12ab 在ABC中，由余弦定理可知：222cos122abcCab，因为13c ，所以2213abab，联立解得：7ab【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题20.某调查机构为了了解某产品年产量x（吨）对价格
29、y（千元/吨）和年利润z的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表，若5.5y x12345y8764c（1）求表格中c的值；（2）求y关于x的线性回归方程ybxa；（3）若每吨该产品的成本为 2 千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取得最大值？【答案】 （1）2.5c ； （2）1.49.7yx ； （3）2.75 吨【解析】【分析】（1）由5.5y ，计算可得；（2）依题意求出b和a，即可求出回归直线方程；（3）依题意可得年利润21.47.7zxx ，根据二次函数的性质求解即可；【详解】解： （1）1(8764)5.55yc，解得：2.5c （2）51814181
30、612.568.5iiix y，522222211234555iix又1234535x，又已知5.5y 152251568.55 3 5.51.4555 95iiiiix yxybxx ，5.5( 1.4)39.7aybx y关于x的线性回归方程是1.49.7yx （3）年利润2( 1.49.72)1.47.7zxxxx 所以当7.72.752.8x 吨时，年利润z可取得最大答：当年产量为 2.75 吨时，年利润z取得最大值【点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程以及二次函数的性质的应用，属于基础题.21.如图，已知四边形ABCD内接于圆O，2,1ABADBC，且sin3sinCADBAC（1
31、）求CD的长度；（2）求圆O的半径【答案】 （1）3； （2）213【解析】【分析】（1）结合正弦定理及已知角的关系可求CD与BC的关系，进而可求；（2）结合圆内接四边形的角的性质及余弦定理可求AC，再由正弦定理即可求解【详解】解： （1）四边形ABCD内接于圆O，ABC与ACD有相同的外接圆圆O，设圆O的半径为R在ABC中，由正弦定理可得：2sinBCRBAC在ACD中，由正弦定理可得：2sinCDRCADsinsinBCCDBACCAD又设sin3sinCADBAC，33CDBC（2）设(13)ACxx，又已知2,1ABADBC在ABC中，由余弦定理可得：22225cos24BCBAACx
32、ABCBC BA在ACD中，由余弦定理可得：222213cos212ADCDACxADCAD CD四边形ABCD内接于圆O，ABCADC，coscos()cosABCADCADC ，即coscos0ABCADC由可得：225130412xx，解得：7x 1cos2ABC ，又(0, )ABC，23ABC在ABC中，由正弦定理可得：72 2122sin3sin3ACRABC圆O的半径为213【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是圆内接四边形性质的灵活应用22.已知圆22:4O xy，点P坐标为(1,0)（1）如图 1，斜率存在且过点P的直线l与圆交于,A B两
33、点若3OA OB ，求直线l的斜率；若2APPB ，求直线l的斜率（2）如图 2，,M N为圆O上两个动点，且满足0PM PN ，Q为MN中点，求OQ的最小值【答案】 （1）1或 1；153或153； （2）712；【解析】【分析】（1）设直线l的方程为：(1)yk x，11,A x y，22,B xy，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，由3OA OB ，则12123x xy y ，即21212113x xkxx ，即可求出k的值；由2APPB ，则12121212xxyy ，解方程组即可；（2）连结,OM ON PQ，依题意可得PMPN，可得224OQPQ，设点Q的坐标为( , )x y
34、，即可得动点Q点的轨迹；【详解】解： （1）设直线l的方程为：(1)yk x，11,A x y，22,B xy联立方程得：224(1)xyyk x，消去y整理可得：22221240kxk xk224244 1401216kkkk 恒成立，由韦达定理可得：212221kxxk，212241kx xk又3OA OB ，12123x xy y ，即21212113x xkxx 整理可得：2221212130kx xkxxk将代入可得：422224301kkkk22421 120kkk，化简得：21k 直线l的斜率k的值为1或 1（2）点(1,0)P，111,APxy ，221,PBxy 2APPB
35、，12121212xxyy ，整理可得1212232xxyy ,A B都在圆O上，2211222244xyxy，即2222222223244xyxy -可得：274x 将274x 代入22224xy解得：2154y 此时，直线l的斜率k的值为153或153（3）如图，连结,OM ON PQ0PM PN ，PMPN，又Q为MN中点，PQQM,M N为圆上两点，2OMON，又Q为MN中点，OQMN2224OQQMOM，又PQQM，224OQPQ设点Q的坐标为( , )x y2222(1)4xyxy，整理可得：221724xyQ点的轨迹是以1,02为圆心，72为半径的圆min712OQ【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，求动点的轨迹问题，属于中档题.
