1、岳阳市岳阳市 20202020 年高中教学质量监测试卷年高中教学质量监测试卷高一数学高一数学一、单项选择题一、单项选择题. .1.已知全集U R，集合1,2,3A ， |2Bx x，则AB （）A.1,2,3B.2C.1,3D.2,3.【答案】D【解析】【分析】直接利用交集的定义即可.【详解】由题意，1,2,3A，|2Bx x，所以，2,3AB.故选：D.【点睛】本题考查集合交集，属于基础题.2.已知0.22a ，2log 0.2b ，20.2c 则, ,a b c的大小关系是（）A.abcB.acbC.cabD.bac【答案】B【解析】【分析】分析, ,a b c与0,1的大小关系判断即可.
2、【 详 解 】 因 为0.20221a ，22log 0.2log 10b ，20.00.40 12,c . 故acb.故选：B【点睛】本题主要考查了指对幂函数的函数值大小判断，属于基础题.3.函数 621xf xx的零点0 x所在的区间为（）A.1,0B.0,1C.1,2D.2,3【答案】C【解析】【分析】求函数值判断 120ff,即可求解.【详解】 fx在区间1, 上是增函数，且 110f ， 220f， fx的零点01,2x .故选:C.【点睛】本题考查函数零点存在性定理,熟记定理应用的条件是关键,属于基础题.4.已知直线210 xay 与直线3110axy 垂直，则a的值为（）A. 0
3、B. 1C.16D.13【答案】B【解析】【分析】由垂直的直线所满足的系数关系，列式即可求得参数值.【详解】因为两直线垂直所以：131210aa ，解得：1a .故选 B.【点睛】本题考查直线垂直与系数之间的关系，熟练掌握垂直、平行等条件与限制条件，注意避免漏解与多解的情况发生.5.220 xyxyr表示一个圆，则r的取值范围是（）A.,2B.,2C.1,2D.1,2【答案】C【解析】【分析】由220 xyDxEyF表示一个圆，则2240DEF,代入即可得解.【详解】解：因为220 xyxyr表示一个圆，则22( 1)140r，即12r ，即220 xyxyr表示一个圆，则r的取值范围是1,2
4、，故选：C.【点睛】本题考查了圆的一般式方程，属基础题.6.将函数sinyx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把所得函数图象上的所有点向右平移3个单位，所得图像的函数解析式是（）A.sin(2)3yxB.sin(2)6yxC.1sin()26yxD.1sin()26yx【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图象的周期变换和相位变换的结论可得答案.【详解】将函数sinyx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数1sin2yx的图象，再把函数1sin2yx的图象上的所有点向右平移3个单位，得到函数11sin ()sin()2326yxx的图象.故
5、选：C.【点睛】本题考查了三角函数图象的周期变和相位变换，属于基础题.7.正方体1111ABCDABC D中，异面直线AB与1AC所成角的余弦值是（）A.33B.3C.2D.63【答案】A【解析】【分析】根据题意可得/ /ABDC，由异面直线成角的概念可知，1ACD为异面直线AB与1AC所成角，然后再在1Rt ADC中，即可求出结果.【详解】如图，在正方体1111ABCDABC D中，/ /ABDC，所以异面直线AB与1AC所成角为1ACD，设正方体1111ABCDABC D的棱长为a，在1Rt ADC中，122213cos3ACCDaACDaaa.故选：A.【点睛】本题考查了异面直线所成的角
6、，考查了正方体中的平行、垂直关系，考查了运算能力，属于基础题.8.下列函数中，最小正周期为的是（）A.1sin()26yxB.cos(2)3yxC.tan(2)4yxD.sincosyxx【答案】B【解析】【分析】根据正余弦与正切的周期公式求解即可.【详解】对 A，周期为2412；对 B，周期为22；对 C，周期为2；对 D，sincos2sin4yxxx，故周期为221.故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的周期与辅助角公式，属于基础题.9.在ABC中，已知 cosAcosBsinAsinB，则ABC是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】C【解析】由
7、 cosAcosBsinAsinB，得 cosAcosBsinAsinBcos (AB)0，所以AB90，所以C90，C为钝角故选 C.10.1614 年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637 年笛卡尔开始使用指数运算；1770 年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若522x，lg20.3010，则x的值约为（）A. 1.322B. 1.410C. 1.507D. 1.669【答案】A【解析】【分析】由522x可得25lg5lg21 2lg2log2lg2lg2x,进而将条件代入求解即可.【详解】522x,25lg5
8、lg21 2lg21 2 0.3010log1.3222lg2lg20.3010 x ,故选:A【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.二、多项选择题：每小题二、多项选择题：每小题 5 5 分分. .每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的. .全全部选对得部选对得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错或不选的得分，有选错或不选的得 0 0 分分. .11.如图所示， 四边形ABCD为梯形， 其中ABCD，2ABCD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A.12A
9、CADAB B.1122MCACBC C.14MNADAB D.12BCADAB 【答案】ABD【解析】【分析】根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.【详解】12ACADDCADAB ，A正确；11112222MCMAACBAACBCACACACBC ，B正确；111244MNMAADDNABADABADAB ，C错误；1122BCBAADDCABADABADAB ，D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.12.对于函数3( )sinf xaxbxc( ,)a bR cZ，选取, ,a b c的一组值去计算( 1)f 和(1)f，所得出的正确结果一定不可
10、能的是（）A. 2 或 5B. 3 或 8C. 4 或 12D. 5 或 16【答案】ABD【解析】【分析】根据3sinyaxbx为奇函数可推导得 2f xfxc，进而得出 11ff为偶数再判断即可.【详解】 由题， 33sinsin2f xfxaxbxcaxbxcc ， 因为cZ，故 2f xfxc为偶数.故 11ff为偶数.故可能正确的结果仅有 C.故选：ABD【点睛】本题主要考查了奇函数性质的运用，属于中档题.三、填空题三、填空题. .13. sin15cos15的值等于【答案】14【解析】【分析】直接利用二倍角的正弦公式计算即可【详解】因为11sin15 cos15sin3024,故答
11、案为：14【点睛】本题考查二倍角的正弦公式，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.14.函数110,1xyaaa的图象恒过定点P，则点P的坐标为_.【答案】1,2【解析】【分析】根据指数函数过定点0,1，然后根据平移的知识，可得结果.【详解】由指数函数0,1xyaaa过定点0,1且xya图像向右平移 1 个单位，向上移动 1 个单位得到11xya图像，所以函数11xya过定点1,2故答案为：1,2【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，还考查平移，重点在于指数函数过定点，属基础题.15.已知圆锥的母线长为 1，则侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为_.【答案】324【解析】【分析】求出圆锥的底面半
12、径和高，利用体积公式计算即可.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h1l 侧面展开图是半圆圆锥的侧面积为21112212rl，12r 2232hlr圆锥的体积为2211133332224r h.故答案为：324.【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积和体积计算，属于基础题.16.已知直角坐标系xOy中，(1,1)P，( ,0)(0)A xx ，(0, )(0)Byy ，（1）若14x ，PBAB ，则y=_.（2）若三角形OAB的周长为 2，则向量PA 与PB 的夹角为_.【答案】(1).12(2).4【解析】【分析】（1）根据0PB AB 以及平面向量数量积的坐标表示可解得结果；（2）由
13、三角形OAB的周长为 2，可得222xyxy，化简得2()2xyxy，利用2()2xyxy以及平面向量的夹角公式变形可得答案.【详解】 （1）因为14x ，所以1( ,0)4A，( 1,1)PBy ，1(, )4ABy ，因为PBAB ，所以0PB AB ，所以1( 1) ()(1)04yy ，即2104yy，解得12y .（2）依题意得(1, 1)PAx ，( 1,1)PBy ，因为三角形OAB的周长为 2，所以222xyxy，所以222()xyxy，两边平方化简得2()2xyxy，因为cos,| |PA PBPA PBPAPB 22(1)(1)(1)11 (1)xyxy 222()(22)
14、(22)xyxxyy2222222()22244()24xyxyx yxxyxyxyy222222()()2()44()4xyxyxyxy xyxyxy22222()2()44()4xyxyxy xyxyxyxy22222()244()4xyxyxyxyxy22222()22()4xyxyxyxy22222()44xyxy22222()xyxy22，因为,0, PA PB ，所以,4PA PB .故答案为（1）12； （2）4.【点睛】本题考查了垂直向量的坐标表示，考查了利用坐标求平面向量的夹角，考查了运算求解能力，利用2()2xyxy进行整体代换从而达到化繁为简的目的是解题关键，属于中档题.
15、四、解答题四、解答题. .17.已知5cossin2，(,)4 2 （1）求tan2；（2）若15tan()5 ，求tan(2).【答案】 （1）1515（2）159【解析】【分析】（1）两边平方可得1sin24，根据同角公式可得15cos24 ，15tan215 ；（2）根据两角和的正切公式，计算可得结果.【详解】 （1）因为5cossin2，所以225cossin2sin1sin24 ，即1sin24.因为,4 2 ，所以2,2，所以15cos24 ，故sin215tan2cos215 .（2）因为15tan()5 ，所以15tan5，所以1515tan2tan15155tan(2)1ta
16、n2tan915151155.【点睛】本题考查了两角同角公式，二倍角正弦公式，两角和的正切公式，属于基础题.18.已知函数2( )48f xxkx在定义域5，20内是单调的.（1）求实数k的取值范围；（2）若( )f x的最小值为8，求k的值.【答案】 （1）40k 或160k （2）20k 【解析】【分析】(1)根据二次函数的对称轴与单调区间的关系求解即可.(2)根据(1)的结果，分40k 与160k 求在区间上的最值关系式，进而求解k的值即可.【详解】 （1）由题意，可知 248f xxkx的对称轴为8kx 而函数2( )48,5,20f xxkxx是单调函数，58k或208k即40k 或
17、160k （2）当40k 时， 2min54 5588f xfk .20k ；当160k 时， 2min204 202088f xfk .80k （舍去） ；综上，20k .【点睛】本题主要考查了二次函数对称轴与单调区间和最值的问题，属于基础题.19.已知圆E经过点(0,0), (1,1),(2,0)ABC.（1）求圆E的方程；（2）若P为圆E上的一动点，求ABP面积的最大值.【答案】 （1）22(1)1xy（2）122+【解析】【分析】（1）设出圆E的一般方程，把点带入解出方程即可（2）分别算出直线AB的方程、|AB、圆心E到直线AB的距离即可【详解】 （1）设圆E的方程为：220 xyDx
18、EyF由题：022004200FDDEFEDFF 圆E的方程为2220 xyx即22(1)1xy（2）(0,0), (1,1)ABAB的方程：0 xy，且|2AB 圆心(1,0)E到直线AB的距离为|1|222d 点P到直线AB的距离的最大值为212121212|12122222ABPSAB【点睛】圆中的最值问题一般向圆心进行转化，如本题，圆上一点到一直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径.20.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的棱形，PD底面ABCD.（1）证明：AC平面PBD；（2）若PD=AD，直线PB与平面ABCD所成的角为 45，四棱锥PABCD的体积为4 33，求a的
19、值.【答案】 （1）见解析（2）2【解析】【分析】(1)根据菱形与PD平面ABCD，证明ACBD与ACPD即可.(2)根据直线PB与平面ABCD所成的角为 45可得BD=PD=a， 进而根据体积公式列式求解a即可.【详解】解： （1）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，又因为PD平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PDAC，又PDBDD，故AC平面PBD；（2）因为PD平面ABCD，所以PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，于是PBD=45，因此BD=PD=a，又AB=AD=a，所以菱形ABCD的面积为23sin602SAB ADa ，.故四棱锥P-ABCD的体积3134 3363VS
20、 PDa，2a.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明以及线面角与体积的问题，属于中等题.21.据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式： sin0,0,2f xAxB A，*x xN为月份已知 3 月份该商品的价格首次达到最高，为 9 万元，7 月份该商品的价格首次达到最低，为 5 万元（1）求 fx的解析式；（2）求此商品的价格超过 8 万元的月份.【答案】 （1） *2sin7 112,N44f xxxx； （2）2 月份、3 月份、4 月份、10 月份、11 月份、12 月份此商品的价格超过 8 万元【解析】【分析】（1）由已知条件可得8T ，592952BA，即4，27AB，
21、即可得函数解析式；（2）由题意可得2sin7844x，再解此三角不等式，再取整数解即可.【详解】解： （1）由题可知7342T，8T，24T.又592952BA，27AB， 2sin74f xx.（*）又 fx过点3,9，代入（*）式得32sin794，3sin14，3242k，kZ.又2，4， *2sin7 112,N44f xxxx.（2）令 2sin7844f xx，1sin442x，5226446kxk ，kZ，可得5138833kxk，kZ.又112x，*xN，2,3,4,10,11,12x，故 2 月份、3 月份、4 月份、10 月份、11 月份、12 月份此商品的价格超过 8 万
22、元.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法及解三角不等式，重点考查了运算能力，属中档题.22.若函数( )f x对其定义域内任意12,x x都有1212()( )() 1f x xf xf x成立，则称( )f x为“类对数型”函数.（1）证明： 31g xlog x为“类对数型”函数；（2）若( )h x为“类对数型”函数，求1111()()( )( )(1)(2)(3)(2020)2020201932hhhhhhhh的值.【答案】 （1）见解析（2）4039【解析】【分析】（1）根据题意，利用“类对数型”函数的定义可得 12211g x xg xg x，即得证；（2）根据题意，利用“类对数
23、型”函数的定义可得，当121xx时， 122h xh x，进而可得结论.【详解】 （1）证明：123123132log () 1loglog1g x xx xxx 12313231321log1 log1 1loglog1g xg xxxxx 11221g xxg xg x成立，所以 3log1g xx为 “类对数型”函数；（2）12121h xxh xh x令121xx，有 1111hhh 11h.令121xx，则有 1211hh xh x， 122h xh x 111112320202020201932hhhhhhhh 111123202012019 24039232020hhhhhhh .【点睛】本题考查新定义“类对数型”函数的理解和运用，考查赋值法和运算能力，利用当121xx时， 122h xh x是解决本题的关键，属于基础题.
