1、江苏省常州市教学联盟江苏省常州市教学联盟 2019201920202020 学年高一下学期期中学年高一下学期期中调研数学试题调研数学试题一一、选择题选择题（本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共计共计 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.cos10 sin70sin10 sin20（）A.32B.32C.12D.12【答案】A【解析】【分析】由sin20cos70 及两角差的正弦公式即可求出答案【详解】解：cos
2、10 sin70sin10 sin20sin70 cos10cos70 sin103sin(7010 )sin602 ，故选：A【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，属于基础题2.底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（）A.2B.3C.23D.33【答案】D【解析】分析：由题意首先求得圆锥的高度，然后求解圆锥的体积即可.详解：由题意可得圆锥的高22213h ，则圆锥的体积为：211313333VSh.本题选择D选项.点睛：本题主要考查圆锥的空间结构，圆锥的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.过点(0,1)且与直线210 xy 垂直的直线方程是（）A.210 xy
3、B.210 xy C.220 xy-+=D.210 xy 【答案】A【解析】【分析】根据两直线垂直的性质求得所求直线的斜率等于-2，再由所求直线过点（0，1） ，利用点斜式求得所求直线的方程，并化为一般式【详解】直线210 xy 的斜率等于12，故所求直线的斜率等于2，再由所求直线过点（0，1） ，利用点斜式求得所求直线的方程为y12 （x0） ，即 2x+y-1=0，故选 A【点睛】本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于1，用点斜式求直线方程，属于基础题4.在正方体1111ABCDABC D中，E，F分别为1CC，1DD的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为（）A.14B
4、.154C.2 65D.15【答案】D【解析】【分析】连接BE，BD，因为/BE AF，所以BED为异面直线AF与DE所成的角（或补角） ，不妨设正方体的棱长为 2，取BD的中点为G，连接EG，在等腰BED中，求出3cos5EGBEGBE，在利用二倍角公式，求出cosBED，即可得出答案.【详解】连接BE，BD，因为/BE AF，所以BED为异面直线AF与DE所成的角（或补角） ，不妨设正方体的棱长为 2，则5BEDE，2 2BD ，在等腰BED中，取BD的中点为G，连接EG，则523EG ，3cos5EGBEGBE，所以2coscos22cos1BEDBEGBEG，即：31cos2155BE
5、D ，所以异面直线AF，DE所成角的余弦值为15.故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.5.已知aR，若不论a为何值时，直线: 1 2320la xaya总经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A.2,1B.()1,0-C.2 1,7 7D.12,77【答案】C【解析】【分析】因为直线l总经过一个定点，所以与a值无关，参变量分离，解方程组即得.【详解】直线l的方程1 2320a xaya可化为：22310 xyaxy.直线l总经过一个定点，231020 xyxy ,解得2717xy .所以不论a为何值，直线l总经过一个定点2
6、 1,7 7.故选：C.【点睛】本题考查直线过定点问题，解题的关键是参变量分离.6.已知，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列错误的是（）A. 若/m，n，则/m nB. 若m，m，则/ C. 若m，m，则D. 若/m n，m，则n【答案】A【解析】【分析】在 A 中，m与n平行或异面；在 B 中，由线面垂直的性质可得/ ；在 C 中，由面面垂直的判定定理得正确；在 D 中，由线面垂直的性质可得n.【详解】解：由，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，知：在 A 中，/m，n，m与n平行或异面，故 A 错误；在 B 中，m，m，由线面垂直的性质可得/ ，故 B 正确；在 C 中，m，m
7、，由面面垂直的判定定理可得，故 C 正确；在 D 中，/m n，m，由线面垂直的性质可得n，故 D 正确.故选：A.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.7.对任意锐角, 下列不等关系中正确的是A.sin()sinsinB.sin()coscosC.cos()sinsinD.cos()coscos【答案】D【解析】sinsincoscossin，sin ,sin,cos ,cos0,1， 可知,A B不正确；当015时，cossinsin可知C不正确，coscoscossinsincoscos，所以 D 正确，故选 D.【
8、点睛】对于这类问题可以代特殊数值排除选项，但还是需要熟练掌握两角和与差的三角函数，利用三角函数的有界性，对公式进行放缩，得到不等关系，或是做差判断.8.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB平面MNP的图形的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据线面平行的判定逐个选项分析即可.【详解】图可知因为M,N分别为其所在棱的中点,如图，连接 AC,故/MN AC,MN 平面ABC，AC 平面ABC，故/MN平面ABC,同理/NP平面ABC,又MNNPN,故ABC平面MNP,故AB平面MNP,图符合题意；图,如图,由中
9、位线有/NP CD,又四边形 ABCD 为平行四边形,故/AB CD,故ABPN,又AB 平面MNP，PN 平面MNP，故AB平面MNP,图符合题意；至于图,取下底面中心 O,则 NO/AB,NO平面 MNP=N,AB 与平面 MNP 不平行，故不成立.对于图，如图，过 M 作 ME/AB,E 是中点，ME 与平面 PMN 相交，AB 与平面 PMN 相交，AB与平面 MNP 不平行，故不成立；,故选：B.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与性质,属于基础题.9.在ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，A6，b1，SABC3，则2sin A2sin BsinCabc的值等于（）A.
10、2 393B.2633C.833D.2 37【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理变形可知2sinA2sinBsinCsinabcaA,再根据面积公式及余弦定理求出a即可求解.【详解】1sin2SbcA，22 34 31sin2ScbA 22232cosA1482 1 4 3372abcbc ，37a，2372 371sinA2sinBsinCsin2abcaA，故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.10.如图，梯形ABCD中，ADBC，ADAB1，ADAB，BCD45，将ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A，使二面角ABDC为直二面角，
11、给出下面四个命题：ADBC； 三棱锥ABCD的体积为26； CD平面ABD； 平面ABC平面ADC.其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据/ /ADBC，1ADAB，ADAB，45BCD， 易得CDBD，再根据，平面ABD平面BCD，得CD 平面A BD，可判断的正误；由二面角ABDC为直二面角，可得A H平面BCD，则可求出ABDCV，进而可判断的正误；根据CD 平面A BD，有CDA B，,A BA D得A B平面CDA，利用面面垂直的判定定理判断的正误； 根据CD 平面A BD， 有CDAD， 若A DBC， 则可证AD平面BCD，则得到A
12、 DBD，与已知矛盾，进而可判断的正误.【详解】由题意，取BD中点H，连接A H，则折叠后的图形如图所示：由二面角ABDC为直二面角，可得A H平面BCD，则AHCD，ABDCV1221326 ，正确，CDBD，AHCD，且A HBDH，CD 平面A BD，故正确，1A B，由几何关系可得3A C，2BC ，22221 32A BA CBC ，A BA C，由CD 平面A BD，得CDA B，又A CCDCA B平面A DC，A B平面A BC，平面A BC平面A DC，正确，CD 平面A BD，CDAD，若A DBC，则可证AD平面BCD，则得到A DBD，与已知矛盾，所以错误.故选C.【点
13、睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，解题关键是利用好直线与平面，平面与平面垂直关系的转化关系，属于中档题.11.在ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若2cosA3cosB5cosCabc，则B的大小是（）A.12B.6C.4D.3【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理， 可得111tantantan235ABC， 令tan2Ak，tan3Bk，tan5Ck，再结合公式tantan()BAC ，列出关于k的方程，解出k后，进而可得到B的大小.【详解】解：2cosA3cosB5cosCabc，sinsinsin2cos3cos5cosABC
14、ABC，即111tantantan235ABC，令tan2Ak，tan3Bk，tan5Ck，显然0k ，tantantantan()tantan1ACBACAC ，273101kkk，解得33k ，tan33Bk，B3故选：D.【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用 k 表示tan2Ak，tan3Bk，tan5Ck是本题关键12.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面与直线DE垂直，则平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面面积为（）A.2 3B.2 6C.2 25D.3【答案】B【解析】【分析
15、】确定平面1AMCN即为平面，四边形1AMCN是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体1111ABCDABC D中，记AB的中点为N，连接1,MC CN NA，则平面1AMCN即为平面证明如下：由正方体的性质可知，1AMNC，则1A，,M C N四点共面，记1CC的中点为F，连接DF，易证DFMC连接EF，则EFMC，EFDFFI，EFDF ，平面DEF，所以MC 平面DEF，又DE 平面DEF，则DEMC同理可证，DENC，NCMCC，则DE 平面1AMCN，所以平面1AMCN即平面，四边形1AMCN即平面截正方体1111ABCDABC D所得的截面因为正方体的棱长为2，易知四边形1
16、AMCN是菱形，其对角线12 3AC ，2 2MN ，所以其面积12 22 32 62S 故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，小题，每小题每小题 5 5 分，共计分，共计 2020 分分. .请把答案填写在答题卡相应位置请把答案填写在答题卡相应位置上）上）13.若直线 l1：ax3y10 与 l2：2x(a1)y10 互相平行，则 a 的值为_【答案】-3【解析】试题分析：由两直线平行可得：，经检验可知时两直线重合，所以考点：直线平行的判定14.在平面直角坐标系中，角与角均以x轴非负半轴为始边
17、，它们的终边关于y轴对称，若1sin3 ，则cos_.【答案】79【解析】【分析】分角为第三象限角和第四象限角两种情况讨论，分别求出、的正弦值和余弦值，利用两角差的余弦值可求得cos的值.【详解】当角为第三象限角时，则角为第四象限角，1sin3 ，2 2cos3 ，2 2cos3，则2 22 2117coscoscossinsin33339 ；当角为第四象限角时，则角为第三象限角，1sin3 ，2 2cos3，2 2cos3 ，则2 22 2117coscoscossinsin33339 .综上，7cos9 .故答案为：79.【点睛】本题考查三角函数求值，考查了两角差的余弦公式的应用，考查计算
18、能力，属于中等题.15.圆锥底面半径为 10，母线长为 40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是_.【答案】40 2【解析】【分析】根据题意，先求得展开图形中扇形的圆心角度数，即可由勾股定理求得最短路径长.【详解】该圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形圆心角度数为210402，最短路程为22404040 2.故答案为：40 2.【点睛】本题考查了圆锥的结构特征，最短距离求法，属于基础题.16.已知函数( )sin(sin3cos)444f xxxx,则(1)(2)(2000)fff_.【答案】1000【解析】【分析】利用降幂公式以及辅助角公式可得 1sin226f xx.进而求
19、得 fx周期为 4,再计算 1234ffff,进而求出(1)(2)(2000)fff即可.【详解】2( )sin(sin3cos)sin3sincos444444f xxxxxxx1 cos32sin222xx1sin()226x,则函数( )f x的周期为 4,求得(1)(2)(3)(4)ffff11131sinsinsinsin 222626226262cossincossin26666,(1)(2)(2000)500 21000fff.故答案为：1000【点睛】本题主要考查了降幂公式与辅助角公式的运用,同时也考查了三角函数周期性与诱导公式求函数值的方法.属于中档题.三三、解答题解答题（本
20、大题共本大题共 6 6 小题小题，共计共计 7070 分分. .请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答. .解答时应写出文字说解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）明、证明过程或演算步骤）17.已知2cos410 x，3,24x.（1）求sin x的值；（2）求sin 26x骣琪 +琪桫p的值.【答案】 （1）45； （2）724 350.【解析】【分析】（1） 利用同角三角函数的基本关系计算出sin4x的值， 再利用两角和的正弦公式计算出sinsin44xx的值；（2） 利用同角三角函数的基本关系求出cosx的值， 利用二倍角公式求出sin2x和cos2x的值，然后利用两角和的
21、正弦公式计算出sin 26x骣琪 +琪桫p的值.【详解】 （1）因为3,24x，所以,44 2x ，27 2sin1 cos4410 xx，7 2222sinsinsincoscossin444444102102xxxx45；（2）因为3,24x，所以2243cos1 sin155xx ，所以24sin22sincos25xxx ，27cos22cos125xx ，因此，724 3sin 2sin2 coscos2 sin66650 xxx .【点睛】本题考查两角和的正弦公式求值，同时也考查了同角三角函数、二倍角公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.18.如图，在四棱锥PABCD中，四边形
22、ABCD为平行四边形，BD 平面PCD，PCD为正三角形，E为PC的中点.(1)证明：AP/平面EBD；(2)证明：BEPC.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接AC交BD与点O， 连接EO， 可得/ /PAEO， 根据线面平行的判定定理， 即可得证；(2)只需证明PC 平面BDE， 由BD 平面PCD， 可得BDPC， 由PCD为正三角形，E为PC的中点，可得DEPC，根据线面垂直的判定定理可证出PC 平面BDE.【详解】(1)证明：在平行四边形ABCD中，连接AC交BD与点O，连接EO，在PAC中，,O E分别为,AC PC中点，所以/ /PAEO，又PA
23、平面EBD，EO 平面EBD，所以AP/平面EBD；(2)证明：因为BD 平面PCD，PC 平面PCD，所以BDPC，在正三角形PCD中，E为PC中点，所以DEPC，又BDDED，BD，DE 平面BDE，所以PC 平面BDE，又因为BE 平面BDE，所以BEPC.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，属于基础题.19.已知ABC的三个顶点分别为,A a b，4,1B，3,6C（1）求BC边所在直线的一般式方程；（2）已知BC边上中线AD所在直线方程为350 xy c ，且7ABCS，求点A的坐标【答案】 （1）5210 xy； （2）6,5或1,2【解析】【分析】（1）由
24、题意先求出直线BC的斜率，从而求出点斜式方程，再化为一般式方程即可；（2）由题意可得26BC ，7 7,2 2D，代入直线AD的方程可求得7c ，则3570ab，设点A到直线BC距离为d，由三角形面积公式可得得1426d ，再利用点到直线的距离公式得521142626abd ，则52114ab ，由此解方程组即可求出答案【详解】解： （1）6 1534BCk ，代入点斜式方程，得15(4)yx ，直线BC的一般方程为5210 xy；（2）4,1B，3,6C，26BC ，中点7 7,2 2D，代入方程350 xy c ，得7c ，直线AD的方程为3570 xy-+=，点,A a b满足方程，35
25、70ab，设点A到直线BC距离为d，则11=26722ABCSBC dd，得1426d ，利用点到直线的距离公式得521142626abd ，52114ab ，521 14ab ，或52114ab ，357052114abab，或357052114abab ，解得65ab，或12ab，点A坐标为6,5或1,2【点睛】本题主要考查直线的一般式方程的求法，考查点到直线的距离公式，考查两点间的距离公式，考查计算能力，属于基础题20.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，135BCD，侧面PAB 底面ABCD，90BAP，6ABACPA，,E F分别为,BCAD的中点，点M在线段PD上
26、.（1）求证：EF 平面PAC；（2）当12PMMD时，求四棱锥MECDF的体积.【答案】(1)证明见解析 (2)24【解析】【分析】（1）证明ABAC得到EFAC证明PA 底面ABCD，可得PAEF然后证明EF 平面PAC（2）证明MN 底面ABCD，然后求解四棱锥MECDF的体积【详解】 （1）证明：在平行四边形ABCD中，因为ABAC，135BCD，45ABC，所以ABAC由E，F分别为BC，AD的中点，得/ /EFAB，所以EFAC因为侧面PAB 底面ABCD，且90BAP，所以PA 底面ABCD又因为EF 底面ABCD，所以PAEF又因为PAACA，PA平面PAC，AC 平面PAC，
27、所以EF 平面PAC（2）解：在PAD中，过M作/ /MNPA交AD于点N，由12PMMD，得23MNPA，又因为6PA ，所以4MN ，因为PA 底面ABCD，所以MN 底面ABCD，所以四棱锥MECDF的体积1166424332MECDFECDFVSMN平行四边形【点睛】本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题21.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯， 要求灯柱AB与地面垂直， 灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示.已知23ABC，3ACD
28、，路宽18AD 米.设BAC126.（1）求灯柱AB的高h（用表示） ；（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？【答案】 （1）12sin 2312 6h,； （2）12，(66 3)米【解析】【分析】（1）在ACD与在ABC中，由正弦定理即可用表示灯柱AB的高h；（2）根据正弦定理，分别表示出灯柱AB与灯杆BC的长，即可表示出ABBC，结合正弦和角公式化简，结合角的取值范围即可得解.【详解】 （1）ABQ与地面垂直，BAC2CAD，在ACD中，6CDA，由正弦定理得sinsinADACACDCDA，得sin12 3sinsin6ADCD
29、AACACD，在ABC中，3ACB，由正弦定理得sinsinABACACBABC，sin24sinsinsin63ACACBhABC24sinsin62624sincos6612sin 23.12sin 2312 6h，（2）ABC中，由正弦定理得sinsinBCACBACABC，得sin24sinsinsin6ACBACBCABC，12sin 224sinsin36ABBC12 sin2 coscos2 sin24 sincoscos sinsin33661cos26sin26 3cos212 36sin22=12sin2 +6 3126，263，当12时，ABBC取得最小值6 6 3+.故
30、该公司应设置12，才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值为(66 3)米.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，根据角的范围求最值，属于中档题.22.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，S为ABC的面积，222sinSBCac（1）证明：2AC；（2）若2b ，且ABC为锐角三角形，求S的取值范围【答案】 （1）见解析； （2）3,22【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式表示 S，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可 （2）结合三角形 ABC 为锐角三角形，判定 tanC 的范围，利用 tanC 表示面积，结合 S的单调性，
31、计算范围，即可【详解】(1)证明：由222sinSBCac，即222sinSAac，22sinsinbcAAac，sin0A，22acbc，2222cosabcbcA，2222cosacbbcA，22cosbbcAbc，2 cosbcAc ，sin2sin cossinBCAC，sin2sin cossinACCAC，sin coscos sinsinACACC，sinsinA CC，A，B，0,C，2AC(2)解：2AC，3BC，sinsin3BCsinsinabAB且2b ，2sin2sin3CaC，212sin2 sin2sin2 sin2tan2 tan4tan4sin32sin 2sin2 coscos2 sintan2tan3tantantanCCCCCCCSabCCCCCCCCCCCC，ABC为锐角三角形，20,230,20,2ACBCC，,6 4C ，3tan,13C，43tantanSCC为增函数，3,22S【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难
