1、福建省龙岩市一级达标校福建省龙岩市一级达标校 2018-20192018-2019 学年高一上学期期末教学质量检查数学试题学年高一上学期期末教学质量检查数学试题一、选择题一、选择题1.已知集合05AxNx，集合1,3,5B ，则AB ()A.0,2,4B.2,4C.0,1,3D.2,3,4【答案】A【解析】【分析】求得集合0,1,2,3,4,5A ，结合集合的补集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合050,1,2,3,4,5AxNx，集合1,3,5B ，所以AB 0,2,4.故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的运算，其中解答中正确表示集合，集合的补集的概念，准确运算是解答的
2、关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2.tan225的值为（）A.22B.1C.22D. 1【答案】D【解析】【分析】直接利用诱导公式tan 180tan化简求值【详解】tan225tan 18045tan451故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式化简求值，还考查了运算求解的能力,属于基础题3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A.xyeB.sin2yxC.22xxyD.3yx 【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义，结合初等函数的图像与性质，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A中，根据指数函数的性质，可得函数xye为非奇非偶函数，所以不正确
3、；对于B中，根据三角型函数的图象与性质，可得函数sin2yx不是单调函数，所以不正确；对于C中，函数 22xxf x，可得 22(22 )xxxxfxf x ，所以函数 22xxf x为定义域R上的奇函数，又由指数函数的单调性，可得函数在定义域R上的单调递增函数，符合题意；对于D中，根据幂函数的性质，可得函数3yx 为R上单调递减函数，所以不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的判定及应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及基本初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数 tan23f xx的最小正周期是（）A. 1B. 2C. 3D
4、. 4【答案】B【解析】【分析】直接利用函数tanyx的周期公式T求解.【详解】函数 tan23f xx的最小正周期是22T，故选：B【点睛】本题主要考查正切函数的周期性，还考查了运算求解的能力，属于基础题5.已知3cos222sin3cos5，则tan()A.6B.23C.23D. 6【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确运算，即可求解，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，化简3cossin1223cos2sin3cos2sin3cos52sin，解得cos1sin6，即sintan6cos.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函
5、数的基本关系式的化简求解问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.已知在扇形AOB中，2AOB，弦AB的长为 2，则该扇形的周长为()A.2sin1B.4sin1C.2sin2D.4sin2【答案】B【解析】【分析】由已知条件求出OA，再求出AB弧的长，即可求解扇形的周长，得到答案.【详解】如图所示，因为2AOB，且2AB ，所以1sin1OA，即1sin1OA ，由弧长公式，可得AB弧的长为22sin1OA ，所以扇形的周长为1124sin1sin1sin1sin1.故选：B.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长
6、公式的应用，其中解答中作出图形，求得扇形所在圆的半径，准确利用扇形的弧长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.在ABC中，3AC ，4AB ，AD是BC边上的中线，则AD BC （）A.7B.72C.72D. 7【答案】B【解析】【分析】将AB AC ，作为基底表示AD BC ,再求解即可.【详解】222211117() ()|(916)22222AD BCABACACABACABACAB 故选：B【点睛】本题主要考查了基底向量的用法,属于基础题型.8.关于狄利克雷函数 1,0,xD xx为有理数为无理数，下列叙述错误的是（）A. D x的值域是0,1B. D x是偶
7、函数C. D x是奇函数D. 任意xR，都有 1ffx 【答案】C【解析】【分析】A 由函数解析式直接判断.B 分x是无理数和是有理数， 两种情况根据奇偶性的定义讨论.C 与B 用相同的方法判断.D分x是无理数和是有理数，两种情况，从内函数到外函数讨论.【详解】A由函数解析式直接得到值域为0,1，故 A 正确，B若x是无理数，则x也是无理数，此时 0fxf x，若x是有理数，则x也是有理数，此时 1fxf x，综上 fxf x恒成立，故函数 fx是偶函数，故 B正确，C由 B 知函数是偶函数，不是奇函数，故C错误，D若x是有理数，则 1f x ， 11 ff xf，若x是无理数，则 0f x
8、， 01 ff xf，故 D 正确，故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数的基本性质，还考查了分类讨论，理解辨析的能力，属于基础题.9.已知函数31log (3),1( )21,1xx xf xx，则2( 6)log 6ff（）A. 4B. 6C. 7D. 9【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的解析式，及对数的性质计算可得【详解】解：函数31(3),1( )21,1xlogx xf xx，3( 6)log (36)2f，2266 12126log 62111422loglogf ，2( 6)(log 6)246ff故选：B【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能
9、力，属于基础题10.已知向量a，b， 其中1a ，24ab，22ab， 则a在b方向上的投影为()A.2B. 1C.1D. 2【答案】C【解析】【分析】由向量的模的公式，化简得214416ba b ，21444ba b ，求得32b ，32a b ，再结合向量的投影的计算公式，即可求解.【详解】由题意，向量a，b，其中1a ，24ab，22ab，可得222224414416ababa bba b (1)2222244144=4ababa bba b (2)联立(1)(2)解得32b ，32a b ，所以a在b方向上的投影为1a bb .故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向
10、量的投影的计算，其中解答中熟记向量的投影的概念，以及熟练应用向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.设点,A x y是函数 sin0,fxxx图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合） ，设线段AB的长为 h x，则函数 h x的图象是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出函数 sinsin ,0,fxxxx 的图象，根据对称性求出,A B的坐标，得到线段AB的长的函数模型 h x再进行判断【详解】因为 sinsin ,0,fxxxx ，如图：设, sinA xx，则,A B关于2x对称，此时, sin
11、Bxx，当02x时，2ABxxx，当2x时，2ABxxx，则对应的图象为 D，故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的对称性，还考查了理解辨析函数的图象的能力，属于基础题.12.已知8 2sin15sincos (0, )4 ，则sincos（）A.415B.5 4141C.5 4141D.415【答案】A【解析】【分析】利用两角和的正弦公式展开得8(sincos)15sincos，根据同角三角函数关系2(sincos )1sin cos2a， 求 得3sincos5 ， 平 方 处 理 求 得8sincos25 ，241(sincos )12sincos25 考虑角的范围即可得解.【详解】8
12、 2sin8 2 sincoscossin444即8(sincos)15sincos，又2(sincos )1sin cos2a，215(sincos )18(sincos )2，解得3sincos5 或53，sincos2sin24所以3sincos5 ，平方得1 2sinc9os25所以8sincos25 ，241(sincos )12sincos25 .3sincos,(0, )5 ，,2，sincos0，41sincos5.故选：A.【点睛】此题考查三角函数求值问题，关键在于根据已知条件求解三角函数的取值，熟练掌握同角三角函数关系尤其是正余弦之和差积的转化关系.二、填空题二、填空题13
13、.已知向量a (2,3),b (x,1),若ab,则实数x的值是_.【答案】32【解析】【分析】已知向量a (2，3)，b (x，1)，根据ab，利用数量积的坐标运算求解.【详解】已知向量a (2，3)，b (x，1)，因为ab，所以230 x解得32x 故答案为：32【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14.0.011.01a ，ln2b ，166log6c ，则, ,a b c从小到大的关系是_【答案】cba【解析】【分析】根据指数、对数函数的性质，可得0.01161611.011,ln21,log262，从而得出, ,a b c的大小关系【详解
14、】因为0.0101.011.011，所以1a ，因为121lnln2ln12ee，所以112b，因为1122111666611loglog 6log ( )662，所以12c ，cba故答案为：cba【点睛】考查指数函数、对数函数的单调性，对数的运算，还考查了转化问题的能力，属于基础题.15.若2lg2lglgxyxy，则2xy_【答案】16【解析】【分析】由2lg2lglgxyxy，通过对数运算得出4xy，由此再求2xy的值要注意定义域.【详解】2lg2lglgxyxy，2(2 )2000 xyxyxyxy，解得4xy，42216xy故答案为：16【点睛】本题主要考查对数的运算，还考查了运算
15、求解能力，属于基础题16.已知定义在R上的奇函数，满足 20fxf x，当0,1x时， 2logfxx ，若函数 sinF xfxx，在区间1,m上有 2018 个零点，则m的取值范围是_【答案】2015,10082【解析】【分析】由函数的奇偶性，对称性及周期性及函数图象的作法，分别作函数 yf x与sinyx的图象，再观察交点即可得解【详解】由 0fxf x， 20fxf x，联立可得：2fxfx，即 2fxf x，所以函数是奇函数，图象关于点1,0对称，周期为 2，又因为当0,1x时， 2logfxx ，又sinyx的周期为 2，关于点,0kkZ对称，令函数 sin0F xf xx，得 s
16、inf xx，所以函数 sinF xfxx，在区间1,m上有 2018 个零点，转化为 ,sinyf xyx两个函数在区间1,m上有 2018 个零点，在同一坐标系中作出两函数的图象如下：由图象知： yf x与sinyx在21,21mm，mZ上有 4 个交点，且在1,1上11x ，212x ，30 x ，412x ，因为函数 sinF xfxx，在区间1,m上有 2018 个零点，所以：201510082m，故答案为：2015,10082【点睛】本题考查了函数的奇偶性，对称性及周期性及函数图象的作法，属中档题三、解答题三、解答题17.某同学用“五点法”画函数 sin(0,)2f xAx在某一个
17、周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x02322x356sinAx0440（）请将上表数据补充完整，并直接写出函数 fx的解析式（） 若函数 fx的值域为A， 集合 |13Cx mxm 且ACA， 求实数m的取值范围【答案】 （）见解析， 4sin 26f xx（）3,1【解析】【分析】（）根据上表数据已有的数据求出4A，2，6 ，再根据五点法作图，将上表数据补充完整，并直接写出函数 fx的解析式（）由ACA可得CA，先求出函数 fx的值域A，再利用子集关系求解.【详解】 （）根据表中已知数据，易知4A，52632T，,2 T，又因为点,43在图象上，所以4sin 243，所以2232
18、k，又因为2，所以6 ，所以函数表达式为 4sin 26f xx补全数据如下表：x02322x123712561312sinAx04040（） 4sin 24,46f xx ，4,4A ，又ACA，CA依题意143134mmm ，实数m的取值范围是3,1【点睛】本题主要考查了函数sinyAx的部分图象求解析式，集合的基本运算，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题18.已知4 3sin7，,2.（1）求2sin2的值；（2）若3 3sin()14a，0,2，求的值.【答案】 （1）24sin27（2）3【解析】【分析】（1）由平方关系得出cos的值，利用半角公式求解即可；（2）由，的范围
19、得出的范围，利用平方关系得出cos()a的值，再利用两角差的正弦公式化简求值即可.【详解】 （1）因为4 3sin7，,2，所以21cos1sin7 .从而21cos4sin227.（2）因为,2，0,2，所以3,22所以213cos()1sin ()14a .所以3 31134 3sinsin()sin()coscos()sin147147 32，3.【点睛】本题主要考查了利用平方关系，半角公式以及两角差的正弦公式化简求值，属于中档题.19.已知函数243( )3axxf x.（1）当1a 时，求函数( )f x的值域；（2）若( )f x有最大值 81，求实数a的值.【答案】 （1）13，
20、)； （2）4a 【解析】【分析】（1）当1a 时，求出( )f x的解析式，结合指数函数和二次函数的单调性的性质进行求解即可 （2）利用换元法结合指数函数和二次函数的单调性的性质求出最大值，建立方程关系进行求解即可【详解】 （1）当1a 时，2243(2)111( )3333xxxf x，函数( )f x的值域为13，)（2）令243taxx，当0a时，t无最大值，不合题意；当0a 时，222443()3taxxa xaa，43ta，又( )3tf t 在R上单调递增，434( )33813taf x，434a ，4a 【点睛】本题主要考查复合函数单调性和值域的求解，结合指数函数和二次函数的
21、单调性的关系是解决本题的关键20.若2sin ,cos2axx，cos ,3bx，且 f xa b .（1）求函数 fx的解析式及其对称中心；（2）函数( )yg x=的图象是先将函数 yf x的图象向左平4个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变得到的.求函数( )yg x=，0,x的单调增区间.【答案】 （1） fx2sin 23x，对称中心为,062k（kZ） ； （2）0,3.【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示，结合三角恒等变化即可求解；（2）根据函数sinyAx的图象变换规律， 12sin246g xfxx，即可求解单调区间.【详解】 （1）依题意有
22、 2sin ,cos2cos ,3f xa bxxx 2sin cos3cos2sin23cos2xxxxx2sin 23x，令23xk，则62kx，kZ，函数 yf x的对称中心为,062k（kZ）.（2）由（1）得， 2sin 23f xx，将函数 yf x的图象向左平移4个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，可得 112sin 22sin242436g xfxxx的图象.由22262kxk（kZ） ，即22233kxk（kZ） ，又0,x， g x的单调增区间为0,3.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性、单调性、以及函数s
23、inyAx的图象变换规律，属于中档题.21.某投资人欲将 5 百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为1110yt，210ayt，其中a为常数且05a设对乙种产品投入资金x百万元（）当2a 时，如何进行投资才能使得总收益y最大； （总收益12yyy）（）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于 0.45 百万元，求a的取值范围【答案】 （） 甲种产品投资 4 百万元， 乙种产品投资 1 百万元时， 总收益最大 （）9 5,510【解析】【分析】（） 当2a 时求出总收益12yyy的解析式， 结合一元二次
24、函数最值性质进行求解即可（）根据题意可知59101020a xxy对任意0,5x恒成立，将问题转化为即2210 xa x 对任意0,5x恒成立，再利用换元法转化为一元二次不等式恒成立求解【详解】 （）设对乙种产品投入资金x百万元，则对甲种产品投入资金5x百万元当2a 时，1212552, 05101010 xxxyyyxx ，令tx，则05t ，212510ytt ，其图象的对称轴10, 5t ，当1t 时，总收益y有最大值，此时1x ，54x即甲种产品投资 4 百万元，乙种产品投资 1 百万元时，总收益最大（）由题意知55910101020a xxxa xy 对任意0,5x恒成立，即2210
25、 xa x 对任意0,5x恒成立，令 221g xxa x，设tx，则0, 5t，则 2221g ttat ，其图象的对称轴为2at ，当5022a，即05a时， g t在0,2a单调递增，在, 52a单调递减，且 05gg，min( )52 590g tga，得9 510a ，又05a，9 5510a，当5522a，即52 5a时， g t在0,2a单调递增，在, 52a单调递减，且 05gg，可得 min( )010g tg，符合题意，52 5a当52a，即2 55a时，易知 2221g ttat 在0, 5单调递增，可得 min( )010g tg恒成立，2 55a，综上可得9 5510
26、a实数a的取值范围是9 5,510【点睛】本题主要考查了函数的应用，一元二次不等式恒成立问题，利用一元二次函数对称性与区间的关系是解决本题的关键，还考查了分类讨论，运算求解的能力，属于难题.22.定义在R上的函数 fx满足：对于任意实数, x y都有 12f xyf xfy恒成立，且当0 x 时， 12f x （）判定函数 fx的单调性，并加以证明；（）设 ln ,0,xxeg xexex，若函数 1F xf g xfk有三个零点从小到大分别为, ,a b c，求 22a baba b g c的取值范围【答案】 （） fx在R上为增函数；见解析（）12,1ee【解析】【分析】（）根据函数的单调
27、性的定义，结合抽象函数的关系公式进行证明即可；（） 根据抽象函数关系，由 0F x 进行转化得到 0f g xkf，由 fx在R上为增函数，得到 g xk，利用数形结合进行得到kae，kbe，eck求解.【详解】 （） fx在R上为增函数，证明：设12xx，则210 xx，则 2121112112f xf xf xxxf xf xx，210 xx，当0 x 时， 12f x 2112f xx，即21102f xx，即 21f xf x，所以 fx在R上为增函数；（）由 10F xf g xfk 得 1122f g xfk，又 100002fff， 102f，即 102f g xfkf， 0f
28、g xkf，由（1）知 fx在R上单调递增， g xk，所以题意等价于 yg x与yk的图象有三个不同的交点（如下图） ，则01k，且kae，kbe，eck， 22kka baba b g cab abkeek ，令 ,(01)xxh xeexx，设1201xx，则212122212111xxxxeeh xh xxxee211212211xxxxxxeeexxe，1201xx，210 xxee，121xxe，210 xx， 21h xh x，即 h x在01x上单调递增， 01hh xh，即 121h xee，综上： 22a baba b g c的取值范围是12,1ee【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合抽象函数的关系，证明函数单调性及其应用，还考查了数形结合，转化化归的思想方法，属于难题.
