1、从勾股定理到图形面积关系的拓展从勾股定理到图形面积关系的拓展教学设计教学设计教学目标：教学目标：1.1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维。通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维。2.2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。渗透数学建模的思想。3.3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，感受数学在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，感受数学学习的魅力。学习的魅力。教学重点：教学重点：1.1.利用勾股定理，探
2、索图形间的面积关系，解决实际问题。利用勾股定理，探索图形间的面积关系，解决实际问题。教学难点：教学难点：1.1.基本图形的翻折问题，求阴影部分面积。基本图形的翻折问题，求阴影部分面积。2.2.通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。教学过程：教学过程：通过观看勾股定理的历史背景故事，以动画的形式呈现，引起学生的兴趣。通过观看勾股定理的历史背景故事，以动画的形式呈现，引起学生的兴趣。一一. .复习回顾复习回顾1.1.勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方边
3、的平方。2.2.字母表示：字母表示：（a a，b b 表示直角边，表示直角边，c c表示斜边）表示斜边）3.3. 一个直角三角形的两条直角边的长分别为一个直角三角形的两条直角边的长分别为 5cm5cm 和和12cm12cm，则斜边长为，则斜边长为_cm_cm。4.4. 如图如图. .以以的一条直角边的一条直角边 BCBC 做正方形，则正方形的面积是做正方形，则正方形的面积是_二二. .新课引入新课引入问题：在问题：在 RtRtABCABC，分别以，分别以 a,b,ca,b,c 为边向外作正方形，如图所示，则为边向外作正方形，如图所示，则 S S1 1,S,S2 2,S,S3 3有什么数量关系？
4、有什么数量关系？第一步：通过观察视频中的实验，让学生有一个直观发现，以两条直角边向外第一步：通过观察视频中的实验，让学生有一个直观发现，以两条直角边向外作的正方形中的水刚好流入了以斜边向外作的正方形，猜想作的正方形中的水刚好流入了以斜边向外作的正方形，猜想 S S1 1,S,S2 2,S,S3 3之间的关之间的关系？系？猜想；猜想；S S1 1+S+S2 2=S=S3 3. .222abcRt ABC第二步：证明猜想第二步：证明猜想. .证明：证明：222123,SaSbSc2212SSab222abc2123SScS得出结论：得出结论：直角三角形中两条直角边所在正方形的面积之和等于斜边所在正
5、方直角三角形中两条直角边所在正方形的面积之和等于斜边所在正方形的面积。形的面积。课堂练习课堂练习 1 1如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形直角三角形若正方形A A、B B、C C、D D的面积分别是的面积分别是 9 9、2525、4 4、9 9，则最大正方，则最大正方形形E E的面积是的面积是（）A.A.1313B.26B.26C.C.4747D.D.9494课堂练习课堂练习 2 2、如图，直线如图，直线l l上有三个正方形，面积分别为上有三个正方形，面积分别为 a,b,c,
6、a,b,c,若若 a=5,c=11a=5,c=11，则，则 b b 为为（）A.5A.5B.6B.6C.16C.16D.55D.55三：探究活动三：探究活动独立思考：独立思考：1.1.通过向外拓展正方形的模型，引导学生加入把每个正方形变为原来的通过向外拓展正方形的模型，引导学生加入把每个正方形变为原来的12，可以画出什么样的图形，变为可以画出什么样的图形，变为14等等，并探究和发现其实等等，并探究和发现其实 S S1 1+S+S2 2还是等于还是等于 S S3 3的。的。让学生自己思考和发现，请学生上台动手操作，并且要求会证明，呈现不同的让学生自己思考和发现，请学生上台动手操作，并且要求会证明
7、，呈现不同的图形，可以是长方形，可以是三边为直角边的等腰直角三角形，还可以是三边图形，可以是长方形，可以是三边为直角边的等腰直角三角形，还可以是三边为斜边的等腰直角三角形等多种多样的图形拓展。为斜边的等腰直角三角形等多种多样的图形拓展。GHAEDCB基本模型：基本模型：小组合作：小组合作：2.2.刚才是在正方形的基础上去思考，现在是自由去构造任何图形，通过小组的刚才是在正方形的基础上去思考，现在是自由去构造任何图形，通过小组的讨论，合作探究，所构造的图形要求讨论，合作探究，所构造的图形要求 S S1 1+S+S2 2=S=S3 3，并证明，并证明. .试一试：如果以直角三角形的三条边试一试：如
8、果以直角三角形的三条边 a a，b b，c c 为边，向外分别作图形，你是否为边，向外分别作图形，你是否能画出这三个图形也满足能画出这三个图形也满足 S S1 1+S+S2 2=S=S3 3呢？呢？在黑板上呈现学生学习单上能想到的基本图形，比如说正三角形和半圆，以在黑板上呈现学生学习单上能想到的基本图形，比如说正三角形和半圆，以这两个为重点，分析并且证明，在黑板上板书完整的证明过程。这两个为重点，分析并且证明，在黑板上板书完整的证明过程。拓展一拓展一: : 如图，如果以直角三角形的三条边如图，如果以直角三角形的三条边 a a，b b，c c 为边，向外分别作正三角为边，向外分别作正三角形，那么
9、是否存在形，那么是否存在 S S1 1+S+S2 2=S=S3 3呢？呢？拓展二拓展二222123333,444SaSbSc222212333()444SSabab222abc212334SScS如图，如果以直角三角形的三条边如图，如果以直角三角形的三条边 a a，b b，c c 为直径，向外分别作半圆，那为直径，向外分别作半圆，那么么S S1 1+S+S2 2=S=S3 3依然成立吗？依然成立吗？四：模型翻折四：模型翻折通过前面所画的许多基本的图形，我们可以通过前面所画的许多基本的图形，我们可以把斜边向外拓展的图形向上翻折，就会与以两条直角边向外拓展的图形产生重把斜边向外拓展的图形向上翻折，
10、就会与以两条直角边向外拓展的图形产生重叠部分，从而求面积之间的关系。叠部分，从而求面积之间的关系。通过几何画板的演示，让学生充分感受这个翻折的过程，有直观感受性。通过几何画板的演示，让学生充分感受这个翻折的过程，有直观感受性。变式变式 1:1:如图，已知如图，已知ABCABC 的三边长为别为的三边长为别为 5 5，1212，1313，分别以三边为直径向上，分别以三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积之和作三个半圆，求图中阴影部分的面积之和. .变式变式 2 2： 如图，在如图，在 RtRtABCABC 中，中，ACB=90ACB=90，AC=AC= 3,3, BC=BC= 4 4，分别
11、以，分别以 AB,AC,BCAB,AC,BC 为边在为边在 ABAB 的同侧作正方形的同侧作正方形ABEFABEF , , 正方形正方形 ACPQACPQ 正方形正方形 BDMCBDMC，四块阴影部分的面积分别为，四块阴影部分的面积分别为 S S1 1,S,S2 2,S,S3 3,S,S4 4，则则S S1 1+S+S2 2+S+S3 3+S+S4 4等于（等于（）2211a1s()a228222311,88sbsc同理，222212111()888ssabab222abc212318sscs变式三：自己通过两题翻折，自己来探索面积之间的关系，自己来编题变式三：自己通过两题翻折，自己来探索面积
12、之间的关系，自己来编题. .五：课堂小结五：课堂小结1.1.学习了这节课谈谈你的收获？学习了这节课谈谈你的收获？结论：在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直结论：在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和。角边上所画的与其相似的图形的面积之和。2.2.图形拓展基本模型：图形拓展基本模型：a a2 2+b+b2 2=c=c2 2S S1 1+S+S2 2=S=S3 32.2.数学思想：类比思想数学思想：类比思想六：课后作业六：课后作业见由勾股定理到图形面积关系的拓展测评练习。见由勾股定理到图形面积关系的拓展测评练习。
