1、1.3 证明证明第第1 1章章 三角形的初步认识三角形的初步认识情境引入学习目标1.理解证明的概念，掌握证明的步骤.（重点）2.理解并掌握三角形的外角的概念3.能够在能够复杂图形中找出三角形的外角.（难点）4.掌握三角形的一个外角的性质（重点）5.会利用三角形的外角性质解决问题.复习引入1.在ABC中，A=80,B=52,则C=.3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？48 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，它们的和是180.2.如图，在ABC中，A=70,B=60,则ACB=，ACD=.ABCD50 130BDCAO40 70？问题：发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式
2、，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知BAC=40，ABC=70.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？利用“三角形的内角和为180”来求BCD，你会吗？思考：像BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.这节课让我们一起来探讨吧.BDCAO40 70？由三角形内角和易得BCA=180ACBA=70，所以BCD=180BCA=110.思思 考考2+1=3，23+1=7，235+1=31，2357+1=211，于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数.他的结论正确吗？试一试：计算
3、一下235711+1与23571113+1，你发现了什么？证明的概念1 （2）如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想：当a b时，a2 b2.这个命题是真命题吗？（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于（n-2）180.这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？探讨归纳探讨归纳 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.定义：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.已知：如图，在ABC中，C=90.证明：A+B+C=180（三角形的内角和等于180），又C=9
4、0（已知），A+B=180-C=90(等式的性质).此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理.方法归纳：演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据.典例精析ABl1l2l3()3已知：如图，直线l3分别与l1、l2交于点,点，且，且=.你能根据图写出此定理的已知和求证吗？如果命题已给出已知和求证,就可以按照所学有关公理、定理、性质等直接进行证明了.如果要证明一个文字语言叙述的证明题,而没有给出图形、已知、求证,我们要证明这个命题,必须:1.首先必须根据命题的要求准确的画出图形,标出字母.2.再根据
5、要求按照图中所标字母写出数学语言表示的已知和求证.证明：=3=23=21=lll1l2l3AB)1(2)3(已知)，(对顶角相等)，(等量代换).(同位角相等,两直线平行).三角形的外角的概念定义如图，把ABC的一边BC延长，得到ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.ACD是ABC的一个外角CBAD2问题1 如图，延长AC到E,BCE是不是ABC的一个外角？DCE是不是ABC的一个外角？E在三角形每个顶点处都有两个外角.ACD 与BCE为对顶角，ACD=BCE；CBADBCE是ABC的一个外角，DCE不是ABC的一个外角.问题2 如图，ACD与BCE有什么关系
6、？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ABC画一画 画出ABC的所有外角，共有几个呢?每一个三角形都有6个外角 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.三角形的外角应具备的条件：角的顶点是三角形的顶点；角的一边是三角形的一边；另一边是三角形中一边的延长线.ACD是ABC的一个外角，CBAD 每一个三角形都有6个外角FABCDE如图,BEC是哪个三角形的外角？AEC是哪个三角形的外角？EFD是哪个三角形的外角？BEC是AEC的外角.AEC是BEC的外角.EFD是BEF和DCF的外角.练一练三角形的外角ACBD相邻的内角相邻的内角不相邻的内角三角形的外角的性质问题1 如图，ABC的外角B
7、CD与其相邻的内角ACB有什么关系？BCD与ACB互补.3问题2 如图，ABC的外角BCD与其不相邻的两内角(A、B)有什么关系？三角形的外角ACBD相邻的内角相邻的内角不相邻的内角A+B+ACB=180BCD+ACB=180，A+B=BCD.你能用作平行线的方法证明此结论吗？D证明：过C作CEAB，ABC121=B，（两直线平行，同位角相等）2=A，（两直线平行，内错角相等）ACD=1+2=A+B.E已知：如图，ABC，求证：ACD=A+B.三角形内角和定理的推论ABCD(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.应用格式：ACD是ABC的一个外角 ACD=A+B.知识要点练一练：说出下列图
8、形中1和2的度数：ABCD(80 60(21(1)ABC(2150 32(2)1=40,2=140 1=18,2=130 例1 如图,A=42,ABD=28,ACE=18,求BFC的度数.BEC是AEC的一个外角，BEC=A+ACE，A=42，ACE=18，BEC=60.BFC是BEF的一个外角，BFC=ABD+BEF，ABD=28，BEC=60，BFC=88.解：FACDEB典例精析例2 如图，P为ABC内一点，BPC150，ABP20，ACP30，求A的度数解析：延长BP交AC于点E，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出A的度数E解：延长BP交AC于点E，则BPC、PEC分别为PCE
9、、ABE的外角，BPCPECPCE，PECABEA，PECBPCPCE 15030120.APECABE12020100.【变式题】(一题多解)如图，A=51，B=20，C=30，求BDC的度数.ABCD(51 20 30 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.ABCD(20 30 解法一：连接AD并延长至点E.在ABD中，1+ABD=3，在ACD中，2+ACD=4.因为BDC=3+4，BAC=1+2，所以BDC=BAC+ABD+ACD=51+20+30=101.你发现了什么结论？ABCD(51 20 30 解法二：延长BD交AC于点E.1=ABE+BAE，BDC=1+ECD
10、.BDC=BAC+ABD+ACD =51+20+30=101.解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.总结：解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.如图 ，试比较2、1的大小；如图 ，试比较3、2、1的大小.12图1图2解：2=1+B,21.解：2=1+B,3=2+D,321.拓展探究三角形的外角大于与它不相邻的内角.三角形的外角和例3 如图，BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角，它们的和是多少？解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得BAE=2+3，CBF=1+3,ACD=1+2.又知又知1+2+3=180
11、，所以所以BAE+CBF+ACD=2(1+2+3)=360.ABCEFD(213你还有其他解法吗？4解法二：如图，BAE+1=180，CBF+2=180 ，ACD+3=180 .又知1+2+3=180，+得BAE+CBF+ACD+(1+2+3)=540，所以BAE+CBF+ACD=540-180=360.ABCEFD(213解法三：过A作AM平行于BC，所以3 4BC1234A2 BAM，所以 1 2 3 1 4 BAM=360.M所以2 3 4BAM，结论：三角形的外角和等于360.思考：你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？DEF 1.判断下列命题的对错.（1）三角形的外角和是指三角形的所
12、有外角的和.（）（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.（）（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.（）（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.（）（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（）2.如图，AB/CD，A37,C63，那么F等于 （）FABECDA.26B.63C.37D.60A3.（1）如图，BDC是_ 的外角,也是 的外角；(2)若B=45，BAE=36,BCE=20,试求AEC的度数.ABCDEADEADC解：根据三角形外角的性质有ADC=B+BCE,AEC=ADC+BAE.所以AEC=B+BCE+BAE
13、=45+20+36=101.解：因为ADC是ABD的外角，在ABC中，B+BAC+C=180，C=180-40-70=70.所以ADC=B+BAD=80.又因为B=BAD，AB18040,2B所以CDABCDE12FG解：1是FBE的外角,1=B+E,同理2=A+D.在CFG中,C+1+2=180,A+B+C+D+E =180.5.如图，求A+B+C+D+E的度数.能力提升：123BACPNMDEF6.如图，试求出ABCDEF=_.360三角形的外角定 义角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线性 质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三 角 形的 外 角和三角形的外角和等于360
