浙教版数学八年级上册1-证明课件.ppt

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1、1.3 证明证明第第1 1章章 三角形的初步认识三角形的初步认识情境引入学习目标1.理解证明的概念,掌握证明的步骤.(重点)2.理解并掌握三角形的外角的概念3.能够在能够复杂图形中找出三角形的外角.(难点)4.掌握三角形的一个外角的性质(重点)5.会利用三角形的外角性质解决问题.复习引入1.在ABC中,A=80,B=52,则C=.3.什么是三角形的内角?其内角和等于多少?48 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角,它们的和是180.2.如图,在ABC中,A=70,B=60,则ACB=,ACD=.ABCD50 130BDCAO40 70?问题:发现懒羊羊独自在O处游玩后,灰太狼打算用迂回的方式

2、,先从A前进到C处,然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路,红太狼则直接在A处拦截懒羊羊,已知BAC=40,ABC=70.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处?利用“三角形的内角和为180”来求BCD,你会吗?思考:像BCD这样的角有什么特征吗?猜想它的性质.这节课让我们一起来探讨吧.BDCAO40 70?由三角形内角和易得BCA=180ACBA=70,所以BCD=180BCA=110.思思 考考2+1=3,23+1=7,235+1=31,2357+1=211,于是,他根据上面的结果并利用质数表得出结论:从质数2开始,排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数.他的结论正确吗?试一试:计算

3、一下235711+1与23571113+1,你发现了什么?证明的概念1 (2)如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想:当a b时,a2 b2.这个命题是真命题吗?(3)我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和,得到一个结论:n边形的内角和等于(n-2)180.这个结论正确吗?是否有一个多边形的内角和不满足这一规律?探讨归纳探讨归纳 通过特殊的事例得到的结论可能正确,也可能不正确.定义:根据条件、定义以及基本事实、定理等,经过演绎推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.已知:如图,在ABC中,C=90.证明:A+B+C=180(三角形的内角和等于180),又C=9

4、0(已知),A+B=180-C=90(等式的性质).此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据,因此我们把它也作为定理.方法归纳:演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基本事实与已知的定理外,等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据.典例精析ABl1l2l3()3已知:如图,直线l3分别与l1、l2交于点,点,且,且=.你能根据图写出此定理的已知和求证吗?如果命题已给出已知和求证,就可以按照所学有关公理、定理、性质等直接进行证明了.如果要证明一个文字语言叙述的证明题,而没有给出图形、已知、求证,我们要证明这个命题,必须:1.首先必须根据命题的要求准确的画出图形,标出字母.2.再根据

5、要求按照图中所标字母写出数学语言表示的已知和求证.证明:=3=23=21=lll1l2l3AB)1(2)3(已知),(对顶角相等),(等量代换).(同位角相等,两直线平行).三角形的外角的概念定义如图,把ABC的一边BC延长,得到ACD,像这样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.ACD是ABC的一个外角CBAD2问题1 如图,延长AC到E,BCE是不是ABC的一个外角?DCE是不是ABC的一个外角?E在三角形每个顶点处都有两个外角.ACD 与BCE为对顶角,ACD=BCE;CBADBCE是ABC的一个外角,DCE不是ABC的一个外角.问题2 如图,ACD与BCE有什么关系

6、?在三角形的每个顶点处有多少个外角?ABC画一画 画出ABC的所有外角,共有几个呢?每一个三角形都有6个外角 每一个顶点相对应的外角都有2个,且这2个角为对顶角.三角形的外角应具备的条件:角的顶点是三角形的顶点;角的一边是三角形的一边;另一边是三角形中一边的延长线.ACD是ABC的一个外角,CBAD 每一个三角形都有6个外角FABCDE如图,BEC是哪个三角形的外角?AEC是哪个三角形的外角?EFD是哪个三角形的外角?BEC是AEC的外角.AEC是BEC的外角.EFD是BEF和DCF的外角.练一练三角形的外角ACBD相邻的内角相邻的内角不相邻的内角三角形的外角的性质问题1 如图,ABC的外角B

7、CD与其相邻的内角ACB有什么关系?BCD与ACB互补.3问题2 如图,ABC的外角BCD与其不相邻的两内角(A、B)有什么关系?三角形的外角ACBD相邻的内角相邻的内角不相邻的内角A+B+ACB=180BCD+ACB=180,A+B=BCD.你能用作平行线的方法证明此结论吗?D证明:过C作CEAB,ABC121=B,(两直线平行,同位角相等)2=A,(两直线平行,内错角相等)ACD=1+2=A+B.E已知:如图,ABC,求证:ACD=A+B.三角形内角和定理的推论ABCD(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.应用格式:ACD是ABC的一个外角 ACD=A+B.知识要点练一练:说出下列图

8、形中1和2的度数:ABCD(80 60(21(1)ABC(2150 32(2)1=40,2=140 1=18,2=130 例1 如图,A=42,ABD=28,ACE=18,求BFC的度数.BEC是AEC的一个外角,BEC=A+ACE,A=42,ACE=18,BEC=60.BFC是BEF的一个外角,BFC=ABD+BEF,ABD=28,BEC=60,BFC=88.解:FACDEB典例精析例2 如图,P为ABC内一点,BPC150,ABP20,ACP30,求A的度数解析:延长BP交AC于点E,构造三角形的外角,再利用外角的性质即可求出A的度数E解:延长BP交AC于点E,则BPC、PEC分别为PCE

9、、ABE的外角,BPCPECPCE,PECABEA,PECBPCPCE 15030120.APECABE12020100.【变式题】(一题多解)如图,A=51,B=20,C=30,求BDC的度数.ABCD(51 20 30 思路点拨:添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.ABCD(20 30 解法一:连接AD并延长至点E.在ABD中,1+ABD=3,在ACD中,2+ACD=4.因为BDC=3+4,BAC=1+2,所以BDC=BAC+ABD+ACD=51+20+30=101.你发现了什么结论?ABCD(51 20 30 解法二:延长BD交AC于点E.1=ABE+BAE,BDC=1+ECD

10、.BDC=BAC+ABD+ACD =51+20+30=101.解法三:连接延长CD交AB于点F(解题过程同解法二).总结:解题的关键是正确的构造三角形,利用三角形外角的性质及转化的思想,把未知角与已知角联系起来求解.如图 ,试比较2、1的大小;如图 ,试比较3、2、1的大小.12图1图2解:2=1+B,21.解:2=1+B,3=2+D,321.拓展探究三角形的外角大于与它不相邻的内角.三角形的外角和例3 如图,BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角,它们的和是多少?解:由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得BAE=2+3,CBF=1+3,ACD=1+2.又知又知1+2+3=180

11、,所以所以BAE+CBF+ACD=2(1+2+3)=360.ABCEFD(213你还有其他解法吗?4解法二:如图,BAE+1=180,CBF+2=180 ,ACD+3=180 .又知1+2+3=180,+得BAE+CBF+ACD+(1+2+3)=540,所以BAE+CBF+ACD=540-180=360.ABCEFD(213解法三:过A作AM平行于BC,所以3 4BC1234A2 BAM,所以 1 2 3 1 4 BAM=360.M所以2 3 4BAM,结论:三角形的外角和等于360.思考:你能总结出三角形的外角和的数量关系吗?DEF 1.判断下列命题的对错.(1)三角形的外角和是指三角形的所

12、有外角的和.()(2)三角形的外角和等于它的内角和的2倍.()(3)三角形的一个外角等于两个内角的和.()(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.()(5)三角形的一个外角大于任何一个内角.()(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.()2.如图,AB/CD,A37,C63,那么F等于 ()FABECDA.26B.63C.37D.60A3.(1)如图,BDC是_ 的外角,也是 的外角;(2)若B=45,BAE=36,BCE=20,试求AEC的度数.ABCDEADEADC解:根据三角形外角的性质有ADC=B+BCE,AEC=ADC+BAE.所以AEC=B+BCE+BAE

13、=45+20+36=101.解:因为ADC是ABD的外角,在ABC中,B+BAC+C=180,C=180-40-70=70.所以ADC=B+BAD=80.又因为B=BAD,AB18040,2B所以CDABCDE12FG解:1是FBE的外角,1=B+E,同理2=A+D.在CFG中,C+1+2=180,A+B+C+D+E =180.5.如图,求A+B+C+D+E的度数.能力提升:123BACPNMDEF6.如图,试求出ABCDEF=_.360三角形的外角定 义角一边必须是三角形的一边,另一边必须是三角形另一边的延长线性 质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三 角 形的 外 角和三角形的外角和等于360

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