1、1教学基本信息课题12.11 勾 股 定 理是否属于地方课程或校本课程否学科数学学段： 初中年级八年级相关领域图形与几何教材书名：义务教育教科书出版社：北京出版社出版日期：2015 年 1 月指导思想与理论依据课程标准中指出“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。教师要向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流中掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验” 。“中国学生发展核心素养”中明确指出，中学生要发展成为具有人文底蕴、科学精神、学会学习、责任担当的人。教学中应该注重提高学生的核心素养，为学生的发展服务。建构主义认为，知识
2、不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境下，借助其他人(包括教师和学习伙伴)的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。因此，在本节课中我创设了有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过数格子计算面积、思考直角三角形三边的关系、探索证明勾股定理的方法、与同学探讨交流，从而获得知识，形成技能，发展思维，同时通过介绍我国早于国外发现勾股定理的历史，培养学生的社会责任感，增强学生的人文底蕴和民族自豪感。教学背景分析1.1. 知识知识背景背景：勾股定理是几何学中最重要、最基本的定理之一，它有着丰富的历史背景，在理论上占有重要地位。新课程标准对这一内容的明确要求是探索勾股定理，并运用勾股定
3、理解决简单的实际问题，本节课以此为依据进行设计，力求让学生在学习过程中体会勾股定理的发现过程，有效掌握勾股定理并加以运用。勾股定理的学习建立在等腰三角形、直角三角形、全等三角形等有关知识的基础之上,揭示了直角三角形三边之间的数量关系，既是直角三角形性质的拓展，又是后续学习解直角三角形及圆中有关计算的必备知识；它紧密联系了数学中最基本的两个量数和形，能够把形转化成三边的数量关系，既是数形结合的典范，又体现了转化和方程思想。22.学生学情：学生学情：（1）从认知基础的角度，学生已经学习了三角形的知识，掌握了直角三角形及特殊直角三角形的一般性质，会利用全等三角形的性质和判定解决简单的数学问题，具备一
4、定的逻辑推理能力。（2）我校是一所山区农村中学，学生有较高的学习热情但接受能力较慢，虽然已初步具有合理探究的意识，但是本节课通过拼图采用“面积证法”证明勾股定理，学生会感到陌生，理解起来比较困难。为了解学生关于“面积证法”的掌握程度，我做了前测，数据如下：八年级 （43 人）作答情况人数（人）百分比（%）简单分析问题 1能根据直角三角形中两条直角边长，写出斜边长。614.0答对的人都是用尺子测量的，说明学生不了解勾股定理。问题 2能正确写出三角形、正方形的面积公式。3888.4大多数学生掌握了本节课所需的面积公式。问题 3能用规则图形面积之差求出不规则图形的面积。3069.8多一半学生能用面积
5、之差解决简单问题。问题 4理解图形所表示的意思，能辨别图形表示的是平方差公式。3274.4大部分学生能理解图形所表示的意思并能选出所对应的公式。问题 5利用图形面积法验证完全平方公式。818.6学生不会用“面积证法”验证完全平方公式。教学重点：教学重点：探索勾股定理的证明方法教学难点：教学难点：发现勾股定理的证明方法和灵活运用面积法证明勾股定理教学方式：教学方式：启发式、讲授式、探究式技术准备：技术准备：PPT 演示文稿教学目标知识与技能：知识与技能：体验勾股定理的探索过程，运用勾股定理进行简单计算。过程与方法过程与方法：在探索勾股定理的过程中，解数学问题的形成过程，体会从特殊到一般的数学思想
6、；从勾股定理的多种证明方法中，体会解决问题方法的多样性；在定理应用的过程中，体会数形结合的思想。3情感态度与情感态度与价值观：价值观：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情；在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神；鼓励学生善于观察生活中的数学。教学流程示意(可选项)借助情境，引发思考了解历史，探求新知理解定理，应用新知总结回顾，升华提高自我诊断，巩固反馈教学过程(表格描述)教学阶段教师活动学生活动设置意图问题引入，引发思考问题问题：某楼房二楼失火，消防队员赶来救火，了解到二楼距地面的高为 4 米，如果消防队员的云梯的底部离墙基的距离是 3 米，请问云梯需要多长才能进入二楼
7、灭火？要想解决这个问题就要了解直角三角形的三边之间存在着怎样的关系。理解题意， 体会实际生活中所蕴含的数学问题。 同时， 锻炼学生将实际问题抽象成数学问题的能力。问题是一切学习探究的前提，通过问题激发学生好奇、探究的欲望，使他们积极主动地投入到探索活动中去，同时由实际问题入手，使学生接受起来自然、 贴切。了解历史（一）了解历史，初步感知相传 2500 年前古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客的时候，偶然间发现朋友家的地砖上竟然反映着直角三角形三边的某种对应关系， 下面我们也来看看彩色部分的图案，你能从中发现什么呢？4，探求新知教师引导：毕达哥拉斯发现以等腰直角三角形三边为边长，分别向外作三个正
8、方形，问题：1. 这三个正方形的面积之间存在什么关系？2. 回忆正方形的面积公式，把你得到的有关面积的结论转化成等腰直角三角形三边的数量关系，应该如何叙述？通过刚才的问题我们发现等腰直角三角形的三边具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”这一结论。（二）动手操作，探求新知活动：计算面积，验证猜想：将直角三角形放入一张以每个小格边长为单位 1 的表格中，以直角三角形的三边为边长，分别向外作三个正方形，探究直角三角形三边的关系。观察方格纸中的图形，完成以下几个问题：图（1）观察图（1） ：若三个正方形的面积分别为 S1、S2、S3，请你通过数方格的方法，分别计算 S1、S2、S3的值，并寻找三者之间
9、的关系？S1=，S2=，S3=；S1S2S3，观察分析图形 可以发现， 以等腰直角三角形三角形两直角边为边长的小正方形的面积和， 等于以斜边为边长的正方形的面积。通过数格子计算正方形的面积， 将三个正方形面积之间的关系转化成直角三角形三边之间的关系， 初步探究直角三角形三边的关系。数 学 来 源 于 生活，并服务于生活，从现实生活中提出问题，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境。渗透从特殊到一般的数学思想。发挥学生的主体作用的 同时培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力。旋转旋转S3S2S1S3S2S15ab图（2）图（3）观察图（2） ：若三个正方形的边长分别为 a、b、c，上述关系可
10、表示为：观察图（3） ：当隐去三个正方形之后，a、b 分别表示直角三角形的两条边，c 表示边，所以直角三角形的三条边，也可以用关系式表示为：。教师归纳：由此可见，直角三角形得两条直角边的平方和也等于斜边的平方和。但是要想使我们的结论更加坚实可信，必须进行严格的推理证明。（三）开动脑筋，探索证明1命题证明：已知：在ABC 中，C=90求证：a2+b2=c2教师引导得到一种证法：教师提示：我们由三个正方形的面积发现了直角三角形三边的数量关系，那能不能还利用正方形的面积与直角三角形三边的数量关系来解决证明问题呢？我们可以从两方面想：由c2你想到什么？由a2+b2你想到什么？以 c 边长的正方形面积以
11、 a、 b 为边长的正方形面积之和画出图形画出图形在学案上完成， 师友小组互相讨论交流， 得到猜想： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方和。学生同教师一起归纳已知、求证。在教师的引导下探究勾股定理的证明方法。在不能用数格子方法计算面积证明 定 理 的 情 况下，引导学生用不同方法证明。意在为“勾股圆方图”证法搭好台阶，使学生明白这种证法的思考过程，同时为下面学生拼图探究打好基础。bacABCcbca6没有网格不能证明，换种方法：如果将以 c 为边长的正方形面积用含有 a、b 的图形拼接，拼接的结果是a2+b2，也能证明a2+b2=c2。如下图：观察图形特点：大正方形面积=四个全等的直角
12、三角形面积+中间小正方形的面积。通过计算面积，证明定理。面积法：像这样用不同方法表示同一个图形的面积的方法叫做面积法。2爱国主义教育：这种证法，是我国三国时期吴国的数学家赵爽最早提出来的，他称这幅图为“勾股圆方图” 。据周髀算经记载，早在 3100 多年前，商高就提出把直角三角形较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，从而得名勾股定理。这比毕达哥拉斯发现定理早近 600 年！其实我们人体也能表达勾股定理，把胳膊弯起来，小臂与大臂夹角成 90时，小臂叫做“勾” ，大臂叫做“股” ，拳头与肩膀的连线叫做 “弦” 。3. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方符号语言：在AB
13、C 中，C=90,a2+b2=c2(勾股定理）或222BCACAB说明：勾股定理的用处： 已知直角三角形的任意两边长， 可以求出第三边的长。在运用勾股定理时，要根据表示直角的字母，确定它所对的斜边和与之相邻的直角边， 再利用勾股定理表示“两直角边的平方和等于斜边的平方” 。 c b a22222222=+41()4222SSScbaa bcbabaabcba 大正方形小正方形直角三角形理解证明方法的思考过程， 体会数形结合思想。理解面积法。了解历史， 对数学知识产生浓厚兴趣。与教师一起做动作， 感受数学知识充满趣味。与教师总结定理， 完善符号语言。明确勾股定理的作用。小组合作进行拼图， 在拼图
14、的过程中思考如何证通过介绍我国古代数学家在勾股定理研究方面的卓越成就，培养学生的民族自豪感和爱国情怀。加深对勾股定理的理解。从文字语言、图形语言、符号语言三方面，强化对定理认识。让学生加深对定理的理解，明确定理应用中所注意的问题。通过拼图活动，为学生提供从事数 学 活 动 的 机会，在小组合作探究中，培养学bacABC74尝试多种方法证明：勾股定理有许多种证明方法，你能用准备好的 4 个全等的直角三角形或其中两个直角三角形拼成图形，用新的方法证明a2+b2=c2吗？以小组为单位，试一试，拼一拼。小组展示证明方法：预设方法 1：预设方法 2：5.介绍不同证法：世界上对这一问题的证法多达 400
15、多种，就连美国第二十任总统伽菲尔德也对其进行了证明。 c b a明定理。小组代表展示拼图结果并阐述证明方法。了解证法有很多种， 体会证法的多样性。生独立思考、协作探究的能力。建立初步的空间观念，发展形象思维，体会数学中的数形结合思想，同时进一步加深对“面积证法”的理解。让学生了解勾股定理的证法多达400 多种，介绍了美国总统的证法，使学生体会数学证明的灵活多样性，鼓励学生在课余时间进行资料查阅，提高学习数学的兴趣。理解定理，应用新知例 1:解决引入的问题巩固练习：1已知：在ABC 中，C=90，A、 B、C 的对边分别为 a、b、c。 a=1，b=1，则 c=； c=5，a=3，则 b=；2.
16、直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长是多少？学生思考并回答问题。加深对勾股定理的理解，准确把握直角三角形三边之间的数量关系。总通过本节课的学习，你有哪些收获？反思总结本使学生初步体会直角三角形小正方形大正方形4SSSbacba214)(22222cbaabcbaba22222bacABC8结回顾，升华提高节课所学知识， 用到了哪些数学思想和方法。勾股定理的意义及作用，感受本节课蕴含的数学方法。鼓励学生用数学的眼光发现问题，用数学的 方 法 解 决 问题，用数学探究精神推动科学的发展与社会的进步。自我诊断，巩固反馈已知：在ABC 中，C=90，A、 B、C 的对边分别为 a、b、c。
17、 a=1，b=1，则 c=；c=10，b=8，则 a=。六、作业：六、作业：1基础：P119， 1、22提升：P119，提升 13.查阅、收集有关勾股定理的历史资料及证明方法，做一张勾股定理手抄报。独立完成， 小组内互判。加深对定理的理解，对本节课所学知识进行自我诊断。本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500 字数)本节课的特色主要有以下几个方面：1.以学生为主体，教师为主导：在教学中，力争让每一个学生在自主探究与合作交流中都获得相应的发展与提升，课堂上通过学生的交流讨论、上台展示、讲解证明方法等，给学生创造了展示自我以及合作探究的空间，使数学课更生动、活泼，从而体现学生的主体
18、性。2.层层台阶，分解难点：本节课在证法的探究过程中，没有直接给学生 4 个直角三角形纸片去拼接、证明，而是逐步给学生搭台阶，从“动手操作数格子计算面积”到“换个思路表达面积” ，将以 c 为边长正方形，用一个以 c 为斜边长的直角三角形填充、两个、三个、四个，说明中间空白是小正方形。这样在学生已有知识和经验的基础上，引导学生一步步建立图形，理解证法，其实这个过程也是在还原“勾股圆方图”的形成过程。在这样的探究过程中，学生理解了证明的思考过程，体会证法的美妙之处，同时还为下面小组探究拼图证法提供了借鉴的思路。3.通过介绍我国古代数学家在勾股定理研究方面的卓越成就，培养学生的社会责任感，增强学生的人文底蕴和民族自豪感，从而提高学生的核心素养，为学生的发展服务。bacABCbacABC9
