1、1课题名称：课题名称： 19.2 二次函数二次函数)0(2acbxaxy的图象（的图象（1）教师姓名： 李鑫亚教学背景分析教学背景分析（一）学习内容分析函数是中学数学数与代数领域内的重要内容，在初中阶段，学生通过对函数表达式和函数图象的研究，初步了解函数的性质，其中函数图象是对函数关系的直观表现.“二次函数)0(2acbxaxy的图象”是北京市义务教育教科书数学九年级上册第十九章 二次函数的一节重要内容，是在学生学习了函数图象的画法、一次函数有关内容、以及二次函数概念的基础上，进一步研究二次函数的图象.本节课是学生研究二次函数图象的第一课时，是二次函数一章的核心内容，是后续研究二次函数其他表达
2、式图象以及研究二次函数性质的基础；同时，由于函数的学习联系性强，所以学好本节课，可以帮助学生进一步丰富研究函数的内容和方法，为今后的函数学习奠定基础.本节课以程序性知识为主要目标，根据程序性知识的教学要求，存在以下必要的教学环节：注意与预期、激活原有知识、选择性知觉、新知识纳入原有命题网络、认知结构重建与改组、根据线索提炼方法、知识转化为技能、技能在新的情境中应用.2（二）学生情况分析课前活动课前活动 提取与回忆提取与回忆研究一次函数图象的过程研究一次函数图象的过程为了更好地了解学生情况，课前对学生进行了前期调查：1.上学期，我们已经学习了“函数图象的画法”与“一次函数的图象”两节课，请你总结
3、画函数图象的方法步骤以及注意事项.2.请你在下面的坐标纸中，尝试画出2xy 的图象【问题 1调查目的】了解学生是否能够正确理解画函数图象的方法【问题 1典型作答】【问题 1统计结果】 有 92%的学生能够说出“列表，描点，连线”；有 14.29%的学生认为“用直尺连接点”、“取两个点”、“连成一条直线”.【问题1结果分析】通过八年级的学习，学生虽然经历了画一次函数图象，但只机械的记住画一次函数图象的步骤和要求，对知识的理解还留在表层，没有将画函数图象提升到方法层面，这对他们今后的学习是不利的. 所以在课前，我针对部分学生的问题采取小组合作的方式由学生共同复习，并组织全班开展讨论；对仍有疑问的同
4、学进行单独辅导，对于他们心中的疑惑耐心解答，最终全班对函数图象的画法有所回忆.【问题2调查目的】 了解学生学习本节课之前，是否能够借鉴八年级的学习方法和经验，尝试画出二次函数2xy 的图象，为本节课的学习做好铺垫.观察一次函数表达式的特点列表，选取多个点描点，连线发 现 图 象 是一条直线采用“两点法”3【问题2典型作答】【问题2统计结果】【问题2结果分析】由于二次函数的图象结构复杂，具有自身的特殊性，学生的相关学习经验也比较有限，特别对二次函数是一条平滑的曲线的理解存在障碍，所以有将近55%的学生把二次函数2xy 的图象画成了直线或折线，针对这部分学生的问题本节课除了要作图过程明确规范外，还
5、要设计学生活动，帮助他们理解平滑曲线的的含义；另外有44.38%的把2xy 的图象画成曲线，但大部分作图不准确，所以针对这部分学生的问题，在课上引导他们动手参与，继续完善2xy 的图象.最终全班同学在“理性思维”、 “批判质疑” 、“动手实践”的过程中，会画二次函数2axy 的图象，并进一步理解画函数图象的方法.（三）教学准备PPT 演示课件、几何画板软件、坐标纸、图形计算器教学目标教学目标1. 会用描点法画出二次函数的图象，了解二次函数表达式2axy 中 a 对图象的影响.2. 在参与观察、实验、猜想、验证等数学活动的过程中，进一步掌握画函数图象的方法，积累研究函数的数学活动经验，提高归纳概
6、括的能力.3. 在正确理解平滑曲线的过程中，进一步养成理性思维、批判质疑的学习习惯.4教学重点和难点教学重点和难点教学重点：画二次函数2axy 的图象.教学难点：正确理解二次函数2axy 的图象是一条平滑曲线.教学方法教学方法教学内容与程序性知识的教学环节相融合，设计了6个学习活动（课前1个活动、课上5个活动），每个活动以小组合作探究和师生共同探究展开.认知活动运行结构图认知活动运行结构图本节课以程序性知识为主要目标，故进行如何设计：5教学过程教学过程教学教学环节环节师生活动师生活动设计意图设计意图明确明确任务任务新课新课导入导入教师点评课前调查问卷，引出新课：今天我们继续研究二次函数的图象.
7、课前同学们已经尝试画出2xy 的图象， 老师统计结果时发现同学们画的图象集中在如下 5 种，其中图象（1） （2）是一类，共同特征是把图象描绘成直线；图象（3） （4） （5）是另一类，共同特征是图象的形状大致相同.本节课我们就一起来探究2xy 的图象.图象（1）图象（2）图象（3）图象（4）图象（5）上一节课，类比一次函数的学习学生已经了解了今后学习二次函数的主要内容.本节课在上一节课的基础上开始研究二次函数的图象.通过公布课前调查结果引入新课，学生明确本节课学习任务.活动活动 1 反思与质疑反思与质疑判断判断2xy 是否为是否为“直线直线”多媒体出示调查问卷中学生画的“直线”并提问：请同学
8、们以小组为单位，讨论图象（1） 、 （2）是否能代表2xy 的图象？你的理由是什么？教师明示小组活动要求：1.组长组织本组同学有序发言； 2.有人发言时认真聆听，不得随意打断；3.存在分歧无法解决时，搁置争议，讨论结束后由全班共同解决；4.记录员统计梳理本组的发言，记录在学案上；5.汇展示学生前期调查问卷二次函数概念二次函数图象二次函数性质二次函数应用6探索探索问题问题学习学习新知新知报时大胆发言，自由表达本组观点.小组活动卡组长：小组成员：本小组结论：认同不认同暂无结论本小组的观点：理由理由理由理由预案 1：图象（1）没有过（0,0），图象（2）没有过（1,1）；预案 2：图象（1）（2）对
9、应的应该是一次函数的表达式；预案 3：图象（1）（2）的图象经过了第三、四象限.在学生发言的基础上，教师进一步总结：图象（1）（2）不是2xy 的图象，可以从数和形两个角度进行解释：1.由于02x，所以2xy 的图象应分布在第一、二象限，图象（1）（2）的图象经过了第三、四象限，所以不可能是2xy 的图象.2.一次函数的图象为直线，所以图象（1）（2）对应的应该是一次函数关系，2xy 显然不是一次函数，所以图象也应该是非直线.【问题 1】活动 1 的基础上教师进一步提问：既然2xy 的图象不是一条直线，那么它的图象应该具有哪些特征？学生发言归纳，将表达式特征与图象特征联系起来：表达式特征图象特
10、征2xy y0（x 取任意实数）图象应该在 x 轴上方（图象分布在第一、二象限）2xy 当 x 取相反数时，y 值相同图象关于 y 轴对称教师小结：画函数图象时，我们先要观察表达式特点，这样有助于我们分析函数的大致分布.分析表达式我们可以得到，2xy 的图象有三个特征：经过原点，分布在第一、二象限，与 y 轴对称.结果，学生可以清晰的认识到全班同学回答的情况，为接下来的教学做好铺垫.通过开展小组活动学生自主发现2xy 为一条非直线，从而进一步引导学生关注画函数图象的思维起点：先观察表达式的结构特征， 想象2xy 图象的分布和走向.7活动活动 2 解释与说明解释与说明2xy 的图象是的图象是抛物
11、线抛物线图象（3）图象（4）图象（5）教师继续出示其他三个图象： 通过刚才的活动我们知道了2xy 的图象不是直线，那么上述三个图象是否是2xy 的图象呢？【问题 1】请画图象（3） （4）的同学回答，你是如何作图的？预案：选点（-3，-9） ， （-2，-4） ， （-1,1） ， （0,0） （1,1） ， （2,4） ， （3,9）六个点，用折线将他们连接起来.【问题 2】其他同学同意他的观点吗？教师用图形计算器开展调查，并有请学生代表发言，说出投票的理由.学生自由表达观点， 教师引导学生给出合理解释： 如果 O （0,0） 、 A （1,1）用线段直接连接，根据两点确定一条直线，那么直线
12、 OA 对应的是一次函数关系.例如， 我们取 OA 中点 B， 易得 B （2121，） ； 把 x=21带入2xy 中，可以得到2141y，所以 B（2121，）不在2xy 的图象上.通过活动 1 学生否定2xy 的图象为直线； 从而关注表达式2xy 的特点， 得到2xy 图象的特征.借助几何画板和图形计算器，帮助学生理解 O、A 两点不能用线段直接连接8【问题 3】线段 OA 上的其他点是否在2xy 的图象上呢？请同学们用图形计算器验证.学生独立用图形计算器完成验证，教师进行巡视，大部分同学完成后1-2 名学生代表讲解验证方法和验证结果.在学生验证的基础上教师进一步小结：1.如果两点用线段
13、直接连接，根据两点确定一条直线，那么这一段所对应的表达式应该是一次函数；2.在线段上，除了两个端点之外的所有点的坐标，都不满足表达式2xy ，所以他们都不在2xy 的图象上，所以2xy 的图象应该是一条平滑曲线.【问题 4】应该如何修改图象（3） （4）？如何避免作图不准确的问题呢？图象（3） （4）应该按从左到右的顺序用平滑曲线连接；当函数图象走势不清晰时应密集取点.教师在黑板上示范画2xy 的图象， 并提醒学生要注意-1 到 0 和 0 到1 之间图象的变化趋势，以及最远端的变化趋势，组织学生用图形计算器放大单位长，帮助学生观察图象的变化趋势.学生没有疑问后开始修改课前作业.教师再次强调：
14、（1）2xy 的图象是通过原点，分布在第一、二象限，且以 y 轴为对称轴的一条曲线，我们称这条曲线为抛物线.它与对称轴的交点（0,0）叫做抛物线的顶点.（2）如果不能清晰的了解函数图象的走势，需要密集取点；点的个数越多，越密集，所画的图象越准确.【问题 5】画2xy 的图象都经历了哪些过程？教师进一步与学生共同小结：通过回顾反思，进一步明确画函数图象的方法；修改2xy 的图象， 落实本节课内容帮助同学回顾画2xy 的过程，初步形成画函数图象的一般方法观 察 表 达 式2xy 的特点列表，取点描点， 按从左到右的顺序用平滑曲线连接不能清晰的了解函数图象的走势9例题例题精讲精讲巩固巩固新知新知活动
15、活动 3 执行与实施执行与实施巩固练习巩固练习【例 1】分别在同一坐标纸中作出下列函数的图象：第一组： （1）2xy（2）22xy 第二组： （1）22xy（2）221xy 第三组： （1）221xy（2）223xy 学生分组练习作图，教师巡视.学生完成后，用实物投影展示部分学生的作业，师生共同点评，纠正画图中的问题，及时给予鼓励.几何画板展示标准作图.活动活动 4 抽象与概括抽象与概括探究探究 a 对图象的影响对图象的影响【问题 1】从表达式上观察每组函数有什么共同点和不同点？这些特点在图象上是怎么反映的？通过对练习中三组图象的观察，学生容易得出：a 对二次函数2axy 图象的开口方向和开口
16、大小有影响.【问题 2】是不是所有的二次函数2axy 的图象都具有这样的特征呢？学生用图形计算器赋予 a 不同的值，观察所得到的不同的二次函数的特通过巩固练习的教学，进一步落实学生画2axy 的技能，同时也为探究 a的作用打下基础.引导学生观察、猜想 a 的作用；学生用图形计算器进一步验证猜想.10征，进一步验证猜想的正确性.教师在学生猜想的基础上进一步总结：a 取不同的值时， 二次函数2axy 的图象都是经过原点，以 y 轴为对称轴的抛物线，并且当 a 取不同的值时，能引起抛物线开口方向和开口大小的改变：当 a0 时，抛物线的开口向上；当 a0 时，抛物线的开口向下.【拓展阅读】我们已经知道
17、了2axy 的图象为一条抛物线，同学们想了解谁是第一个发现抛物线的吗？请同学们一起与老师回到两千年前： 古希腊数学家阿波罗尼采用切割圆锥的方法来研究几种曲线.在他所著的圆锥曲线一书中提到，用一个与圆锥母线平行的平面去截圆锥，得到的平面的轮廓叫做抛物线.通过对抛物线发现的故事的介绍，开阔学生的眼界， 培养学生的创新意识.课堂课堂小结小结体验体验收获收获活动活动 5 总结与评价总结与评价梳理知识，形成方法梳理知识，形成方法学生独立填写反思卡，然后自由发言：反思卡反思卡本节课本节课我学会了：使我感触最深的是：我感到最困难的是：结合学生所述，教师给予评价和指导：在知识上本节课学习了：1. 二次函数）（
18、02aaxy的图象都是一条经过原点，以 y 轴为对称轴的抛物线；2. 当 a0 时，抛物线的开口向上；当 a0 时，抛物线的开口向下.在思想方法上：1. 画二次函数）（02aaxy图象的方法；梳理知识、形成方法，教师适时补充，提升认识112. 通过对比前期调查结果， 同学们不断反思、 质疑， 逐步修正2xy 的图象，充分体现了核心素养中“理性思维” 、 “批判质疑” 、 “勇于探究”的要求.最后教师进一步总结提升：研究函数图象的一般方法布置布置作业作业巩固巩固知识知识基础题：课本第 42 页练习 1、2提高题：继续探究二次函数）（012aaxy的图象布置不同层次的作业，让不同学生都能有所提高.
19、教学设计的说明教学设计的说明本节课是一节函数图象画法课，具有有以下特点：1.基于“认知”，尊重学生本节课以认知领域目标理论为依据，注重新旧知识间的联系，根据程序性知识的教学要求，设计符合学生认知规律的教学活动，在课前对学生进行课前调查，了解了他们对一次函数相关知识的掌握情况，同时也发现了学生对画函数图象存在的误区与障碍；在课上设计 5 个教学活动，引导学生不断质疑反思，并逐渐认识2xy 的图象是一条平滑曲线，并进一步理解了画函数图象的方法.2.技术支持，突破难点合理使用现代科学技术.在教学中，我根据实际教学情况合理的运用图形计算器，学生在动手操作中深入探究，加深理解，突破难点.12板书设计板书设计课题1.2xy 的图象2.a 对图象的影响多媒体
