1、第 1 页 共 17 页2021 届福建省普通高中学业水平合格性考试届福建省普通高中学业水平合格性考试 （会考会考 ） 适应性适应性练习（六）数学试题练习（六）数学试题一、单选题一、单选题1设函数设函数24yx的定义域的定义域A，函数，函数ln1yx的定义域为的定义域为B，则，则AB （）A1,2B1,2C2,1D2,1【答案】B【分析】求出两个函数的定义域后可求两者的交集.【详解】由240 x得22x ，由10 x 得1x ，故 | 22|1ABxxx x |12xx，故选：B.【点睛】本题考查函数的定义域和集合的交，函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号
2、na（*,2nNn，n为偶数）中，0a ；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为 1.2已知点已知点3(1 )A ，1(4)B，则与向量，则与向量AB 的方向相反的单位向量是（的方向相反的单位向量是（）A （.35.，45）B （45，35）C （35，45）D （45，35）【答案】A【分析】求出向量AB ，再利用相反向量以及单位向量的求法即可求解.【详解】由1,3A，1(4)B，所以3, 4AB ，所以向量AB 的方向相反的单位向量为3 4,5 5ABAB .故答案为：A3在等差数列在等差数列 na中，若中，若2a=4，4a=2，则，则6a=（）A-1B0C1D
3、6第 2 页 共 17 页【答案】B【分析】利用等差中项可得6a的值【详解】等差数列 na中，4262aaa，则62 240a 故选：B【点睛】本题考查等差中项的应用，考查学生计算能力，属于基础题4某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年年 1月至月至 2016 年年 12 月期间月接待游客量月期间月接待游客量（单位单位：万人万人）的数据的数据，绘制了如图所示的折线图绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加月接待游客量逐月增加
4、B年接待游客量逐年增加年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月月D各年各年 1 月至月至 6 月的月接待游客量相对于月的月接待游客量相对于 7 月至月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【分析】观察折线图可知月接待游客量每年 7，8 月份明显高于 12 月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在 7、8 月份，1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月波动性更小.【详解】对于选项 A，由图易知月接待游客量每年 7，8 月份明显高于 12 月份，故 A错；对于选项 B，观察折线图的变化趋势可
5、知年接待游客量逐年增加，故 B 正确；对于选项 C，D，由图可知显然正确.故选 A.【点睛】本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.5已知已知 m，n 表示两条不同直线，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是表示平面，下列说法正确的是A若若/ / ,/ / ,mn则则/mnB若若m，n，则，则mnC若若m，mn，则，则/ /nD若若/ /m，mn，则，则n【答案】B【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故 B 正确.第 3 页 共 17 页【解析】空间点线面位置关系6已知数列已知数列 na满足满足12430,3nnaaa ，则，则 na的前的前 10 项
6、和等于（项和等于（）A106 1 3B1011 39C103 1 3D103 1 3【答案】C【分析】求得数列的首项和公比，利用等比数列求和公式直接求解【详解】11130,3nnnnaaaa 故数列为13q 的等比数列，214,43aa 故101014 13113S 103 1 3故选：C7 九章算术九章算术中有如下问题中有如下问题:“今有勾五步今有勾五步，股一十二步股一十二步，问勾中容圆问勾中容圆，径几何径几何?”其大其大意意:“已知直角三角形两直角边长分别为已知直角三角形两直角边长分别为 5 步和步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步步，问其内切圆的直径为多少步?”则则其内切圆的直径的步
7、数为（其内切圆的直径的步数为（）A1B2C3D4【答案】D【分析】求出三角形的斜边，根据三角形面积自等，即可求出内切圆半径，进而可得结果.【详解】设内切圆半径为 R，三角形斜边为225 +12 =13，所以115 12(5 12 13)222 SRR，直径为 4故选：D8若某群体中的成员只用现金支付的概率为若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概，既用现金支付也用非现金支付的概率为率为 0.15，则不用现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为A0.3B0.4C0.6D0.7【答案】B【详解】分析：由公式 P ABP AP BP AB计算可得详解：设事件 A
8、 为只用现金支付，事件 B 为只用非现金支付，第 4 页 共 17 页则 P ABP AP BP AB1因为 P A0.45,P AB0.15所以 P B0.4，故选 B.点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题9当生物死亡后，其体内原有的碳当生物死亡后，其体内原有的碳 14 的含量大约每经过的含量大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，年衰减为原来的一半，这个时间称为这个时间称为“半衰期半衰期”.当死亡生物体内的碳当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时含量不足死亡前的千分之一时，用一般用一般的放射性探测器就测不到了的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳
9、若某死亡生物体内的碳 14 用该放射性探测器测不到用该放射性探测器测不到， 则它则它经过的经过的“半衰期半衰期”个数至少是个数至少是A8B9C10D11【答案】C【详解】设死亡生物体内原有碳 14 含量为 1，则经过 n 个半衰期后的含量为12n，由1121000n得：10n，故选 C10已知直线已知直线l：10()xayaR 是圆是圆22:4210C xyxy 的对称轴的对称轴.过点过点( 4, )Aa作圆作圆C的一条切线，切点为的一条切线，切点为B，则，则|AB A2B4 2C6D2 10【答案】C【详解】试题分析：直线 l 过圆心，所以1a ，所以切线长2( 4)14 ( 4)2 16A
10、B ，选 C.【解析】切线长11若变量若变量 x，y 满足满足2,239,0,xyxyx则则 x2+y2的最大值是的最大值是A4B9C10D12【答案】C【分析】试题分析：画出可行域如图所示，点 A（3，1）到原点距离最大，所以第 5 页 共 17 页22max()10 xy，选 C.【解析】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.【详解】12已知曲线已知曲线 C1：y=cos x，C2
11、：y=sin (2x+23)，则下面结论正确的是，则下面结论正确的是A 把把 C1上各点的横坐标伸长到原来的上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍倍， 纵坐标不变纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线个单位长度，得到曲线 C2B 把把 C1上各点的横坐标伸长到原来的上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍倍， 纵坐标不变纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线个单位长度，得到曲线 C2C 把把 C1上各点的横坐标缩短到原来的上各点的横坐标缩短到原来的12倍倍， 纵坐标不变纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移再把得到的曲线
12、向右平移6个单位长度，得到曲线个单位长度，得到曲线 C2D 把把 C1上各点的横坐标缩短到原来的上各点的横坐标缩短到原来的12倍倍， 纵坐标不变纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线个单位长度，得到曲线 C2【答案】D【详解】把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到函数 y=cos2（x+12）=cos（2x+6）=sin（2x+23）的图象，即曲线 C2，故选 D点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练
13、掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函第 6 页 共 17 页数sin()()yAxxR是奇函数()kkZ；函数sin()()yAxxR是偶函数+()2kkZ；函数cos()()yAxxR是奇函数+()2kkZ；函数cos()()yAxxR是偶函数()kkZ.13函数函数 y=| |2xsin2x 的图象可能是的图象可能是ABCD【答案】D【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在( ,)2上的符号，即可判断选择.详解：令| |( )2 sin2xf xx，因为,()2sin2()2 sin2( )xxxR fxxxf x ，所以| |( )2 sin2xf xx为奇函
14、数，排除选项 A,B;因为(,)2x时，( )0f x ，所以排除选项 C，选 D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路： （1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的循环往复14sin3x13，则，则 cosxcos3x的值为（的值为（）第 7 页 共 17 页A33B33C 13D13【答案】B【分析】运用两角差的余弦公式、辅助角公式进行求解即可.【详解】coscos3coscoscossinsin3313coscossin
15、2233cossin223sin()33.3xxxxxxxxxxx故选：B【点睛】本题考查了两角差的余弦公式的应用，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力.15已知三棱锥已知三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直的三条侧棱两两互相垂直，且且5,7,2ABBCAC，则此三棱锥的外接球的体积为则此三棱锥的外接球的体积为A83B8 23C163D323【答案】B【详解】由题意可知：可将三棱锥放入长方体中考虑，则长方体的外接球即三棱锥的外接球，故球的半径为长方体体对角线的一半，设PAx，则2227PBPCBC225471xxx，故1,2,3PAPBPC22212322R,得球的体积为：348 233
16、R第 8 页 共 17 页二、填空题二、填空题16已知函数已知函数 fx的周期为的周期为 1，且当，且当01x时，时， 2logf xx，则，则32f_【答案】1【分析】根据函数( )f x为周期函数，得31( )22ff，代入函数2( )logf xx即可得解【详解】解：因为函数( )f x是周期为 1 的周期函数，所以31( )22ff，又当01x时，2( )logf xx，所以12311lg2( )log1222lg2ff ，故答案为：117设点设点D为为ABC所在平面内一点，所在平面内一点，3BCCD ，且，且ADxAByAC ，则，则xy_【答案】1【分析】用向量的线性运算把AD用,
17、AB AC 表示可得【详解】因为3BCCD ，所以43BDBC ，ADABBD 4414()3333ABBCABACABABAC ，所以14,33xy ，1xy故答案为：1【点睛】 本题考查平面向量基本定理， 平面上任意向量都可以用不共线的向量唯一表示，根据向量线性运算法则计算即可本题实质可以利用三点,B C D共线直接得出1xy18已知钝角已知钝角ABC的面积是的面积是12，且，且1AB ，2BC ，则，则AC _【答案】5第 9 页 共 17 页【详解】三角形面积公式为11sin22SAB BCB,所以2sin2B ，若B为钝角时，则2cos2B ,由余弦定理，2222cosACABBCA
18、B BCB，解得5AC ；若B为锐角时，则2cos2B ，由余弦定理，2222cosACABBCAB BCB，解得1AC ，此时，ABC为直角边 1的等腰直角三角形，不符合题意综上，5AC .19若若,0 x y 满足满足35xyxy，则，则34xy的最小值是的最小值是_.【答案】5【分析】化简35xyxy，得到315xy，134(34 )()531xyxyxy，结合基本不等式，即可求解.【详解】由,0 x y 满足35xyxy，可得315xy，则311134(34 )()(13123)55yxxyxyyxyx1211(132)(13 12)5553yxxy，当且仅当123yxxy时，即21x
19、y时等号成立，所以34xy的最小值是5.故答案为：5.【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数） ；（2）把确定的定值（常数）变形为 1；（3）把“1”的表达式与所求的最值的表达式相乘或相除，进而构造或积为定值的形式；（4）利用基本不等式求最值.20某公司一年购买某种货物某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买吨，每次购买x吨，运费为吨，运费为 6 万元万元/次，一年的总存次，一年的总存储费用为储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费之和关于万元，则一年的总运费与总存储费之和关于x的函数表达式的函数表达式 f x _第 10 页 共
20、 17 页【答案】36004xx【分析】一年的总运费为6006x，一年的总存储费用为4x，求和即可【详解】依题意总费用为 6003600464f xxxxx，故答案为：36004xx三、解答题三、解答题21已知函数已知函数24 ,0( )1,0 xxx xf xax，(0a 且且1a )的图象经过点的图象经过点2,3（1）求）求a的值，并在直角坐标系中画出的值，并在直角坐标系中画出 yf x的图象的图象;（2）若）若 fx在区间在区间,1m m上是单调函数，求上是单调函数，求m的取值范围的取值范围【答案】 （1）12a ，作图见解析； （2）1m或01m或2m.【分析】 （1）求出12a 即得
21、函数 fx解析式，再画出函数的图象；（2）由题得函数( )f x的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(,0),(2,)，数形结合分析得解.【详解】 （1）函数( )f x的图象经过点( 2,3)，213a ，解得12a ，24 ,0,( )11,0.2xxxxf xx其图象如图所示：第 11 页 共 17 页（2） 由 （1） 可知函数( )f x的单调递增区间是(0,2)， 单调递减区间是(,0),(2,)，1 0m 或2m或1 20mm，m的取值范围为1m或01m或2m【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于数形结合分析得到1 0m 或2m或1 20mm，数形结合的思想是一种重要的数学思
22、想，在解题时要注意灵活运用.22如图，在三棱柱如图，在三棱柱111ABCABC中，中，1AA 平面平面,ABC ABAC（1）求证）求证:1ACBA（2）若）若M为为11AC的中点，问棱的中点，问棱AB上是否存在点上是否存在点N，使得，使得/ /MN平面平面11BCC B?若若存在，求出存在，求出ANNB的值，并给出证明的值，并给出证明;若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由【答案】 （1）证明见解析； （2）存在，1ANNB，证明见解析.【分析】 （1）法一：先证明1AAAC结合已知即可证明AC 平面11ABB A，易得1ACBA； 法二： 先证平面11ABB A 平面ABC， 结合ABA
23、C， 即可证明AC 平面11ABB A，易得1ACBA；（2） 法一： 取N为AB的中点， 且点,M E分别为11AC、AC的中点， 构造平面MNE，再证平面平面MNE平面11BCC B即可；法二：取点N为AB的中点，取BC的中点F，再证四边形1MNFC为平行四边形即可【详解】解：法一： （1）1AA 平面,ABC AC 平面ABC，1AAAC1,ABAC ABAAA，第 12 页 共 17 页AC平面11ABB A，又1AB 平面11ABB A，1ACAB（2）存在点N，点N为AB的中点，使得/ /MN平面11BCC B，即1ANNB证明：取AC的中点E，连接,MN ME NE，四边形11A
24、CC A是平行四边形，且点,M E分别为11AC、AC的中点，四边形1ECC M是平行四边形，1/ /MECCME 平面111,BCC B CC 平面11BCC B，/ /ME平面11BCC B点,N E分别为,AB AC的中点，/ /NEBCNE 平面11,BCC B BC 平面11BCC B，/ /NE平面11BCC BMENEE，平面MNE平面11BCC BMN 平面MNE，/ /MN平面11BCC B法二： （1）1AA 平面1,ABC AA 平面11ABB A，第 13 页 共 17 页平面11ABB A 平面ABC，且平面11ABB A 平面ABCAB,ACAB AC平面ABC，A
25、C平面11ABB A又1AB 平面11ABB A，1ACAB（2）存在点N，点N为AB的中点，使得/ /MN平面11BCC B，即1ANNB证明：取BC的中点F，连接1,MN NF C F点,N F分别为,AB BC的中点，1/ /,2NFAC NFAC111/ /,2MCAC MCAC，11/ /,MCNF MCNF四边形1MNFC为平行四边形1/ /MNC FMN 平面111,BCC B C F 平面11BCC B，MN平面11BCC B【点睛】证明线面平行几何法通常有两种：(1)通过构造平行四边形或中位线等从而证明线线平行达到线面平行的目的；(2)构造平面，通过证明面面平行从而证明线面平
26、行第 14 页 共 17 页23已知等差数列已知等差数列 na前前 5 项和为项和为 50，722a ，数列，数列 nb的前的前n项和为项和为11,1,31nnnS bbS（1）求数列）求数列 ,nnab的通项公式；的通项公式；（2）若数列）若数列 nc满足满足*12112,nnncccanNbbb，求，求122017ccc的值的值【答案】 （1）31nan；14nnb； （2）201743【分析】 （1）设等差数列 na的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式建立方程组解出首项和公差，即可求出数列 na的通项公式，再根据数列的递推公式可得数列 nb是首项为1，公比为4的等比数列，即
27、可求出数列 nb的通项公式；（2）根据数列的递推公式先求出 nc的通项公式，再分组求和可得出122017ccc的值【详解】解： （1）设等差数列 na的公差为d依题意得115 4550,2622,adad解得14,3ad，所以1(1)31naandn，当1n 时，21314bb ，当2n 时，131nnbS，131nnbS，以上两式相减得13nnnbbb，则14nnbb，又214bb，所以*14 ,nnbb nN所以 nb为首项为 1、公比为 4 的等比数列，所以14nnb；（2）因为*12112,nnncccanNbbb第 15 页 共 17 页当2n 时，111121nnncccabbb，
28、以上两式相减得1=3nnnncaab，所以133 42,nnncbn ，当1n 时，121cab，所以12 17ca b，不符合上式，所以20162201620171220174 1 473 44473431 4ccc 【点睛】给出nS与na的递推关系，求na，常用思路是：一是利用1nnnaSS转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为nS的递推关系，先求出nS与n之间的关系，再求na24某商场举行有奖促销活动某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种抽奖有两种方案可供选择方案可供选择方案一方案一:从装有从装有 4 个红球
29、和个红球和 2 个白球的不透明箱中随机摸出个白球的不透明箱中随机摸出 2 个球，若摸出的个球，若摸出的 2 个球都个球都是红球则中奖，否则不中奖是红球则中奖，否则不中奖;方案二方案二:掷掷 2 颗散子颗散子， 如果出现的点数至少有一个为如果出现的点数至少有一个为 4 则中奖则中奖， 否则不中奖否则不中奖 注注:散子散子(或或球球)的大小的大小 形状形状 质地均相同质地均相同（1）有顾客认为，在方案一中，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大）有顾客认为，在方案一中，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于于12你认为正确吗你认为正确吗?请说明理由请说明理由（2）如果是你参加抽奖
30、，你会选择哪种方案）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案?请说明理由请说明理由【答案】 （1）错误，理由见解析； （2）选择方案一，理由见解析.【分析】 （1）将 4 个红球分别记为1234,a a a a，2 个白球分别记为12,b b，利用列举法求得基本事件的总数和 2 个都是红球所包含的基本事件的个数， 结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.（2）根据古典摡型的概率计算公式，求得方案二中奖的概率，即可得到相应的结论.【详解】 （1）将 4 个红球分别记为1234,a a a a，2 个白球分别记为12,b b，则从箱中随机摸出 2 个球有以下结果： 1213141112 ,a aa aa
31、aa ba b， 23342122343132414212,a aa aa ba baaa ba ba ba bb b，第 16 页 共 17 页总共 15 种，其中 2 个都是红球的有12,a a， 1314324234, ,a aa aa aa aa a，共 6 种，所以方案一中奖的概率16211552p ，所以该顾客的想法是错误的（2）抛掷 2 颗骰子，所有基本事件共有 36 种，其中出现的点数至少有一个 4 的基本事件有，(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6)，共 11 种，所以方案二中奖的概率
32、21136p ，可得21pp所以应该选择方案一25已知圆已知圆P过点过点0,5 ,3,4AB，且圆心在，且圆心在x轴上轴上（1）求圆）求圆P的方程的方程（2）证明）证明:过点过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别交圆任意作两条倾斜角互补的直线，分别交圆P于于,E F两点两点(,E F不重不重合合)，则直线，则直线EF的斜率为定值，且定值为的斜率为定值，且定值为 0（3）经研究发现将（）经研究发现将（2）中的点）中的点A改为点改为点B，其余条件不变，直线，其余条件不变，直线EF的斜率也为定的斜率也为定值，且定值为值，且定值为34，若点，若点000,0M xyy为圆为圆P上任意一点，请给出类似于（
33、上任意一点，请给出类似于（2）的）的正确命题正确命题(不必证明不必证明)【答案】 （1）2225xy； （2）证明见解析； （3）答案见解析.【分析】 （1） 可设圆P的方程为220 xyDxF将点0,5 ,3,4AB代入解方程组即可求解；（2）设出直线AE，AF的方程与圆P的方程联立，求得点E和点F的坐标，再利用斜率公式即可求解；（3）类似于（2）的正确命题，若点000,0M xyy为圆P上任意一点，其余条件不变，直线EF的斜率为定值00 xy【详解】 （1）因为圆P的圆心在x轴，所以可设圆P的方程为220 xyDxF，又圆P过点(0,5), (3,4)AB，则025009 1630FDF解
34、得：025DF 所以圆P的方程为22250 xy第 17 页 共 17 页（2）依题意直线,AE AF的斜率存在，设其方程分别为5ykx，5ykx 11,E x y，22,F xy把5ykx代入22250 xy，整理得221100kxkx，则12101kxk ，221122105 55511kkykxkk ，所以2221055,11kkEkk把5ykx 代入22250 xy，可得221100kxkx所以22101kxk，222222105 55511kkykxkk ，所以2221055,11kkFkk21210EFyykxx，直线EF的斜率为定值，且定值为 0（3）设点 000,0M xyy 为圆P上任意一点，过点M任意作两条倾斜角互补的直线，分别交圆P于点,E F（,E F不重合） ，则直线EF的斜率为定值，且定值为00 xy【点睛】关键点点睛：求圆的方程多采用待定系数法，设出圆的方程列方程组，对于证明定值的问题常联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系求出坐标之间的关系.
