1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数数 学（理）（北京卷）学（理）（北京卷）第一部分第一部分（选择题 共 40 分）一、一、选择题共选择题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题列出的四个选项中在每小题列出的四个选项中，选出符合题目选出符合题目要求的一项。要求的一项。(1)（A）3（B）5（C）3（D）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（A）1（B）2（C）3（D）4（3）已知直线 l 的参数方程为x=1+3ty= 2+4t（t 为参数），则点（1，0）到直线 l 的距离是（A）15（B）25（C）45（D）65（4
2、）已知椭圆2x2a+2y2b=1（ab0）的离心率为12，则（A）a2=2b2.（B）3a2=4b2.（C）a=2b（D）3a=4b（5）若x,y满足的最大值为（A）-7（B）1（C）5（D）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）。已知太阳的星等为-26.7，天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）10-10.1（7）设点A,B,C不共线，则“与的夹角是锐角”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
3、（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2=1+x y就是其中之一（如图）。给出下列三个结论： 曲线C恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2; 曲线C所围城的“心形”区域的面积小于 3.其中，所有正确结论的序号是（A）（B）（C）（D）第二部分第二部分(非选择题共非选择题共 10 分分)二、填空题共二、填空题共 6 小题小题,每小题每小题 5 分分，共共 30 分分。(9) 函数f(x) = sin22x的最小正周期是 _。(10) 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2
4、=-3，S5=-10,则 a3= _ . Sn的最小值为_。(11) 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。 如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_。(12) 已知 l、m 是平面 a 外的两条不同直线.给出下列三个论断:lm； ma；la以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:_ 。(13) 设函数f(x) =ex+ae-x(a 为常数)，若 f(x)为奇函数,则 a=_； 若 f(x)是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是 _。(14)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃。价格依次为
5、 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元，每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的 80%。当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 _ 元：在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为_ 。三三、解答题解答题共共 6 小题小题，共共 80 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、演算步骤演算步骤或或证明过程证明过程。（15）（本小题 13 分）在中，a= 3，b-c= 2 ，1cos2B = -（）求 b,c 的
6、值；（）求sin(B-C)的值。（）求证：；（）求二面角 F-AE-P 的余弦值;（）设点 G 在 PB 上，且PGPB=23.判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由.（17）（本小题 13 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月 A,B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A,B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额(元) 支付方式 (0,1000 (1000,2000 大于 2000 仅使用 A 18 人
7、9 人 3 人 仅使用 B 10 人 14 人 1 人 （）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A,B 两个支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用 A 的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额大于 2000 元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由。(18) （本小题 14 分）已知抛物线C:x2= -2py经过
8、点(2，-1)。(I) 求抛物线 C 的方程及其准线方程；(II) 设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y=-1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B，求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两上定点。(19) （本小题 13 分）已知函数f(x) =14x3-x2+x。(I) 求曲线y=f(x)的斜率为 1 的切线方程；(II)(III)设，记F(x)在区间-2，4上的最大值为M(a)，当 M(a)最小时，求 a 的值。(20) （本小题 13 分）已 知 数 列 an ， 从 中 选 取 第 i1项 、 第 i2项 、
9、 、 第 im项 (i1i2im) ， 若，则称新数列为an的长度为 m 的递增子列。规定：数列an的任意一项都是an的长度为 1 的递增子列。(I) 写出数列 1,8,3,7,5,6,9 的一个长度为 4 的递增子列；(II) 已知数列an的长度为 P 的递增子列的末项的最小值为，长度为 q 的递增子列的末项的最小值为ano，若 pq，求证：；(III)设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等，若an的长度为 s 的递增子列末项的最小值为 2s-1， 且长度为 s 末项为 2s-1 的递增子列恰有 2s-1个 （s=1,2,） ，求数列an的通项公式。2019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数数 学（理）（参考答案）学（理）（参考答案）1.D2.B3.D4.B5.C6.A7.C8.C9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.
