1、 2014 年山东省泰安市中考数学试卷年山东省泰安市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 20 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正 确的选项选出来，每小题选对得确的选项选出来，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1 （2014 年山东泰安）在 ，0，1， 这四个数中，最小的数是（ ） A B 0 C D 1 分析： 根据正数大于 0，0 大于负数，可得答案 解：1 0 ，故选：D 点评：本题考查了有理数比较大小，正数大于 0
2、，0 大于负数是解题关键 2 （2014 年山东泰安）下列运算，正确的是（ ） A4a2 a=2 B a6a3=a2 C（a3b）2=a6b2 D （ab）2=a2b2 分析：合并同类项时不要丢掉字母 a，应是 2a，B指数应该是 3，D 左右两边不相等 解：A、是合并同类项结果是 2a，不正确；B、是同底数幂的除法，底数不变指数相减，结 果是 a3；C、是考查积的乘方正确； D、等号左边是完全平方式右边是平方差，所以不相等故选 C 点评： 这道题主要考查同底数幂相除底数不变指数相减以及完全平方式和平方差的形式， 熟记定义是解题的关键 3 （2014 年山东泰安）下列几何体，主视图和俯视图都为
3、矩形的是（ ） A B C D 解：A、圆柱主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；B、圆锥主视图是等腰三角形， 俯视图是圆，故此选项错误；C、三棱柱主视图是矩形，俯视图是三角形，故此选项错误； D、长方体主视图和俯视图都为矩形，故此选项正确；故选：D 点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三 视图中 4 （2014 年山东泰安）PM2.5 是指大气中直径0.0000025 米的颗粒物，将 0.0000025 用科学 记数法表示为（ ） A2.510 7 B 2.510 6 C2510 7 D 0.2510 5 分析： 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学
4、记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂， 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的 0 的个数所决定 解：0.0000025=2.510 6，故选：B 点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10，n 为由 原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 5（2014 年山东泰安） 如图， 把一直尺放置在一个三角形纸片上， 则下列结论正确的是 （ ） A1+6180 B 2+5180 C3+4180 D 3+7180 分析：根据平行线的性质推出3+4=180，2=7，根据三角形的内角和定理得出 2+3
5、=180+A，推出结果后判断各个选项即可 解：A、DGEF，3+4=180，6=4，31， 6+1180，故本选项错误； B、DGEF，5=3，2+5=2+3 =（1801）+（180ALH）=360（1+ALH）=360（180A） =180+A180，故本选项错误； C、DGEF，3+4=180，故本选项错误； D、DGEF，2=7，3+2=180+A180，3+7180，故本选项正 确；故选 D 点评：本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行 推理的能力，题目比较好，难度适中 6 （2014 年山东泰安）下列四个图形： 其中是轴对称图形，且对称轴的条数为
6、 2 的图形的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 分析：根据轴对称图形及对称轴的定义求解 解：第一个是轴对称图形，有 2 条对称轴；第二个是轴对称图形，有 2 条对称轴； 第三个是轴对称图形，有 2 条对称轴；第四个是轴对称图形，有 3 条对称轴；故选 C 点评：本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称 轴折叠后可重合； 7（2014 年山东泰安） 方程 5x+2y=9 与下列方程构成的方程组的解为的是 （ ） Ax+2y=1 B 3x+2y=8 C5x+4y=3 D 3x4y=8 分析：将 x 与 y 的值代入各项检验即可得到结果 解：方程 5x+
7、2y=9 与下列方程构成的方程组的解为的是 3x4y=8故选 D 点评： 此题考查了二元一次方程组的解， 方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数 的值 来源:163文库 ZXXK 8（2014 年山东泰安） 如图， ACB=90， D 为 AB的中点， 连接 DC 并延长到 E， 使 CE= CD， 过点 B作 BFDE，与 AE 的延长线交于点 F若 A B=6，则 BF 的长为（ ） A6 B 7 C8 D 10 分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 CD= AB=3，则结合已知条件 CE= CD 可以求得 ED=4然后由三角形中位线定理可以求得 BF=2ED=8 解：
8、如图，ACB=90，D 为 AB的中点，AB=6，CD= AB=3又 CE= CD， CE=1，ED=CE+CD=4又BFDE，点 D 是 AB的中点， ED 是 AFD 的中位线，BF=2ED=8故选：C 点评： 本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线根据已知条件求得 ED 的长度是解题的关键与难点 9 （2014 年山东泰安）以下是某校九年级 10 名同学参加学校演讲比赛的统计表： 成绩/分 80 85 90 95 人数/人 1 2 5 2 则这组数据的中位数和平均数分别为（ ） A90，90 B 90，89 C85，89 D 85，90 分析：根据中位数的定义先把这些数从小到
9、大排列，求出最中间的两个数的平均数，再根据 平均数的计算公式进行计算即可 解： 共有 10 名同学， 中位数是第 5 和 6 的平均数， 这组数据的中位数是 （90+90） 2=90； 这组数据的平均数是： （80+852+905+952）10=89；故选 B 点评：此题考查了中位数和平均数，掌握中位数和平均数的计算公式和定义是本题的关键， 中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数 的平均数） ，叫做这组数据的中位数 10 （2014 年山东泰安）在 ABC 和 A1B1C1中，下列四个命题： （1）若 AB=A1B1，AC=A1C1，A=A1，则 AB
10、CA1B1C1； （2）若 AB=A1B1，AC=A1C1，B=B1，则 ABCA1B1C1； （3）若A=A1，C=C1，则 ABCA1B1C1； （4）若 AC：A1C1=CB：C1B1，C=C1，则 ABCA1B1C1 其中真命题的个数为（ ） A4 个 B 3 个 C2 个 D 1 个 分析：分别利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即可得到正确的选项 解： （1）若 AB=A1B1，AC=A1C1，A=A1，能用 SAS 定理判定 ABCA1B1C1，正 确； （2）若 AB=A1B1，AC=A1C1，B=B1，不能判定 ABCA1B1C1，错误； （3）若A=A1，C=
11、C1，能判定 ABCA1B1C1，正确； （4）若 AC：A1C1=CB：C1B1，C=C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三 角形相似判定 ABCA1B1C1，正确故选 B 点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握三角形全等和相似的判定方法 11 （2014 年山东泰安）在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，它们的标号分别为 1，2，3， 4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球 的标号之和大于 4 的概率是（ ） A B C D 分析： 首先根据题意画出树状图， 然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球 的标号之和大于 4
12、的情况，再利用概率公式即可求得答案 解：画树状图得： 共有 16 种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于 4 的有 10 种情况， 两次摸出的小球的标号之和大于 4 的概率是：= 故选 C 点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率 注意列表法或画树状图法可以不重复不 遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 12 （2014 年山东泰安）如图是一个直角三角形纸片，A=30，BC=4cm，将其折叠， 使点 C 落在斜边上的点 C处，折痕为 BD，如图，再将沿 DE 折叠，使点 A 落在 DC 的延长线上的点 A处，如图，则折痕 DE 的长为（ ） A
13、cm B 2cm C2cm D 3cm 分析：根据直角三角形两锐角互余求出ABC=60，翻折前后两个图形能够互相重合可得 BDC=BDC，CBD=ABD=30，ADE=ADE，然后求出BDE=90，再解直角 三角形求出 BD，然后求出 DE 即可 解：ABC 是直角三角形，A=30，ABC=9030=60， 沿折痕 BD 折叠点 C 落在斜边上的点 C处， BDC=BDC，CBD=ABD= ABC=30， 沿 DE 折叠点 A 落在 DC的延长线上的点 A处，ADE=ADE， BDE=ABD+ADE= 180=90， 在 Rt BCD 中，BD=BCcos30=4=cm， 在 Rt ADE 中
14、，DE=BDtan30= cm故选 A 点评： 本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是 30 角的直角三角形是解题的关键 13 （2014 年山东泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3 株时， 平均每株盈利 4 元；若每盆增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元，要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？设每盆多植 x 株，则可以列出的方程是（ ） A （3+x） （40.5x）=15 B （x+3） （4+0.5x）=15 C （x+4） （30.5x）=15 D （x+1） （40.5x）=15 分析：根据已知假设每盆花苗增加 x
15、 株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4 0.5x）元，由题意得（x+3） （40.5x）=15 即可 解：设每盆应该多植 x 株，由题意得（3+x） （40.5x）=15，故选 A 点评：此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利=总盈利得出方 程是解题关键 14 （2014 年山东泰安）如图， ABC 中，ACB=90，A=30，AB=16点 P 是斜边 AB上一点过点 P 作 PQAB，垂足为 P，交边 AC（或边 CB）于点 Q，设 AP=x， APQ 的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数图象大致为（ ） ABCD 分析：分点 Q 在 AC 上和 BC
16、 上两种情况进行讨论即可 解：当点 Q 在 AC 上时，A=30，AP=x，PQ=xtan30= y= APPQ= x=x2； 当点 Q 在 BC 上时，如图所示： AP=x，AB=16，A=30，BP=16x，B=60， PQ=BPtan60=（16x） = 该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下 故选：B 点评：本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点 Q 在 BC 上这种情 况 15（2014 年山东泰安） 若不等式组有解， 则实数 a 的取值范围是 （ ） Aa36 B a36 Ca36 D a36 分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，
17、不等式组有解， 即两个不等式的解集有公 共部分，据此即可列不等式求得 a 的范围 解：，解得：xa1，解得：x37， 则 a137，解得：a36故选 C 点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解， 解此类题目常常要结合数轴来判断 还可以 观察不等式的解，若 x较小的数、较大的数，那么解集为 x 介于两数之间 16 （2014 年山东泰安）将两个斜边长相等的三角形纸片如图放置，其中 ACB=CED=90，A=45，D=30把 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15得到 D1CE1， 如图，连接 D1B，则E1D1B的度数为（ ） A10 B 20 C7.5 D 15 分析： 根据直角三角形两锐角互余
18、求出DCE=60，旋转的性质可得BCE1=15，然后 求出BCD1=45，从而得到BCD1=A，利用“边角边”证明 ABC 和 D1CB全等，根据 全等三角形对应角相等可得BD1C=ABC=45，再根据E1D1B=BD1CCD1E1计算 即可得解 解：CED=90，D=30，DCE=60， DCE 绕点 C 顺时针旋转 15，BCE1=15， BCD1=6015=45，BCD1=A， 在 ABC 和 D1CB中，ABCD1CB（SAS） ， BD1C=ABC=45，E1D1B=BD1CCD1E1=4530=15故选 D 点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，
19、熟记性 质并求出 ABC 和 D1CB全等是解题的关键 17 （2014 年山东泰安）已知函数 y=（xm） （xn） （其中 mn）的图象如图所示，则一 次函数 y=mx+n 与反比例函数 y=的图象可能是（ ） AB CD 分析： 根据二次函数图象判断出 m1，n=1，然后求出 m+n0，再根据一次函数与反 比例函数图象的性质判断即可 解：由图可知，m1，n=1，所以，m+n0， 所以，一次函数 y=mx+n 经过第二四象限，且与 y 轴相交于点（0，1） ， 反比例函数 y=的图象位于第二四象限， 纵观各选项，只有 C 选项图形符合故选 C 点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反
20、比例函数图象，观察二次函数图象判断 出 m、n 的取值是解题的关键 18 （2014 年山东泰安）如图，P 为O 的直径 BA 延长线上的一点，PC 与O 相切，切点 为 C，点 D 是上一点，连接 PD已知 PC=PD=BC下列结论： （1）PD 与O 相切； （2）四边形 PCBD 是菱形； （3）PO=AB； （4）PDB=120 其中正确的个数为（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 分析： （1）利用切线的性质得出PCO=90，进而得出 PCOPDO（SSS） ，即可得 出PCO=PDO=90，得出答案即可； （2）利用（1）所求得出：CPB=BPD，进而求出 CPB
21、DPB（SAS） ，即可得出答 案； （3）利用全等三角形的判定得出 PCOBCA（ASA） ，进而得出 CO= PO=AB； （4）利用四边形 PCBD 是菱形，CPO=30，则 DP=DB，则DPB=DBP=30，求出即 可 解： （1）连接 CO，DO， PC 与O 相切，切点为 C，PCO=90， 在 PCO 和 PDO 中，PCOPDO（SSS） ，PCO=PDO=90， PD 与O 相切，故此选项正确； （2）由（1）得：CPB=BPD， 在 CPB和 DPB中，CPBDPB（SAS） ， BC=BD，PC=PD=BC=BD，四边形 PCBD 是菱形，故此选项正确； （3）连接 A
22、C， PC=CB，CPB=CBP，AB是O 直径，ACB=90， 在 PCO 和 BCA 中，PCOBCA（ASA） ， AC=CO，AC=CO=AO，COA=60，CPO=30， CO= PO= AB，PO=AB，故此选项正确； （4）四边形 PCBD 是菱形，CPO=30， DP=DB，则DPB=DBP=30，PDB=120，故此选项正确；故选：A 点评： 此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质 等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键 19 （2014 年山东泰安）如图，半径为 2cm，圆心角为 90的扇形 OAB中，分别以 OA、OB 为直径
23、作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A （1）cm2 B （+1）cm2 C1cm2 D cm2 分析：假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分 P，Q 面积相等连接 AB，OD，根据两半圆的直径相等可知AOD=BOD=45，故可得出绿色 部分的面积=S AOD，利用阴影部分 Q 的面积为：S扇形AOBS半圆S绿色，故可得出结论 解： 扇形 OAB的圆心角为 90， 假设扇形半径为 2， 扇形面积为：=（cm2） ， 半圆面积为： 12=（cm2） ，SQ+SM =SM+SP=（cm2） ， SQ=SP，连接 AB，OD， 两半圆的直径相等，AOD=BOD=45，
24、S绿色=S AOD= 21=1（cm2） ， 阴影部分 Q 的面积为：S扇形AOBS半圆S绿色=1=1（cm2） 故选：A 点评： 此题主要考查了扇形面积求法， 根据题意作出辅助线， 构造出等腰直角三角形是解 答此题的关键 20 （2014 年山东泰安）二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）中的 x 与 y 的部 分对应值如下表： X 1 0 1 3 y 1 3来源:163文库 5 3 下列结论： （1）ac0； （2）当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小 （3）3 是方程 ax2+（b1）x+c=0 的一个根； （4）当1x3 时，ax2+（b1）x+c0 其
25、中正确的个数为（ ） A4 个 B 3 个 C2 个 D 1 个 分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小 题分析判断即可得解 解： 由图表中数据可得出： x=1 时， y=5 值最大， 所以二次函数 y=ax2+bx+c 开口向下， a0； 又 x=0 时，y=3，所以 c=30，所以 ac0，故（1）正确； 二次函数 y=ax2+bx+c 开口向下，且对称轴为 x=1.5，当 x1.5 时，y 的值随 x 值 的增大而减小，故（2）错误； x=3 时，y=3，9a+3b+c=3，c=3，9a+3b+3=3，9a+3b=0，3 是方程 ax2+（
26、b1） x+c=0 的一个根，故（3）正确； x=1 时， ax2+bx+c=1， x=1 时， ax2+ （b1） x+c=0， x=3 时， ax2+ （b1） x+c=0， 且函数有最大值，当1x3 时，ax2=（b1）x+c0，故（4）正确 故选 B 点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x 轴的交点，二 次函数与不等式，有一定难度熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，满分小题，满分 12 分。只要求填写最后结果，每小题填对得分。只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分）分） 21 （2014 年山东泰
27、安）化简（1+）的结果为 分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算， 同时利用除法法则变形约分 即可得到结果 解：原式=x1故答案为：x1 点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 22 （2014 年山东泰安）七（一）班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小 区部分家庭，并将调查数据整理如下表（部分） ： 月均用水量 x/m3 0x5 5x10 10x15 15x20 x20 频数/户 12 20 3 频率 0.12 来源:163文库 0.07 若该小区有 800 户家庭，据此估计该小区月均用水量不超过 10m3的家庭约有 户 分析：根据=总
28、数之间的关系求出 5x10 的频数，再用整体样本的百分比即可得出 答案 解：根据题意得：=100（户） ，15x20 的频数是 0.07100=7（户） ， 5x10 的频数是：100122073=58（户） ， 则该小区月均用水量不超过 10m3的家庭约有800=560（户） ；故答案为：560 点评：此题考查了用样本估计总体和频数、频率、总数之间的关系，掌握=总数和样本 估计整体让整体样本的百分比是本题的关键 23 （2014 年山东泰安） 如图， AB是半圆的直径， 点 O 为圆心， OA=5， 弦 AC=8， ODAC， 垂足为 E， 交O 于 D， 连接 BE 设BEC=， 则 si
29、n 的值为 分析：连结 BC，根据圆周角定理由 AB是半圆的直径得ACB=90，在 Rt ABC 中，根据 勾股定理计算出 BC=6， 再根据垂径定理由 ODAC 得到 AE=CE=AC=4， 然后在 Rt BCE 中，根据勾股定理计算出 BE=2，则可根据正弦的定义求解 解：连结 BC，如图，AB是半圆的直径，ACB=90， 在 Rt ABC 中，AC=8，AB=10，BC=6， ODAC，AE=CE= AC=4， 在 Rt BCE 中，BE=2， sin=故答案为 点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考 查了勾股定理和圆周角定理 24（2014 年山
30、东泰安） 如图， 在平面直角坐标系中， 将 ABO 绕点 A 顺时针旋转到 AB1C1 的位置，点 B、O 分别落在点 B1、C1处，点 B1在 x 轴上，再将 AB1C1绕点 B1顺时针旋 转到 A1B1C2的位置，点 C2在 x 轴上，将 A1B1C2绕点 C2顺时针旋转到 A2B2C2的位 置， 点 A2在 x 轴上， 依次进行下去 若点 A （ ， 0） ， B （0， 4） ， 则点 B2014的横坐标为 分析： 首先利用勾股定理得出 AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出 B2，B4的横 坐标，进而得出变化规律，即可得出答案 解：由题意可得：AO= ，BO=4，AB=，OA+AB
31、1+B1C2= +4=6+4=10，来 源:学 科网ZXXK B2的横坐标为： 10， B4的横坐标为： 210=20， 点 B2014的横坐标为：10=10070 故 答案为：10070 点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出 B点横坐标变化规律是解 题关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，满分小题，满分 48 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演 步骤）步骤） 25 （2014 年山东泰安）某超市用 3000 元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又 调拨 9000 元资金购进该种干果，但这次的进
32、价比第一次的进价提高了 20%，购进干果数量 是第一次的 2 倍还多 300 千克，如果超市按每千克 9 元的价格出售，当大部分干果售出后， 余下的 600 千克按售价的 8 折售完 （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市销售这种干果共盈利多少元？ 分析：（1） 设该种干果的第一次进价是每千克 x 元， 则第二次进价是每千克 （1+20%） x 元 根 据第二次购进干果数量是第一次的 2 倍还多 300 千克，列出方程，解方程即可求解； （2）根据利润=售价进价，可求出结果 解： （1）设该种干果的第一次进价是每千克 x 元，则第二次进价是每千克（1+20%）x 元， 由题意，
33、得=2+300， 解得 x=5， 经检验 x=5 是方程的解 答：该种干果的第一次进价是每千克 5 元； （2）+6009+600980%（3000+9000） = （600+1500600）9+432012000 =15009+432012000 =13500+432012000 =5820（元） 答：超市销售这种干果共盈利 5820 元 点评：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键 26 （2014 年山东泰安）如图， OAB中，A（0，2） ，B（4，0） ，将 AOB向右平移 m 个单位，得到 OAB （1）当 m=4 时，如图若反比例函数 y= 的图象经
34、过点 A，一次函数 y=ax+b 的图象经 过 A、B两点求反比例函数及一次函数的表达式； （2）若反比例函数 y= 的图象经过点 A及 AB的中点 M，求 m 的值 分析： （1）根据题意得出：A点的坐标为： （4，2） ，B点的坐标为： （8，0） ，进而利用待定 系数法求一次函数解析式即可； （2）首先得出 AB的中点 M 的坐标为： （m+42，1）则 2m=m+2，求出 m 的值即可 解： （1）由图值：A点的坐标为： （4，2） ，B点的坐标为： （8，0） ， k=42=8，y= ， 把（4，2） ， （8，0）代入 y=ax+b 得：，解得：， 经过 A、B两点的一次函数表达式
35、为：y= x+4； （2）当 AOB向右平移 m 个单位时，A点的坐标为： （m，2） ，B点的坐标为： （m+4，0） 则 AB的中点 M 的坐标为： （m+42，1）2m=m+2，解得：m=2， 当 m=2 时，反比例函数 y= 的图象经过点 A及 AB的中点 M 点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标的平移等知识，得出 A，B 点坐标是解题关键 27 （2014 年山东泰安） 如图， ABC=90， D、 E 分别在 BC、AC 上，ADDE， 且 AD=DE， 点 F 是 AE 的中点，FD 与 AB相交于点 M （1）求证：FMC=FCM； （2）AD 与 MC 垂直
36、吗？并说明理由 分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出 DFAE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的 判定得出 DFCAFM（AAS） ，即可得出答案； （2）由（1）知，MFC=90，FD=EF，FM=FC，即可得出FD E=FMC=45，即可理由 平行线的判定得出答案 （1）证明：ADE 是等腰直角三角形，F 是 AE 中点， DFAE，DF=AF=EF，又ABC=90，DCF，AMF 都与MAC 互余， DCF=AMF， 在 DFC 和 AFM 中，DFCAFM（AAS） ， CF=MF，FMC=FCM； （2）ADMC， 理由：由（1）知，MFC=90，FD=EF，FM=FC，
37、FDE=FMC=45， DECM，ADMC 点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出 DCF=AMF 是解题关键 28 （2014 年山东泰安）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，AC 与 BD 交于点 E， ADB=ACB （1）求证：=； （2）若 ABAC，AE：EC=1：2，F 是 BC 中点，求证：四边形 ABFD 是菱形 分析： （1）利用相似三角形的判定得出 ABEACB，进而求出答案； （2）首先证明 AD=BF，进而得出 ADBF，即可得出四边形 ABFD 是平行四边形，再利 用 AD=AB，得出四边形 ABFD 是菱形 证明： （1）A
38、B=AD，ADB=ABE，又ADB=ACB，ABE=ACB， 又BAE=CAB，ABEACB，=，又AB=AD，=； （2）设 AE=x，AE：EC=1：2，EC=2x， 由（1）得：AB2=AEAC，AB=x，又BAAC，BC=2x，ACB=30， F 是 BC 中点，BF=x，BF=AB=AD， 又ADB=ACB=ABD，ADB=CBD=30，ADBF， 四边形 ABFD 是平行四边形，又AD=AB，四边形 ABFD 是菱形 点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，得出 ABEACB是解题关键 29 （2014 年山东泰安）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过
39、点（1，4） ，且与直线 y= x+1 相交于 A、B两点（如图） ，A 点在 y 轴上，过点 B作 BCx 轴，垂足为点 C（3，0） （1）求二次函数的表达式； （2）点 N 是二次函数图象上一点（点 N 在 AB上方） ，过 N 作 NPx 轴，垂足为点 P，交 AB于点 M，求 MN 的最大值； （3）在（2）的条件下，点 N 在何位置时，BM 与 NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件 的 N 点的坐标 分析： （1）首先求得 A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）设 M 的横坐标是 x，则根据 M 和 N 所在函数的解析式，即可利用 x 表示出 M、N
40、的 坐标，利用 x 表示出 MN 的长，利用二次函数的性质求解； （3）BM 与 NC 互相垂直平分，即四边形 BCMN 是菱形，则 BC=MC，据此即可列方程， 求得 x 的值，从而得到 N 的坐标 解： （1）由题设可知 A（0，1） ，B（3， ） ， 根据题意得：，解得：，来源:Zxxk. Com 则二次函数的解析式是：y=x+1； （2）设 N（x， x2x+1） ，则 M、P 点的坐标分别是（x， x+1） ， （x，0） MN=PNPM= x2x+1（ x+1）= x2x= （x+ ）2+， 则当 x= 时，MN 的最大值为； （3）连接 MN、BN、BM 与 NC 互相垂直平分， 即四边形 BCMN 是菱形，由于 BCMN，即 MN=BC，且 BC=MC， 即 x2x= ，且（ x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1， 故当 N（1，4）时，MN 和 NC 互相垂直平分 点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应 用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题
