1、 2013 年福建省龙岩市初中毕业、升学考试 数学试题数学试题 (满分：满分：150 分，考试时间：分，考试时间：120 分钟分钟) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分每小题的四个选项中，只有一项是 符合题目要求) 1(2013 福建龙岩，1，4 分)计算：5(2)( ) A3 B3 C7 D7 【答案】A 2(2013 福建龙岩，2，4 分)右图是由四个相同的小正方体组合而成的立体图形，它的俯视 图是( ) 【答案】C 3(2013 福建龙岩，3，4 分)下列计算正确的是( ) Aaaa2 Ba2a3a6 C(a3)2 a6 Da7a5a2 【答案】D 4(201
2、3 福建龙岩，4，4 分)下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A等边三角形 B平行四边形 C正五边形 D正六边形 【答案】D 5(2013 福建龙岩，5，4 分)在九年级某次体育测试中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生 (每组 8 人)成绩如下(单位：次/分)：45、44、45、42、45、46、48、45，这组数据的平 均数、众数分别为( ) A44、45 B45、45 C44、46 D45、46 【答案】B 6(2013 福建龙岩，6，4 分)如图，A、B、P 是半径为 2 的O 上的三点，APB45 ，则 弦 AB 的长为( ) A2 B2 C22 D4 A B C D
3、正面 【答案】C 7(2013 福建龙岩，7，4 分)若我们把十位上的数字比个位和百位上的数字都大的三位数称 为凸数，如：786，465则由 1，2，3 这三个数字构成的，数字不重复的三位数是“凸 数”的概率是( ) A 3 1 B 2 1 C 3 2 D 6 5 【答案】A 8(2013 福建龙岩，8，4 分)若二次函数 yax2bxc (a 0)的图象如图所示，则下列选项 正确的是( ) Aa 0 Bc 0 Cac 0 Dbc 0，x 0)与 OA 边交于点 E，过点 F 作 FCx 轴于点 C，连结 EF、OF (1)若 SOCF 3，求反比例函数的解析式； (2)在(1)的条件下，试判
4、断以点 E 为圆心，EA 长为半径的圆与 y 轴的位置关系，并说明 理由； (3)AB 边上是否存在点 F，使得 EFAE？若存在，请求出 BFFA 的值；若不存在，请 说明理由 【答案】 (1)设 F(x，y)，(x 0，y 0)， 则 OCx，CFy， SOCF 2 1 xy3， xy32， k32， 反比例函数解析式为 y x 32 (x 0) （2）该圆与 y 轴相离 理由：如图，过点 E 作 EHx 轴，垂足为 H，过点 E 作 EGy 轴，垂足为 G 在 AOB 中，OAAB4，AOBABOA60 设 OHm，则 tanAOB3 OH EH ， EHm3，OE2m， E 坐标为(m
5、，3m)， E 在反比例 y x 32 图象上， 3m m 32 ， m12，m22(舍去) OE22，EA422，BG2， 4222， EA EG， 以 E 为圆心，EA 长为半径的圆与 y轴相离 （3）存在(如图) 方法一：假设存在点 F，使 AEFE过点 F 作 FCOB 于点 C，过 E 点作 EH OB 于点 H设 BFx AOB 是等边三角形， ABOAOB4，AOBABOA60 ， BCFBcosFBCx 2 1 ， FCFBsinFBC 2 3 x， AF4x，OCOBBC4x 2 1 ， AEFE， 图 AEAFcosA2x 2 1 ， OEOAAEx 2 1 2， OHOE
6、cosAOB1 4 1 x， EHOEsinAOB3 4 3 x， E(1 4 1 x，3 4 3 x)，F(4 x 2 1 ， 2 3 x) E、F 都在双曲线 y x k 的图象上， (1 4 1 x)(3 4 3 x)(4 x 2 1 ) 2 3 x， 解得 x14，x2 5 4 当 BF4 时，AF0， AF BF 不存在，舍去， 当 BF 5 4 时，AF 5 16 ， AF BF 4 1 方法二：假设存在点 F，使 AEFE过点 E 作 EHOB 于 H AOB 是等边三角形，设 E(m，3m)，则 OE2m，AE42m ABOAAB4，AOBABO A60 ， cosA AF A
7、E 2 1 ， AF 2AE82m，FB4m4 FCFBsinFBC 23m23， BCFBcosFBC2m2，OC 62m， F(62m，23m23)， E、F 都在双曲线 y x k 上， m3m (62m)(23m23)， 化简得：5m216m120， 解得 m12，m2 5 6 当 m2 时，AF84m0，BF4，F 与 B 重合，不合题意，舍去； 当 m 5 6 时，AF84m 5 16 ，BF4 5 16 5 4 ， BFFA 14 25(2013 福建龙岩，25，14 分)如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC与 BD 交于点 O， 且 AC80，BD60动点 M、N 分别
8、以每秒 1 个单位的速度从点 A、D 同时出发，分 别沿 AOD 和 DA 运动，当点 N 到达点 A 时，M、N 同时停止运动设运动时间 为 t 秒 (1)求菱形 ABCD 的周长； (2)记DMN 的面积为 S，求 S 关于 t 的解析式，并求 S 的最大值； (3)当 t30 秒时， 在线段 OD 的垂直平分线上是否存在点 P， 使得DPODON？若 存在，这样的点 P 有几个？并求出点 P 到线段 OD 的距离；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）如图)在菱形 ABCD 中，OA 2 1 AC40，OD 2 1 BD30， ACBD， AD504030 22 ， 菱形 ABCD 的周
9、长为 200 图 （2）(如图)过点 M 作 MPAD 于点 P (如图甲)当 0 t 40 时， sinOAD 5 3 AD OD AM MP ， MP 5 3 t， S 2 1 DNMP 10 3 t2 (如图乙)当 40 t 50 时， MD80t， sinADO AD AO MD MP ， MP 5 4 (70 t)， S 2 1 DNMP 5 2 t2 28t 5 2 (t 35)2 490 图 甲 乙 图 S 5040490)35( 5 2 400 10 3 2 2 tt tt ， ， 当 0 t 40 时，S 随 t 的增大而增大，当 t 40 时，最大值为 480 当 40 t
10、 50 时，S 随 t 的增大而增大，当 t 40 时，最大值为 480 综上所述，S 的最大值为 480 (3)存在 2 个点 P，使得DPO DON 方法一：(如图)过点 N 作 NFOD 于点 F， 则 NFNDsinODA30 50 40 5 12024， DFNDcosODA30 50 30 5 90 18， OF12， tanNOD2 12 24 OF NF 作NOD 的平分线交 NF 于点 G，过点 G 作 GHON 于点 H SONF 2 1 OFNFSOGN SOFG 2 1 OFFG + 2 1 ONGH 2 1 (OF ON)FG， FG 51 24 51212 2412
11、 ONOF NFOF ， tanGOF 51 2 12 51 24 OF GF ， 设 OD 中垂线与 OD 的交点为 K，由对称性可知： DPK 2 1 DPO 2 1 DONFOG， tanDPK 51 215 PKPK DK ， PK 2 ) 15(15 ， 根据菱形的对称性可知，在线段 OD 的下方存在与点 P 关于 OD 成轴对称的点 P， 存在两个点 P 到 OD 的距离都是 2 ) 15(15 方法二：(如图) 作 ON 的垂直平分线，交 EF 于点 I，连接 OI，IN 过点 N 作 NGOD，NHEF，垂足分别为 G，H 当 t30 时，DNOD30，易知DNGDAO， OD DG AO NG DA DN 即： 30 504030 NGDG ， NG24，DG18 EF 垂直平分 CD， OEED15，EGNH3， 设 OIR，EIx，则 在 RtOEI 中，有 R2152x2 在 RtNIH 中，有 R232(24 x)2 由、可得： 2 515 2 15 R x PEPIIE 2 ) 15(15 根据对称性可得，在 BD 下方还存在一个点 P 也满足条件， 存在两个点 P，到 OD 的距离都是 2 ) 15(15 图 图
