1、信号与系统全册配套课件信号与系统全册配套课件2第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析时域分析：对系统的分析与计算均以时间时域分析：对系统的分析与计算均以时间t t 为变量为变量优点：直观、物理概念清楚优点：直观、物理概念清楚缺点：对高阶系统或复杂激励计算复杂缺点：对高阶系统或复杂激励计算复杂第一节第一节 系统微分方程的经典解系统微分方程的经典解一、微分方程（数学模型）的建立一、微分方程（数学模型）的建立 为建立线性系统的数学模型，需找出描述其工为建立线性系统的数学模型，需找出描述其工作特性的微分方程式。作特性的微分方程式。3图所示电路写出以图所示电路写出以u uL L为响应
2、的数学模型为响应的数学模型 tudtdCiduLituRiiiiiLCtLLLRCRLs11u uC Ci ic cisu uLRCLi iL Lu uRi i R R tidtdtuLtudtdRtudtdCtudtdCtuRduLisLLLLLtLs1111224写出图所示系统的数学模型写出图所示系统的数学模型 txtxtytetxtxtxtxtxtetx53232 ( )e t( )y t235( )x t( )xt( )x t( )xt5 对于任意一个单输入对于任意一个单输入单输出的单输出的LTILTI系统，其数学系统，其数学模型的一般形式为模型的一般形式为( )y tLTI( )e
3、t( )( )nna yt(1)1( )nnayt0( )a y t( )( )mmb et(1)1( )mmbet0( )b e t( )( )00 ( )( )nmijijija ytb et简记为简记为 tya1 teb 16用时域法求解连续系统的流程图用时域法求解连续系统的流程图( )( )( )hpy ty ty t( (含待定系数含待定系数) )系统响应系统响应y y(t)(t)建立系统的微分方程建立系统的微分方程求特征根求特征根l li i , , 确定齐次解确定齐次解y yh h(t)(t)的形式的形式由由e e(t)(t)确定特解确定特解y yp p(t)(t)的的形式形式(
4、 (查表查表2 22)2)由初始条件确定系数由初始条件确定系数二、微分方程的经典解法二、微分方程的经典解法7例例1 1 描述某描述某LTILTI系统的数学模型为系统的数学模型为() 5 () 6 () e()y ty tytt求系统响应求系统响应2 560ll解： 特征方程 12 2 3ll特征根 ， 2312tthytc ec e齐次解 2-2 cossinpytPtQt查表，可设特解为pppppyyyyy 55cos55sin10cosPQtPQtt求、，将、代人原方程，整理后有 5510550PQPQ11PQ 00, 20,cos10yyttute已知 tuty8 cossin2 cos
5、(t)4pyttt 2312 2 cos4phtty tytytc ec et全解 12 02 cos24ycc代人初始条件 120232sin04ycc122 1cc tuteetytytyttph4cos22得解32923( )22 cos() t04tty teet齐次解齐次解特解特解自由响应自由响应强迫响应强迫响应暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应 当输入信号是阶跃函数或有始的周期当输入信号是阶跃函数或有始的周期函数时，系统的全响应也可分解为瞬态响函数时，系统的全响应也可分解为瞬态响应和稳态响应。应和稳态响应。10第二节第二节 关于系统在关于系统在t t0 0- -与与0 0+ +状态的
6、讨论（难点）状态的讨论（难点）讨论的前提讨论的前提( )()001) ( )( ) 0nmijijija ytb ett 2） t 0时时 e e(t)=0 3 3）求）求 t t 0 0时系统的响应时系统的响应y(y(t t) ) 一一. . 初始状态与初始条件初始状态与初始条件 初始状态（第二类初始条件）初始状态（第二类初始条件）0 0t te e (t t)加入加入0 0 0 0+ +e e (t t) 加入加入前瞬间前瞬间e(t t) 加入加入后瞬间后瞬间( )(0 )jy0,1,2,1jnL初始状态反映历史信息而与激励无关初始状态反映历史信息而与激励无关 ( )(0 )jy初始条件（
7、第一类初始条件）初始条件（第一类初始条件）( )(0 )( )jye t由和共同决定( )( )00jyt:从可能发生跳变()()() (0 )jjjyyy+-令(0 )-(0 ) 跳 变 量V( )( )(0 )(0 )jjyy即11二二. . 初始条件初始条件( (即跳变量即跳变量) ) 的确定方法的确定方法 a. a. 对电路模型利用物理概念进行判断对电路模型利用物理概念进行判断t=0C1=1FuC1uC2C2=1/2F1212 (0 ) 1V (0 )0 (0 )(0 )(0 )uuuuu已知求( )( )( )0(0 )(0 )(0 )jjjyyy 求解微分方程时，一般限于范围，应当
8、利用作为初始条件，求齐次解的系数。因此，需要从已知的初始状态设法求得。 VuutudtdCticccc3200,2112b. b. d d匹配法（匹配法（ d d函数平衡法）函数平衡法）基本思路：基本思路：( )()00 ( )( ) 00nmijijija ytb ett（2 2）引入）引入d d(t)(t)后函数在跳变点的导数存在后函数在跳变点的导数存在 如果由于激励信号的加入，在方程右端出现如果由于激励信号的加入，在方程右端出现d d(t)(t)及其各阶导数，则方程左端也相应产生与之对应的及其各阶导数，则方程左端也相应产生与之对应的d d(t)(t)及其各阶导数项使之方程两端平衡及其各阶
9、导数项使之方程两端平衡 ，而左端冲激函数，而左端冲激函数的产生意味着左端的产生意味着左端y y ( ( i i ) )(t)(t)中的某些项在中的某些项在t=0t=0处有跳变。处有跳变。对任意系统的数学模型普遍适用的方法对任意系统的数学模型普遍适用的方法 ttebtyamjjjniii010013 03020100331ytteytteytuteytetyty时时时求：例dd 0001yytute因此等式两端无冲击函数，时解 3009,3332ayybattautbutatautytbutatyttte有代入方程因此设：，方程右端含时ddddd14注意：匹配应从微分方程的最高阶项开始注意：匹配
10、应从微分方程的最高阶项开始注意：注意：d d匹配法不是求方程的解，匹配法不是求方程的解， 而仅仅求响应而仅仅求响应y y(t)及及其各阶导数在其各阶导数在t=0处的跳变量处的跳变量 ，在此在此u u(t)仅仅 用来表示在用来表示在t=0处有一个单位的跳变量。处有一个单位的跳变量。( )(0 )jfy发生跳变的条件：发生跳变的条件： 微分方程右端含微分方程右端含d d(t)(t)及其各阶导数及其各阶导数 900279,3333byycbattbutatcutbtatbutatytcutbtatyttte有代入方程因此设：，方程右端含时ddddddddd15 00:00102342yyyyttty
11、tyty求，已知：例dd 200,2005,2,1034,24,1234 yayybycbaabcabatttautbutatcutbtatautytbutatytcutbtatydddddddd解：16 总结：用总结：用d d函数平衡法求响应及其各阶导数在激励加人函数平衡法求响应及其各阶导数在激励加人 时刻的跳变量时，应注意以下几点：时刻的跳变量时，应注意以下几点：（1 1）此方法只匹配）此方法只匹配d d(t)(t)及其各阶导数，使方程两边及其各阶导数，使方程两边d d(t)(t)及其各阶导数平衡。及其各阶导数平衡。（2 2）此方法先使方程右边）此方法先使方程右边d d(t)(t)最高次导
12、数项与方程最高次导数项与方程左边左边y ( i )(t)的最高阶次项得到平衡。的最高阶次项得到平衡。 （3 3）当平衡低阶次）当平衡低阶次d d(t)(t)项时，若方程左边同阶次项时，若方程左边同阶次d d(t)(t)函函 数项的系数之和不能与右边平衡时，则由方程左边数项的系数之和不能与右边平衡时，则由方程左边y ( i )(t)的最高阶次项来补偿。的最高阶次项来补偿。 （4 4）平衡完成后，）平衡完成后， y ( i )(t)中所应含有的中所应含有的u(t)项的系数项的系数即为即为y ( i )(t)在激励加人时刻的跳变量在激励加人时刻的跳变量。17第三节第三节 零输入响应和零状态响应零输入
13、响应和零状态响应一、一、 零输入响应零输入响应 y yzizi(t)(t)1( )intzixiiytc elll 均为单实根时均为单实根时( )( )( )(0 )(0 )(0 )jjjziziyyy即初始条件即初始条件=初始状态，没有跳变初始状态，没有跳变对应齐次方程：对应齐次方程：定义：没有外加激励信号的作用，仅由初始状态所定义：没有外加激励信号的作用，仅由初始状态所 引起的响应。引起的响应。由特征根决定：由特征根决定： 10niiziia yt18二、二、 零状态响应零状态响应对应非齐次方程：对应非齐次方程：( )( )( )zshpytytytll 均为单实根时均为单实根时( )(
14、)( )( )( )(0 )0 (0 )(0 ) (0 )(0 )jjjzszszsjjzszsyyyyyV1( )intsipic eytl跳变量跳变量定义：系统的初始状态为定义：系统的初始状态为0 0，仅由输入信号，仅由输入信号e e( (t t) )所所 引起的响应。引起的响应。解由解由y yh h(t)(t)和和 y yp p(t)(t)组成：组成： 00nmijizsjija ytb et19三、三、 全响应全响应 y y（t t）对应非齐次方程对应非齐次方程( )( )( )hpy tytyt( )ziy t1( )intipic eytl11( )iinnttxisipiic e
15、c eytll( )zsyt( )( )( )(0 )(0 )(0 )jjjyyyV自由响应强迫响应解由解由y yh h( (t t) )和和 y yp p( (t t) )组成：组成：( )( )00 ( )( )nmijijija ytb et20 ( )( )( )zizsy tytyt(2)若 i ( )( )( ) 0,1,2,iizizsytytytin则，L t0 则 对 也成立 0000 00 iiizizsiiizizsyyyyyy有注意：注意：( )( )( )(0 )(00 )(jjjzizizityyyy(1)零输入响应( )( )( )( )( )(0 )0 (0 )
16、(0 ) (0 )()( )0jjjjjzszszszzzsssyyyyyyt零状态响应V21例例3：某：某LTI系统的数学模型为系统的数学模型为在求在求y yzs zs (t)(t)时为避免求时为避免求t=ot=o时刻的跳变量，常时刻的跳变量，常利用利用LTILTI系统的线性及微分性质求解系统的线性及微分性质求解 tytytytuteyytetetytytyzszi, 00, 206223求已知 tueetytueetyttzsttzi342422解得 tuetytytytzszi2322 tueetytueetyttzittzs222534解得 tytytuteyytetetytytyzs
17、zi, 10, 3062234求已知题目同上：例 23一、一、 冲激响应冲激响应 用用h h(t)(t)表示表示(0)0 x( )( )zsyth tLTI( )( )e ttd( )0,( )h tTtd 零状态响应零状态响应( )( )00 ( )( )nmijijija htbtd此时系统方程的一般形式为此时系统方程的一般形式为( ) (0 ) 0 (0,1,21)jhjnL( ) (0 )0 jh第四节第四节 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 d由于 及其各阶导数在 时都等于，因而上式右端在 冲激响应（）解的形式与齐次时恒解的等于，这样形式相同。满足：满足：24例例1：某：某LTI
18、系统的数学模型为系统的数学模型为( )5( )6( )( )2 ( ) ( ) ytyty tete th t求 该 系 统 的 冲 激 响 应 -562000hhhhthhdd解 ：满 足 01,03hh 可求得首先利用冲击函数匹配法确定h(0+),h(0+) tttautbutatcutbtattthththtauthtbutathtcutbtathdddddddddd265265 25 tuececthtt32211212010233hcchcc 代入初始值1201cc32065212llll ttetttytytyddd 265 065 ththth tuetht3解得：26二、二、
19、阶跃响应阶跃响应 用用g g(t)(t)表示表示 零状态响应零状态响应此时系统方程的一般形式为此时系统方程的一般形式为( ) g (0 ) 0 (0,1,21)jjnL( )( )tg th x dx( )( )dh tg tdt求解时，应带有特解(0)0 x( )( )zsytg tLTI tute tuTtg,0 tubtgainjjinii00 ddtut tudtdtd27例例2：某：某LTI系统的数学模型为系统的数学模型为( )3( )2( )( )2 ( ) ( )( ) ytyty te te tg th t 求 该 系 统 的 阶 跃 响 应和 冲 激 响 应 000223gg
20、tutgggtgd满足解：00gg和首先求 0010223 ggtautgtbutatgtuttgtgtgdd280, 322tggg当 时1212010021gccgcc 1232cc tuecectgtt1221全解： tuecectgggggggtt2212122, 1021023齐次解： tueetgtt2231解得： tueetgthtt24329 ( )3 ( )2 ( )( )2 ( )000h th th ttth thhdd 满足121201025hcchcc 1234cc 还可先求 再求 h t g t tuececthtt221设： tueethtt2431050hh30
21、 xueetueetetedxeedxxueedxxuxhtgttttxxtxxtxxt2220222311213020343433111( )( )( )( )( ) LLLssRutututR ititLL CC解 ：( )3( )2( )3 ( )2 ( ) LLLssutututitit即u uC Cisu uL L3W W1/2F1Hi iL Li i c cu uR例例3：求图所示系统，求：求图所示系统，求(0 )(0 )0 LLuu且 tuttitetuttitetututiteLzssLzssLzss时时时dd321 dtdtuLtictuRdtuLtituRtidtuLtid
22、ttictututututititiLsLLsRcLLccRcLcLs111111132( )3( )2( )3( )2( ) LLLutututttdd（3）( )3( )2( )3( )2( ) LLLutututttdd（2）( )3( )2( )3( )2 ( ) LLLutututttdd（1） tueetuttLg24 tueettututtLgLh283d tueetttututtLhL21673dd70, 30LLuu( )3( )2( )3 ( )2 ( ) LLLssutututitit即33( )( )00 ( )( )nmijijija ytbtd解的形式与解的形式与d
23、 d(i i ) 的关系的关系 nm当时 设特征根设特征根l li i 为单实根时为单实根时 nm当时 nm当时 nitituectyi1l tbtuectynitiidl11 nmjjjnititbtuectyi11dl34第五节第五节 卷积积分（重点）卷积积分（重点） 将激励信号将激励信号f f (t)分解为无穷多个连续出现的分解为无穷多个连续出现的冲激信号之和，借助系统的冲激响应和线性、冲激信号之和，借助系统的冲激响应和线性、时不变性质求解系统对任意激励下的零状态时不变性质求解系统对任意激励下的零状态响应（卷积的概念贯穿于本课程，在信号与响应（卷积的概念贯穿于本课程，在信号与系统理论中占
24、有重要地位）系统理论中占有重要地位）卷积积分：卷积积分：35一、一、 卷积的定义卷积的定义 当当f f1 1(t)(t) 和和f f2 2(t)(t)的作用时间没有限制时，卷积积分的积分限取的作用时间没有限制时，卷积积分的积分限取 和和 ，当，当f f1 1(t)(t) 和和f f2 2(t)(t)受到某种限制时卷积积分的上下限要发生受到某种限制时卷积积分的上下限要发生变化，即积分限取决于变化，即积分限取决于f f1 1(t)(t) 和和f f2 2(t)(t)的定义域。卷积积分中积分限的定义域。卷积积分中积分限的确定非常关键。的确定非常关键。1212( )( )( )( )()f tf tf
25、 tff td 对任意两个定义在（对任意两个定义在（ ， ）时间范围上的连续信号）时间范围上的连续信号f f1 1(t) (t) 和和f f2 2(t)(t)，将积分，将积分 定义为二者的卷积，用定义为二者的卷积，用 表示卷积运算。表示卷积运算。12( )()ff td36几种特殊情况几种特殊情况121) 0 ( ) 0 ( )tf tf t若时不受限制212) 0 ( )0 ( )tf tf t若时不受限制120 ( )( )()f tff td则12 ( )( )()tf tff td则123) 0 ( )( )0tf tf t若时120 ( )( )()tf tff td则37 tftf
26、tutfttutf21211求例 122012tf tf tftuu tddt u t 解得 tftftutftutf2121322求例 tuttutddtuutftftft123323221解得38二、二、 卷积运算的图形解法卷积运算的图形解法从卷积的定义式可看出：做卷积运算需要经过五个步骤从卷积的定义式可看出：做卷积运算需要经过五个步骤1212( )( )( )( )()f tf tf tff td1 1）变量置换）变量置换 卷积的图解法就是把以上几个步骤借助图形直观地表卷积的图解法就是把以上几个步骤借助图形直观地表示出来。示出来。12( )( )f tf t例4 求 t0 01( )f
27、t42t0 02( )ft21.5 2 2）反折）反折 3 3）平移）平移 4 4）相乘）相乘 5 5）积分）积分 11f tf 22ftf2f2ft39t0 01( )f t42t0 02( )ft21.51( )f( )2( )f( )2)反折反折f f 2 2( ) f f 2 2(- ) 2()f-21.50 01( )f423) 将将 f f 2 2(- )在在 轴上平移轴上平移t 得得f f 2 2(t ) 20 ()tft时左移20 ()tft时右移 这一步的重要性在于给出了这一步的重要性在于给出了f f 2 2(t ) 的波形的波形 在轴上的上、下边在轴上的上、下边缘值，而这些
28、边缘值是以含有参变量的形式给出的。缘值，而这些边缘值是以含有参变量的形式给出的。4）、）、5) 将将 f f 1 1( )和和f f 2 2(t ) 相乘后积分相乘后积分1)变量置换变量置换 t 平移过程中两函数图象不重叠即表示两函数相乘值为零。平移过程中两函数图象不重叠即表示两函数相乘值为零。当从逐渐增大时，沿轴从左向右平移2ft ttf432400 01( )f422()fttt-2a0 01( )f422()ft（t）t-2b0 01( )f422()ftt2tc0 01( )f422()ft（t2)td0 01( )f422()ftt2te0 01( )f422()ftt2（t)f0
29、01( )f422()ftt2tg0 01( )f422()ftth下页下页410 01( )f422()ftt2t0 01( )f422()ftt2t0 01( )f422()ftt2t02t 46t 24t 2033244tf ttdt 23234ttf ttd 4223324344tf ttdt 0t 0f t 具体计算如下：上页上页0 01( )f422()fttt-242tt0 01( )f t420 02( )ft21.53t0 012( )( )f tft426 220 03 0243 243-43 4640 6tttf ttttt 0 01( )f422()ftt6t 0f t
30、 43从以上图解分析过程可以看出：从以上图解分析过程可以看出：1 1）卷积中积分限取决于两个图形交叠部分的范围）卷积中积分限取决于两个图形交叠部分的范围3 3）卷积结果所占的时宽等于两个函数各自时宽的总和）卷积结果所占的时宽等于两个函数各自时宽的总和说明：并非所有两函数的卷积都存在，若两函数均为说明：并非所有两函数的卷积都存在，若两函数均为 有始的可积函数（即有始的可积函数（即tttt1 1时时f f 1 1(t)=0, tt(t)=0, t0 0tttetf teetF(jw) = Ff (t) 222wt t0 0( )f t1()()FjFjww()0j ww w0 0()F jw2()
31、Rwt222 0e w88三、三、 奇异函数的傅里叶变换奇异函数的傅里叶变换1 1）冲激函数）冲激函数d d(t)(t)的频谱的频谱 （即（即d d(t)(t)的傅里叶变换）的傅里叶变换）( )( )1jtt edtt dtwdd-= Fd d(t) ( ) tdt0(1)()F jww01冲激函数冲激函数d d(t)(t)的频谱是常数的频谱是常数 1 1，其频谱密度在，其频谱密度在 w w 区间处处相等，常称其为区间处处相等，常称其为均匀谱或白色谱均匀谱或白色谱2 2）d d (n)(n)(t)(t) 的傅里叶变换的傅里叶变换()()( )( )(1)(0) nnntt dtdjj-( )(
32、 )()nj tnt edtjwdw-= Fd d(t) 10( )( 1)( 1)()j tj ttt edtejjwwdww -=Fd d(n)(t) 893 3） 单位直流信号的傅里叶变换单位直流信号的傅里叶变换f f (t)=1( ) ft dt -Q 不 满 足不 能 用 定 义 式 求 其 频 谱0(2)()F jww0( )f tt1观察逆变换公式观察逆变换公式1( )() 2jtf tF jedwww当当F(jw w) = d d(w w)时时1( ) 2j tedwd ww12F(jw w) = d d(w w) =F1/2 1/2 -d d(w w) F1=2d d(w w
33、) 1 /2 d d(w w) t902jw Fsgn(t) 4 4） 符号函数的傅里叶变换符号函数的傅里叶变换1 0sgn( ) 0 0 1 0tttt借助奇双边指数函数借助奇双边指数函数, ,求极限求极限sgn( ) tt01-11234 0( ) 0 0ttetf tet1234 = 0设 0 ( )sgn( )f tt222 02lim 0 0jjwwwww0当w0 0()Xw1234F(j0)=0 F(j0)=0 可认为正负可认为正负相互被抵消相互被抵消w的奇虚函数915 5）阶跃函数的傅里叶变换）阶跃函数的傅里叶变换f f (t)=u(t)u(t) 0d(w)()Fjww( )f
34、tt01t01/2=+1sgn( )2tt01/2-1/21ww w0 0()Xw1w+=w w0 0()Xwd(w)1w1w()Rw F F u u(t) = F F 1/2+ + F F 1/2sgn(t)= = dd( (w w)+)+j j (-1/(-1/w w) ) 92要求：掌握典型信号的频谱要求：掌握典型信号的频谱1) ( )gt2S aw 1 (0)jw3) ( ) td1()4) ( )ntd()njw1()j dww6) 12() dw7) sgn( ) t2jw8) te222 (0)w- 09) 0ttetet222 (0)jww当当F(jw w)为为w w 的实函数
35、或虚函数的实函数或虚函数时时| F(jw w) |和和j j(w w)可用一条曲线可用一条曲线表示表示 tuet2 tu593 第五节第五节 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号的两种描述方法：信号的两种描述方法：1 1）时域描述）时域描述2 2）频域描述（即频谱密度）频域描述（即频谱密度） 本节研究在某一域中对信号进行某种运算时在另一域中所引起的效应。本节研究在某一域中对信号进行某种运算时在另一域中所引起的效应。1. 线性性质（齐次性和可加性）（常用）线性性质（齐次性和可加性）（常用）若若 f f 1(t) F1(jw w) ，f f 2(t) F2(jw w) 则则 1 f f 1(t)+
36、 2 f f 2(t) 1F1(jw w)+ 2F2(jw w) （证略）（证略） 例：例：F F u u(t) = F F 1/2+ + F F 1/2sgn(t) = = dd(w w)+j (-1/w w) ()( ) jtFjf t edtww1( )() 2jtftFjedwww942. 2. 奇偶性奇偶性1）f f (t)为为t 的复函数时的复函数时 则则 F F f f * *( (t t) ) = =F*(jw w） F F f f * *( (t t ) ) =F*(jw w） 设设 F F f f (t) =F(jw w） F F f f (-t) =F(-jw w）952
37、 2） f f ( (t t) )为为t t 的实函数时频谱特性的实函数时频谱特性()( ) jtFjf t edtww( )cos( )sin f ttdtjf ttdtww()() RjXww( )Rww:的偶函数()()RRww( )Xww:的奇函数()( )XXww 22()( )( )F jRXwwww:的偶函数()FjF jww （）( )( )arctan( )XRwj www:的奇函数()()jwj w 96a）F F f f (t ) 与与F F f f (-t ) 关系关系( (即反折特性）即反折特性）设设 f f (t)()( ) jtFjf t edtww F F f
38、f (-t ) ()Fjw()()RjXww()()RjXww()Fjw即即 若若 f f (t) F(jw w )则则 f f (-t) F*(jw w )例例2 2： 求求F e- |t| e- |t| = e- t u u(t ) +e t u u(-t ) 97b）f f (t)为为t 的实偶函数时的实偶函数时当当 f f (t ) = f f * *(-t ) = f f * *(t )()( )=( ) co s -j( ) sin jtFjft ed tfttd tfttd twwww 02( ) cos f ttdtw()Rww:的 实 偶 函 数() ()0F jRwwj w
39、（），或则则 F F (jw) = F F* *(-jw w) = F F* *(jw w)公式公式98c）当）当f f (t)为为t 的实奇函数时的实奇函数时()( )( ) cos -( ) sinjtFjf t edtf ttdtjf ttdtwwww02( )sin jf ttdtw ()jXww的 虚 奇 函 数:() ()22FjXwwjw（），（ 或）当当 f f (t ) f f * *(-t ) = f f * *(t )则则 F F (jw w) F F* *(-jw w) = F F* *(jw w)99- 0 0ttetet222 (0)jwwt t0 0( )f t1
40、-1w w0 0( )Xw11例如例如1002）f f (t)为为t 的虚函数时频谱特性的虚函数时频谱特性 f f (t )=jg(t) g(t)为实函为实函数数 设设F F jg(t) =F(jw w）()( ) jtFjjg t edtww( )cos( )sin jg ttdtjjg ttdtww( )( )()( ) RjXF jwwwj w( )( )sinRg ttdtwww:的奇函数()()RRww ( )( )cosXg ttdtwww:的偶函数()()XXww22()( )( )F jRXwwww:的偶函数()FjF jww （）()()arctan()XRwj www:的奇
41、函数()()jwj w 1013. 3. 时移特性时移特性( (常用常用) ) 若若 f (t) F( jw w）000 ( ) j tf t tF jetww 则 为常数证明证明( (略略) ) 例例3 3： f f (t) 如图所示如图所示 ，求，求F F f f (t) t0 0( )f t1-1-2222 ()2sin4wwwwwwwwwwjjjjaF jG jeG jeseej 2211f tgtgt解：1024. 4. 频频( (谱搬谱搬) )移特性移特性( (常用常用) ) 若若 f (t ) F( jw w）0012( ) ( )jtjtf tef teww 和 。例4 求信号
42、 的频谱函数0jt01 e2wd w w 0000wwwwwwjFetfjFetftjtj则 wd210210wwdwtje10312( ) ( )f ttf ttww00 cos和 sin。例4 求信号 的频谱函数000000 cos t sin tjw d w wd w ww d w wd w w0000jtjt001cos t=e+e21 sin2jtjtteejwwwwww解： Q104 该特性在通信系统中得到广泛的应用，如调幅、同步解调、变频等过程都是该特性在通信系统中得到广泛的应用，如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移原理上实现在频谱搬移原理上实现 .频移原理（调制原理）频移
43、原理（调制原理） f (t )： 调制信号（含信息）调制信号（含信息）000 ( )( )cos()( )2jtjteey tfttftwww000( )( )sin(1122)jFjy tfjFtjtwwwww 00011( )co 2 s2 FjytFf tjtwwwww可见已调信号可见已调信号y(t)y(t)的频谱是把的频谱是把f f (t)(t)的频谱的频谱F F( (j jw w) )一分为二分别向左和右搬移一分为二分别向左和右搬移w w0 0 s(t )： 载波载波信号（高频的单一频率）信号（高频的单一频率） ( )f t ( )y t00 ( )cos()sin()s tttww
44、或y(t )： 已调已调信号信号105 ( )f t ( )y t0 ( )cos()s ttw 例例5 5： 已知已知f f (t)=g (t) ，求，求F F y y(t) t0 0( )g t122w w0F(jw)00011 ( )( )cos()( )( )22jtjty tgttgt egt ewww00 2222YjSaSawwwww 解：解： ( )a()2gtSw F F106w w0Y(jw)w w0w w02t0 0( )g t122w w0F(jw)w w0F cosw0t-w0w0t0 0122( )y t0costwt0 01075. 5. 尺度变换尺度变换 若若
45、f (t) F( jw w）1() 0ftFjw 则实常数 t0 01( )f t122t0 02( )f t144w w02/F(jw w)w w04/21 22F jw当当 11时时 时域压缩时域压缩, , 频域扩展并幅度变小，频域扩展并幅度变小，B Bf f 变大变大( (如录音机快录如录音机快录) )当当0 0 1 1时时 时域扩展时域扩展, , 频域压缩并幅度变大，频域压缩并幅度变大，B Bf f 变小变小( (如录音机慢录如录音机慢录) )当当 = -1时时 f (-t ) F( -jw w） 时间倒置定理时间倒置定理1084 7( )(), (2 3 )j tf tF jeftw
46、。 例 : 已知 求其频谱密度函数223232(4)43 ( )(2)(1(2 3 )(331(2 3 )(3314(2 3 )(33jjjjj tf tF jftF jeftF jeftFjeeftFjewwwwwwwww:) 解1(3 )()33ftF jw231(2 3 )()33jftF jeww1096. 6. 对称性（互易性）对称性（互易性） 若若 f (t) F( jw w）则则 F( j t ) 2 f (-w w)1( )() 2j tf tF jedwww证明：证明：1()() 2j tftF jedwww1()() 2jtfFjt edtww该式中将该式中将t 换成换成w
47、 w ,w w 换成换成t2()() jtfFjt edtww 即即 F F F( j t ) =2 f (-w w)例如例如 F F d(t) =1 =1 F F 1 =2 =2dd(-(-w w) =2) =2dd( (w w) )110例例8 8： F F Sa(t) ( ) 2gtSawQ21( )2() 2Sa tgw2( ) gwt0 01/2-11时宽有限时宽有限w w0 0 -11频宽有限频宽有限频宽无限频宽无限w wSa(w w)02/1时宽无限时宽无限tSa(t)02/1解：解：t() 2()2( )2Saggww111例例9：1) F F t 2 2) ) F F 1/
48、1/t ) 2(tjdw22sgn() 2 sgnjtww解：解： 1) tjdwQj2() tdw22)sgn tjwQ1sgn ( )jtw 112傅立叶变换时域与频域的对称关系傅立叶变换时域与频域的对称关系 时域时域 频域频域周期信号周期信号 离散谱离散谱离散信号离散信号 周期性周期性连续信号连续信号 非周期非周期非周期信号非周期信号 连续谱连续谱1137. 7. 时域卷积性质（常用）时域卷积性质（常用） 若若 f f 1(t) F1( jw w）, f f 2(t) F2( jw w）则则 f f 1(t)* f f 2(t) F1( jw w)F2( jw w） 对一个系统而言对一个
49、系统而言 ，若，若f f 1(t)= e e (t) ，f f 2(t)= h(t) yzs(t)=e (t) * h(t) Yzs( jw w)=E ( jw w)H( jw w）( )h t( )e tzs( )y t114证明：证明：f f 1(t)* f f 2(t) F1( jw w)F2( jw w）12 ( )() j tfftdedtw12( )() j tfftedtdw12( )() jfFjedww21()( ) jFjfedww由时移特性由时移特性Ff 1(t)* f 2(t) =wwjFjF121151( )f tt0 0111例例1 1：求图所示信号的：求图所示信号
50、的FTFT（即傅里叶变换）（即傅里叶变换）( )f tt0 0-3-11312( )f tt220 0 (1) (1) *sincos2( )4f twww 22112121tttftututftftftfddF(jw) = Fg(t) 2E Saw2, 1EFf1(t) wSa2Ff2(t)www2cos222 jjee1168. 8. 频域卷积定理频域卷积定理 若若 f f 1(t) F1( jw w）, f f 2(t) F2( jw w）由逆变换和频移特性由逆变换和频移特性121( )() 2j tF u F ju du e dwww 21( )( ) jutftF u eduF-1F
