1、SIGNALS AND SYSTEMS信号与系统全册配套课件4课程介绍课程介绍先修课程：先修课程： 电路分析电路分析后续课程：后续课程： 自动控制原理、数字信号处理、通信系统自动控制原理、数字信号处理、通信系统原理、信号检测、网络综合等原理、信号检测、网络综合等课程的地位、作用：课程的地位、作用：地位：地位：是一门重要的技术基础课。是一门重要的技术基础课。作用：作用：所介绍的理论和方法是工程中进行信号和系所介绍的理论和方法是工程中进行信号和系统分析的重要工具，同时在通信与电子信息类专业课统分析的重要工具，同时在通信与电子信息类专业课程的系统学习中起到承上启下的作用。程的系统学习中起到承上启下的
2、作用。返回 电路分析：电路分析：求解求解电路系统电路系统在在直流信号或正弦信号直流信号或正弦信号激励下的响应；激励下的响应； 信号与系统分析：信号与系统分析：求解求解一般系统一般系统在在任意信号任意信号激励激励下的响应；下的响应； 思路：思路：首先把任意信号分解为基本单元信号；首先把任意信号分解为基本单元信号；然后研究系统对基本单元信号的零状态响应；然后研究系统对基本单元信号的零状态响应；再根据线性时不变系统的根本规律，把这些再根据线性时不变系统的根本规律，把这些基本单元信号单独作用于系统时所引起的零基本单元信号单独作用于系统时所引起的零状态响应迭加起来。状态响应迭加起来。主要内容：主要内容：
3、 （见总目录）学习方法：学习方法：提前预习，认真听课。提前预习，认真听课。勤于思考，从本质上、内在联系上和整体上把握。勤于思考，从本质上、内在联系上和整体上把握。及时、独立地完成作业。及时、独立地完成作业。参考书：参考书：信号与系统信号与系统( (第二版第二版) ) 郑君里等郑君里等 高等教育出版社高等教育出版社 20032003信号与线性系统信号与线性系统（第四版）（第四版） 管致中等管致中等 高等教育出版社高等教育出版社 20042004信号与线性系统分析信号与线性系统分析（第四版）（第四版） 吴大正等吴大正等 高等教育出版社高等教育出版社 20042004 返回SIGNALS AND S
4、YSTEMS信号与系统第一章 信号与系统的基本概念南京邮电大学南京邮电大学通信与信息工程学院通信与信息工程学院2015.9第一章 信号与系统的基本概念1.1 1.1 信号的描述与分类信号的描述与分类1.2 1.2 系统的描述与分类系统的描述与分类1.3 1.3 信号与系统分析概述信号与系统分析概述1.1 信号的描述与分类1.1.1信号的定义与描述 信号：信号：变化的物理量，如声音、光、电等变化的物理量，如声音、光、电等 消息：消息：语言、文字、图像、数据等语言、文字、图像、数据等 消息中包含有一定数量的消息中包含有一定数量的信息信息 信号是消息的载体，是通信传输的对象。信号是消息的载体，是通信
5、传输的对象。 信号的特性：信号的特性：1. 时域特性：时域特性：出现的起始时刻、持续时间、变化出现的起始时刻、持续时间、变化的快慢、重复的周期等。的快慢、重复的周期等。（信号可以表示为时间（信号可以表示为时间 t 的函数）的函数）2. 频域特性：频域特性：各正弦分量的振幅和初相随频率变各正弦分量的振幅和初相随频率变化的情况。化的情况。 （信号可以分解为许多不同频率的正弦分量）（信号可以分解为许多不同频率的正弦分量）1.1.2 信号的分类1. 确定信号与随机信号（信号幅度的确定性）确定信号与随机信号（信号幅度的确定性）确定信号：确定信号：能够以确定的函数表示的信号能够以确定的函数表示的信号随机信
6、号：随机信号：在定义域内的任意时刻没有确定的函数值在定义域内的任意时刻没有确定的函数值2 .连续时间信号与离散时间信号（自变量取值的连续性）连续时间信号与离散时间信号（自变量取值的连续性）模拟信号模拟信号量化信号量化信号离散信号离散信号数字信号数字信号f(t)t0f(t)t0123456f(k)k01 2 3 4 5 6 7f(k)k01234561 2 3 4 5 6 73 .周期信号与非周期信号（信号的重复性）周期信号与非周期信号（信号的重复性） 周期信号：周期信号：非周期信号：非周期信号：(每隔一固定的时间间隔重复出现且无始无终每隔一固定的时间间隔重复出现且无始无终)(可看作周期趋于无可
7、看作周期趋于无穷大时的周期信号穷大时的周期信号)0TT0f(t)ttlim( )( )TTftf tT( )()ftf tT 周期分别为周期分别为 T1 , T2 的两个周期信号相加，当的两个周期信号相加，当 T1 , T2 之间存在最小公倍数之间存在最小公倍数 T 时，所得到的信号仍然为周期信时，所得到的信号仍然为周期信号，其周期为号，其周期为T 。 即即T=n1T1 =n2T2 ，其中，其中 n1 和和 n2 为整数，或者说为整数，或者说 n2/n1为有理数。为有理数。连续周期信号：连续周期信号：离散周期信号：离散周期信号： 满足上式的最小正数满足上式的最小正数 、N称为周期信号的基本称为
8、周期信号的基本周期或基波周期。周期或基波周期。0( )() f tf tTt ( )() ,f kf kNkkN 和 取整数0T例：判断下列信号是否为周期信号，如果是周期信号，例：判断下列信号是否为周期信号，如果是周期信号，试计算其周期。试计算其周期。)67cos(5)32cos(32)()1(211tttf。的最小公倍数是其周期为周期信号。为有理数，故解：12,)(472111221TTTtfTT)sin(5)2cos(2)()2(212tttf不是周期信号。为无理数，故解：)(2, 2,22121tfTTTT)26cos(7)23cos(3)()3(213tttf。周期为是周期信号，为有理
9、数，故解：232)(2,262,23232121tfTTTT例：判断离散余弦信号例：判断离散余弦信号 是否为周期信号。是否为周期信号。 0cosf kk解：由周期信号定义，如果解：由周期信号定义，如果则则 是周期信号。因为若为周期信号，应满足若为周期信号，应满足或或 因此，只有在因此，只有在 为有理数时，为有理数时， 才才是周期信号。是周期信号。 f k 00coscosf kkkN000coscoskNkN02 , Nmm为整数02mN有理数02 0cosf kk4 .能量信号与功率信号（信号平方的可积性）能量信号与功率信号（信号平方的可积性） 信号的能量：信号的能量：设信号电压或电流为设信
10、号电压或电流为(t),它在它在1的电阻的电阻上的瞬时功率为上的瞬时功率为|(t)|2, 在时间区间在时间区间(-, )内消耗的总能内消耗的总能量定义为：量定义为：2lim( )TTTEf tdtdttfTPTTT2)(21lim信号的平均功率：信号的平均功率：能量信号：能量信号：功率信号：功率信号：EP此时,000PE，此时 一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但可能既不是能量信号也不是功率信号。可能既不是能量信号也不是功率信号。例：判断下列信号是否为能量信号、功率信号。例：判断下列信号是否为能量信号、功率信号。tetf22)(t0ttetf21)
11、(0解：对信号解：对信号 ，有，有)(1tf212)(lim40040422dtedtedtedteEtttTTtT0P所以该信号为能量信号。所以该信号为能量信号。tetf22)(t0 对信号对信号 有有)(2tfTTTTTtTeedteE442241lim)(lim84lim8lim8lim21lim4444TTTTTTTTeTeTeeETP所以该信号为非能量非功率信号。所以该信号为非能量非功率信号。其平均功率可由罗必塔法则求得其平均功率可由罗必塔法则求得)(3tf0t)(2tf0t)(1tf0t 一般来说，直流信号与周期信号是功率信号，周期信号的一般来说，直流信号与周期信号是功率信号，周期
12、信号的平均功率可以在一个周期内计算。平均功率可以在一个周期内计算。 非周期信号则三种可能都有：在有限的时间范围内有一定非周期信号则三种可能都有：在有限的时间范围内有一定的数值，而的数值，而当当 时数值为零的一类属于能量信号，时数值为零的一类属于能量信号，这类信号也称为脉冲信号。这类信号也称为脉冲信号。当当 时数值不为无穷大，并且至少有时数值不为无穷大，并且至少有一边为有限值的一类属于功率信号一边为有限值的一类属于功率信号当当 时有一边为无穷大的一类属于非时有一边为无穷大的一类属于非能量非功率信号能量非功率信号t t t 对于离散时间信号对于离散时间信号f(k)： 能量：能量： 功率：功率：21
13、lim( )21NNkNPf kN2lim( )NNkNEf k1.2 系统的描述与分类1.2.1 系统的概念 系统是由若干个互相关联的单元组成的具有一定功能的有系统是由若干个互相关联的单元组成的具有一定功能的有机整体。机整体。 1.系统、子系统、单元、元件系统、子系统、单元、元件 2.连接方式连接方式 3.输入（激励）、输出（响应）输入（激励）、输出（响应）信信 源源信信 宿宿信宿变换器信宿变换器收信变换器收信变换器信信 道道发信变换器发信变换器信源变换器信源变换器如通信系统：如通信系统：1.2.2 系统的数学模型 系统的模型是实际系统的近似化和理想化。一般来系统的模型是实际系统的近似化和理
14、想化。一般来说，系统输入和输出之间的关系常用微分方程表示：说，系统输入和输出之间的关系常用微分方程表示：00)();()(tttqtxStyn)()( )()()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(txbtxbtxbtxbyatyatyatymmmmnnn)(ty)(0tqSn)()()(21tytytyn)(0tqSn单输入单输出系统多输入多输出系统 也可以用一个方框图表示系统：也可以用一个方框图表示系统： 对于单输入单输出系统：对于单输入单输出系统： 例：0)0()(1)0();()(0tvdicvtiStvctcccc)(tic)(tvc)0(cvC( )x t 12( )(
15、 )( )mx tx txt1.2.3 系统的分类1 .1 .连续时间系统与离散时间系统连续时间系统与离散时间系统连续时间系统的数学模型：微分方程连续时间系统的数学模型：微分方程离散时间系统的数学模型：差分方程离散时间系统的数学模型：差分方程2 .2 .线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统线性特性：线性特性：是指齐次性和叠加性是指齐次性和叠加性)()(),()(tkytkxtytx则若齐次性齐次性，也称比例性，也称比例性： 叠加性叠加性，也称可加性，也称可加性：)()()()(),()(),()(21212211tytytxtxtytxtytx则若线性系统：线性系统：)()()()(),(
16、)(),()(221122112211tyktyktxktxktytxtytx则若离散线性系统：离散线性系统：11221 1221122( )( ),( )( ),( )( )( )( )x ky kx ky kk x kk x kk y kk y k若则对于具有初始状态的系统，同时满足下面的三个条件：对于具有初始状态的系统，同时满足下面的三个条件：a .可分解性可分解性全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应c .零状态响应线性零状态响应线性b .零输入响应线性零输入响应线性 系统有多个初始状态时，零输入响应对每个初始系统有多个初始状态时，零输入响应对每个初始状态呈线性。状态
17、呈线性。 系统有多个输入时，零状态响应对每个输入呈线系统有多个输入时，零状态响应对每个输入呈线性。性。性系统。试判别该系统是否为线，与响应的关系为已知某零状态系统激励例2)(3)(:txty不满足线性系统的条件，所以该系统是非线性的。不满足线性系统的条件，所以该系统是非线性的。2)(32)(3)()(2)()( 32)(3)()()()(:, 2)(3)()(, 2)(3)()(:2211221122112211222111txktxktyktyktxktxktxtytxktxktxtxtytxtxtytxaaa时，当则设解：（实际上，该系统既不满足齐次性又不满足叠加性）（实际上，该系统既不满
18、足齐次性又不满足叠加性） (1) ( )320y kx kyx k 非线性系统非线性系统 因为不具有可分解性因为不具有可分解性 2(2) ( )3( )2 (0)y kxky 非线性系统非线性系统 因为不满足零状态线性因为不满足零状态线性(3) ( )( )(0)siny kkx kyk 线性系统线性系统 因为满足条件因为满足条件例：判断下列系统是为线性系统，并说明理由。例：判断下列系统是为线性系统，并说明理由。 44:02600835004tzittyytetyx ty teetyx t例已知某线性时间系统，当其初始状态时，系统的零输入响应，。而在初始状态及激励共同作用下的完全响应，。试求：
19、（1）系统的零状态响应；（2）系统在初始状态以及激励3共同作用下产生的完全响应。 44444354 65210zizstttttzsziy tytytyty tyteeeeet 解：（1）， 44423 2 635215510zizsttttty tytyteeeeet （2）=1，( )( )()()ddx ty tx tty tt若则3.3.时不变系统与时变系统时不变系统与时变系统0tt)(ty0)(tx系统系统0tt)(dtty0)(dttx系统系统tdtd时不变系统：时不变系统：若激励延迟一段时间若激励延迟一段时间 成为成为 ，则，则系统零状态响应也延迟同样的时间而成为系统零状态响应也
20、延迟同样的时间而成为 。即。即响应和激励的关系与激励的起始作用时刻无关。响应和激励的关系与激励的起始作用时刻无关。()dx tt()dy ttdt例例 试判断系统试判断系统 是否为时不变系统？是否为时不变系统？0( )( ) ty txd解：解：111000( )()( )( )() ( ) ()( )dddttddt ttt tdx tx tty txdxtdxdy ttxd若所以该系统为时变系统例例 试判别下列系统是否为时不变系统？试判别下列系统是否为时不变系统？(1)( )( ) (2)( )sin ( )(3)( )(2 )y ttx ty tx ty kxk解：解：111(1)( )
21、()( )( )()()() ()dddddx tx ttyttx ttx tty ttttx tt若所以该系统为时变系统111(2)( )()( )sin( )sin ()()sin ()ddddx tx tty tx tx tty ttx tt若所以该系统为时不变系统111(3)( )()( )(2 )(2)()2()ddddx kx kky kxkxkky kkxkk若所以该系统为时变系统 上面所说的是两种不同的分类方法，线性系统可以上面所说的是两种不同的分类方法，线性系统可以是时不变的，也可以是时变的；非线性系统也是如此。是时不变的，也可以是时变的；非线性系统也是如此。 本课程只讨论线
22、性时不变本课程只讨论线性时不变(LTI)(LTI)系统系统, ,简称线性系统。简称线性系统。 描述线性时不变连续系统的数学模型是常系数线性微分方程，描述线性时不变连续系统的数学模型是常系数线性微分方程， 描述线性时不变离散系统的数学模型是常系数线性差分方程描述线性时不变离散系统的数学模型是常系数线性差分方程 系统的线性与时不变性是两个不同的概念系统的线性与时不变性是两个不同的概念因果系统：因果系统：是指响应不会超前于激励的系统。是指响应不会超前于激励的系统。 任何时刻的响应只取决于激励的现在与过去值，而任何时刻的响应只取决于激励的现在与过去值，而与激励的将来值无关。如：与激励的将来值无关。如：
23、4.4.因果系统与非因果系统与非因果系统因果系统 实际系统都是因果系统，实际系统都是因果系统，非因果系统非因果系统不是真实系统，不是真实系统，而是一种理想的系统。（如以后要讲的理想滤波器）而是一种理想的系统。（如以后要讲的理想滤波器） )1 () 1()(txtxty 例如，假设系统的数学模型为：例如，假设系统的数学模型为：) 1 () 1()0(, 0 xxyt则令这也是一种非因果系统。这也是一种非因果系统。tdxty)()(信号理论：信号分析、信号处理、信号综合信号分析、信号处理、信号综合系统理论：系统分析、系统综合系统分析、系统综合 -信号分析：研究信号的表示、性质和特征。其核心研究信号
24、的表示、性质和特征。其核心是信号分解，将复杂信号分解为一些基本信号的线性是信号分解，将复杂信号分解为一些基本信号的线性组合，通过研究基本信号的特性和信号的线性组合关组合，通过研究基本信号的特性和信号的线性组合关系来研究复杂信号的特性。系来研究复杂信号的特性。 -系统分析：研究系统的特征和功能。在已知系统的研究系统的特征和功能。在已知系统的数学模型与输入信号的前提下，求解输出信号。数学模型与输入信号的前提下，求解输出信号。 -系统综合：给定输入，为了获得预期的输出，要求给定输入，为了获得预期的输出，要求 设计系统。设计系统。1.3 信号与系统分析概述信号分析与系统分析是一个统一的整体：从信号传输
25、的角度来看：从信号传输的角度来看：信号通过系统时，在系统的传递特信号通过系统时，在系统的传递特性作用下，信号的时间特性和频率特性会发生相应的变化，性作用下，信号的时间特性和频率特性会发生相应的变化，从而变成了新的信号。从而变成了新的信号。从系统响应的角度来看：从系统响应的角度来看：系统的主要作用是对信号进行处理系统的主要作用是对信号进行处理与传输。在输入信号的激励下，系统必然会作出相应的反响，与传输。在输入信号的激励下，系统必然会作出相应的反响，其外在的表现形式就是会有一个对应的输出（响应）。其外在的表现形式就是会有一个对应的输出（响应）。 综综合上述两个方面，可以看出：对信号的分析与对系统的
26、分析合上述两个方面，可以看出：对信号的分析与对系统的分析是密不可分的。是密不可分的。从数学的角度来看：从数学的角度来看：时域分析中信号与系统的特性都可以表时域分析中信号与系统的特性都可以表示为时间的函数，对它们也都可以用变换域的方法进行分析，示为时间的函数，对它们也都可以用变换域的方法进行分析，只不过是各自变换域函数的物理意义不同而已。只不过是各自变换域函数的物理意义不同而已。信号分析信号分析- 确定信号：解析的方法求解线性时不变系统响应确定信号：解析的方法求解线性时不变系统响应- 随机信号：概率统计的方法分析统计特性随机信号：概率统计的方法分析统计特性系统数学模型系统数学模型- 输入输入-
27、-输出关系法输出关系法- 状态空间描述法状态空间描述法信号与系统分析信号与系统分析- 时间域时间域- 变换域变换域SIGNALS AND SYSTEMS信号与系统信号与系统第二章 信号与系统的时域分析南京邮电大学南京邮电大学通信与信息工程学院通信与信息工程学院2015.9第二章 信号与系统的时域分析2.1 2.1 典型连续时间信号典型连续时间信号2.2 2.2 典型离散时间信号典型离散时间信号2.3 2.3 连续时间信号的基本运算连续时间信号的基本运算2.4 2.4 离散时间信号的基本运算离散时间信号的基本运算2.5 2.5 信号的时域分解信号的时域分解2.6 2.6 连续系统的冲激响应连续系
28、统的冲激响应2.7 2.7 离散系统的单位脉冲响应离散系统的单位脉冲响应2.8 2.8 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应2.9 2.9 离散系统的零状态响应离散系统的零状态响应2.10系统的全响应系统的全响应 stf tAe为复数，称复频率为复数，称复频率2.1 典型连续时间信号2.1.1 复指数信号sj为复数，称复振幅为复数，称复振幅jAA e000cossinjtstjttAeA e eA etj A et 实部为增长（实部为增长（0）或衰减（）或衰减（ 0）或衰减（）或衰减（ 0）或衰减（）或衰减（ 0）或衰减（）或衰减（ 0）或右移（或右移（b0）或右移（或右移（n0）得到的。
29、）得到的。( )()kmkf kf mk 设设m为正整数，从波形上看，为正整数，从波形上看，f(mk) 是将是将f(k) 的波形的波形压缩，表示序列压缩，表示序列f(k)中每隔中每隔m-1点抽取一点，也称为序列点抽取一点，也称为序列 的的m倍抽取（倍抽取（decimation）；）； f(k/m)是将是将f(k) 的波形扩展，的波形扩展，表示在序列表示在序列f(k) 的每相邻两点之间插入的每相邻两点之间插入m-1个零值点，也称为序列f(k)的的m倍内插（倍内插（interpolation）。）。3.尺度变换尺度变换:)(kf6311331k(2 )fk63111k( /2)f k6311331
30、k2.4.2 相加与相乘例：已知序列例：已知序列15210)(1kkkfk0202)(2kkkkfk)()()()(2121kfkfkfkf和求0521710)(1kkkkfk解：0212112)(2kkkkkfk072121512)()(21kkkkkfkfkk01052212710)()(121kkkkkkfkfkk1. 序列的差分序列的差分(对应于连续信号的微分对应于连续信号的微分)一阶前向差分一阶前向差分二阶前向差分二阶前向差分一阶后向差分一阶后向差分)() 1()(kfkfkf)() 1()()(2kfkfkfkf)() 1(2)2(kfkfkf) 1()()(kfkfkf二阶后向差
31、分二阶后向差分)2() 1(2)() 1()()()(2kfkfkfkfkfkfkf2.4.3 差分与累加2. 序列的累加序列的累加 (对应于连续信号的积分对应于连续信号的积分)( )( )kny kf n 6111k3( )( )kny kf n 324)(kf21131k322.5 信号的时域分解2.5.1 2.5.1 交、直流分解交、直流分解 DAf tftft2.5.2 2.5.2 奇、偶分解奇、偶分解 eof tftft 12eftf tft 012ftf tft2.5.3 2.5.3 实部、虚部分解实部、虚部分解 rif tftjf t注：注：所有分解对离散时间信号都适用，即将连续
32、所有分解对离散时间信号都适用，即将连续时间变量时间变量t换成离散时间变量换成离散时间变量k。2.5.4 2.5.4 脉冲分解脉冲分解 如图所示，任意波形的信号都可以用沿横向等间隔的折线来如图所示，任意波形的信号都可以用沿横向等间隔的折线来近似，近似，( )f t0tt10)(tgt10)(tg)()(ntgnx0tn ) 1(n( )()()nf tf ngtn nt)( nx其中在其中在 时刻出现的矩形脉冲高度为时刻出现的矩形脉冲高度为 宽度为宽度为 。折线中的每一条横向线段都可以看作一个矩形脉冲。折线中的每一条横向线段都可以看作一个矩形脉冲。n2(0)f(2 )f()f n折线可以看作是矩
33、形脉冲的叠加折线可以看作是矩形脉冲的叠加为讨论方便起见，为讨论方便起见，此处此处 的定的定义与前面不同。义与前面不同。)(tg1.连续信号分解为单位冲激信号的线性组合连续信号分解为单位冲激信号的线性组合0( )lim()()nf tf ngtn 解释： ,),()(,0的积分求和变成对连续变量成为，成为新的连续变量记作时，当tntgnd( )( ) ()f tftd 即1.( ) ( ) ()f tfdt 说明任意波形的信号可以看成是由无穷多个连续出现的冲激信号分量叠加起来构成的。 2.f t其物理含义是信号上的任意一点都可以看作一个强度为无穷小的延迟冲激信号，但强度有相对大小的不同。3.t是
34、积分变量， 是积分参变量（在积分过程中可视为常数），因此，该积分公式也可以直接从单位冲激函数的筛选特性得到。 任意波形的信号也可以近似表示为无穷多个阶跃信任意波形的信号也可以近似表示为无穷多个阶跃信号之和（分解过程略）：号之和（分解过程略）：)(tx)0(x)( xt( )( ) ()x txu td 利用后面将要介绍的卷积性利用后面将要介绍的卷积性质，可以很方便地证明这一结论。质，可以很方便地证明这一结论。2.离散序列分解为单位脉冲序列的线性组合离散序列分解为单位脉冲序列的线性组合 根据单位脉冲序列的加权特性，任意序列可根据单位脉冲序列的加权特性，任意序列可以表示为延迟的单位脉冲序列的线性加
35、权和，即以表示为延迟的单位脉冲序列的线性加权和，即( )( 2) (2)( 1) (1)(0) ( )(1) (1)( ) ()nf kfkfkfkfkf nk n 表明任意离散时间信号可以分解为单位脉冲表明任意离散时间信号可以分解为单位脉冲序列的线性组合。序列的线性组合。2.6 连续系统的冲激响应2.6.1 2.6.1 冲激响应的定义冲激响应的定义 零状态系统在单位冲激信号作用下的响应。零状态系统在单位冲激信号作用下的响应。例：如图电路例：如图电路2.6.2 冲激响应的物理解释 )()()(tvdttdiLtRisLL(0 )0,( )( )( )( )LsLiv tti th t当时，则(
36、 )( )( )LLditRitLtdt即：+-)(tvsRL)(tiL)(th0)0(nqS( ) t对上式从对上式从 到到 取积分，得取积分，得 0t 0t001)0()0()(LLLLiLidttiRLiidttitiLLLL1)0(0)0(0)()(00，且是有限的，故零输入响应，此时电路是一个特殊的时，当, 0)(0tt由三要素公式得由三要素公式得)()(1)(thteLtitLRL与与RL电路相对电路相对偶，可得偶，可得RC电电路的冲激响应：路的冲激响应：)(tRC+_)(tvc)()(1)()()()(1thteCtvtdttdvCRtvtRCCCC（电感电流在冲激信号作用下，（
37、电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到从零跃变到 ）1L)()( )()()()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn此时，系统的冲激响应所应当满足的微分方程为：此时，系统的冲激响应所应当满足的微分方程为：)()( )()()()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(tbtbtbtbthathathathammmmnnnn2.6.3 冲激响应的求取 描述描述n阶线性时不变连续系统的微分方程的一般形式为：阶线性时不变连续系统的微分方程的一般形式为： 对于因果系统来说，初始状态对于因果系统来说，初始状态 。由于由于
38、及其各阶导数在及其各阶导数在 时都等于零，即上式时都等于零，即上式右端各项为零，从而成为齐次方程。因此冲激响应右端各项为零，从而成为齐次方程。因此冲激响应h( (t) )的形式应当与齐次解的形式相同。的形式应当与齐次解的形式相同。 00(0,1,1)ihin t0t对于一般的微分方程直接求解冲激响应对于一般的微分方程直接求解冲激响应3, 221其特征根为2312( )() ( )tth tk ek eu t则解：解：)(2)( 3)(6)( 5)(ttththth22332121kkkk则有7421kk解得)(2)( 3)()23()( )(2121tttkktkk：代入原方程，经整理得32(
39、 )(74) ( )tth teeu t)(2)( 3)(6)( 5)(txtxtytyty例：例：23121223121212( )( )() ( )( 23) ( )( )() ( )( 23) ( )(49) ( )tttth th tkktk ek eu thtkktkktk ek eu t inm(1)若方程的特征根 均为单根，则当时，有1( )() ( )intiih tceu t ( )-nmh ttm n当时，中函数会包含直至其阶导数111112tttkkc ec tec te为了使方程成立，两边所具有的冲激信号及其各阶导为了使方程成立，两边所具有的冲激信号及其各阶导数项必须相
40、等，对方程特征根的不同形式分别讨论：数项必须相等，对方程特征根的不同形式分别讨论：1k(2)若方程的特征根中有 阶重根 ，则相应项变为1,2j(3)若方程的特征根中有共轭复根，则相应项变为12cossinttc etc et100: ( )()kh kab 归纳出 00(1)( )( )y ka y kb x kh k例：若某离散时间系统的差分方程为，求系统的单位脉冲响应。一般只能得到数值解一般只能得到数值解（不易得到闭式解）（不易得到闭式解）2.7 离散系统的单位脉冲响应1. 迭代法迭代法解：根据单位脉冲响应的定义解：根据单位脉冲响应的定义00(1)( )( )h ka h kbk对于因果系
41、统，由于对于因果系统，由于 ，故，故1010h 采用迭代法，将差分方程写成采用迭代法，将差分方程写成00(1)( )( )h kbka h k001(0)1( 1)0khba h 0000 (1)0(0)khba hb 00001 (2)1(1)khba ha b 2. 直接求解法直接求解法(补充补充)(2)5 (1)6 ( )(2)y ky ky kx k例:设差分方程为，试求系统单位脉冲函数响应。)2()(6)1(5)2(kkhkhkh由由差差分分方方程程得得解解5) 1 (0) 1 () 1(6)0(5) 1 (11)0(1)0()2(6) 1(5)0(2hhhhkhhhhk，得，得取取
42、，得，得取取12( )( 2)( 3)kkh kAA则单位函数响应为32065212，特特征征根根特特征征方方程程为为0)(0khk时时，单单位位函函数数响响应应对对于于因因果果系系统统来来说说，当当32)(21AAkh，的表达式，解得的表达式，解得代入代入11( )( 2)( 3)( )kkh ku k 所以3. 间接求解法间接求解法000(2)5(1)6( )( )h kh kh kk设:(2)5 (1)6 ( )(2)3 ( )y ky ky kx kx k例 某离散时间系统由下列差分方程描述：试求其单位脉冲响应。 (2)5 (1)6 ( )(2)3 ( )h kh kh kh kkk解
43、：根据的定义，应满足 00033(2)53(1)63( )3 ( )h kh kh kk 方程两边同时乘以0002(4)5(3)6(2)(2)kkh kh kh kk方程中以替换000000(4)3(2)5(3)3(2)6(2)3( )(2)3 ( )h kh kh kh kh kh kkk有00( )(2)3( )h kh kh k对比有S)(k0( )h k根系统的零状态线性和时不变性，有根系统的零状态线性和时不变性，有00( )()mjjh kb h kjS()kn0()h kn0()mjjbkj00()mjjb h kjS000(2)5(1)6( )( )h kh kh kk12000
44、00000000000( )02(0)5( 1)6( 2)( 2)0(0)01(1)5(0)6( 1)( 1)0(1)00(2)5(1)6(0)(0)1(2)1AAkh kkhhhhkhhhhkhhhh 确定系数 、 需要两个初始条件。由时，取得取得取得012( )( 2)( 3)kkh kAA则单位脉冲响应为21256023 特征方程为，特征根，001211(1)0(2)123hhAA 代入初始条件，可解得，110( )23(1)kkh ku k 即001111( )(2)3( )23(1)( )(1)323(1)kkkkh kh kh kkku ku k 所以1111( )51(4293)
45、 (2)3(23) (2)kkkkkku ku k 11( )5 (1)( 2)6( 3)(2)kkkku knnnanhnhhhkkhakhankhankhan1)(0) 1()2() 1 ()()() 1() 1()(00000001010，而而初初始始条条件件为为阶阶前前向向差差分分方方程程结结论论：对对于于nnnahnhhhkkhakhankhankhan1)0(0) 1()2() 1()()() 1() 1()(00000001010，而而初初始始条条件件为为阶阶后后向向差差分分方方程程对对于于2.8.1 卷积分析法的引出 对于线性时不变系统，设对于线性时不变系统，设)()()()(
46、)()()()()()()()()()(tydthxdtxtxthdxtdxthttht则当的卷积积分与称为记作)()()()()()()(thtxdthxthtxty)(ty0)0(nqS( )x t 2.8 连续系统的零状态响应分析思路：分析思路： 首先把任意信号分解为基本单元信号（这里是指首先把任意信号分解为基本单元信号（这里是指冲激信号）；冲激信号）； 然后研究系统对基本单元信号的零状态响应（这然后研究系统对基本单元信号的零状态响应（这里是指冲激响应）里是指冲激响应） ； 再根据线性时不变系统的根本规律，把这些基本再根据线性时不变系统的根本规律，把这些基本单元信号单独作用于系统时所引起
47、的零状态响应迭加单元信号单独作用于系统时所引起的零状态响应迭加起来。起来。 这种方法把求解微分方程特解的问题转化为用数这种方法把求解微分方程特解的问题转化为用数学表达式（这里是指卷积积分）求解，不仅使运算大学表达式（这里是指卷积积分）求解，不仅使运算大为简化，而且易于实现。为简化，而且易于实现。dthxthtxty)()()()()(解释：)()(),()(. 1ththxtx换成换成计算卷积时，将）连续变化。，（在信号出现的时刻，可以是积分变量，表示冲激. 2要考察的响应时刻。示所过程中可视为定值，表是积分参变量，在积分t. 3化。的变化，卷积值也在变的响应时刻的函数，即随着要考察是时间卷积
48、值tty )(. 4。作用下的零状态响应激励其在任意即可用卷积分析法求得（系统特性的表征），一旦求得其冲激响应对任意线性时不变系统)()()(. 5tytxth都是有始函数时，设和当)()(thtx12( )( ) (),( )( ) ()x tx t u tth th t u tt12( )( )( )( ) () () ()y tx th txut h tu tt d则1112221212121210()00()0( )ttutttttu tttttttty ttttttttt 考虑到（即）时，以及（即）时，也就是说只有当时，被积函数才可能不为零。因此，积分下限应当为 ，上限应当为。其物理
49、意义是：响应是由激励在（ ，）期间所有分量的共同作用所引起的。而对于 来说，应当满足，积分出来的结果才可能不为零。其物理意义是： 时刻（最21212( )()ty tttu ttt早）出现的激励分量所引起的响应要再延迟 时间才能出现，即：响应出现的最早时刻为。或者说应当将卷积结果乘以，于是有2112( )( )( )( ) ()()t tty tx th txh tdu ttt2.8.2 确定卷积积分限的公式( )1,( )(2),tx th te u t例：已知激励信号系统的冲激响应试用卷积分析法求其零状态响应。112()22( )11()1()( )( )( )1()ttttx tu tu
50、 ttty tx th tedu te ee 解：，其中，则2( )(1),( )(3),ttx te u th teu t例：已知激励信号系统的冲激响应试用卷积分析法求其零状态响应。32()1233211( )( )( )(4) (4)(4)tttttty tx th teedu teeu teeu t 解： 图形卷积能够直观地理解卷积积分的计算过程，有图形卷积能够直观地理解卷积积分的计算过程，有助于确定积分的上下限。助于确定积分的上下限。dthxthtxty)()()()()(相乘；和相乘：将)()(. 4thx归纳起来，卷积的图解过程有五个步骤：归纳起来，卷积的图解过程有五个步骤：)()
