1、一一、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律二二、常见离散型随机变量的概率分布常见离散型随机变量的概率分布三三、小结小结第二节第二节 离散型随机变量离散型随机变量 及其分布律及其分布律说明说明 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp., 2, 1,), 2 , 1(的分布律的分布律称此为离散型随机变量称此为离散型随机变量为为的概率的概率即事件即事件取各个可能值的概率取各个可能值的概率所有可能取的值为所有可能取的值为设离散型随机变量设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkkk 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律定义定义离散型随机变量的分布律也可表示
2、为离散型随机变量的分布律也可表示为 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21.),(,.21,的分布律的分布律求求相互独立的相互独立的设各组信号灯的工作是设各组信号灯的工作是号灯的组数号灯的组数它已通过的信它已通过的信表示汽车首次停下时表示汽车首次停下时以以车通过车通过的概率允许或禁止汽的概率允许或禁止汽每组信号灯以每组信号灯以组信号灯组信号灯的道路上需经过四的道路上需经过四设一汽车在开往目的地设一汽车在开往目的地XX解解,通过的概率通过的概率为每组信号灯禁止汽车为每组信号灯禁止汽车设设 p则有则有kpX43210ppp)1( pp2)1 ( pp3)1 ( 4)1(p 例例1
3、代入得代入得将将21 pXkp432105 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 0二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值 , 它的分它的分布律为布律为Xkp0p 11p则称则称 X 服从服从 (01) 分布分布或或两点分布两点分布.1.两点分布两点分布 实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情观察正、反两面情况况. 随机变量随机变量 X 服从服从 (01) 分布分布., 1)(eXX , 0,正面正面当当 e.反面反面当当 eXkp012121其分布律为其分布律为实例
4、实例2 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格件不合格品品,现从中随机抽取一件现从中随机抽取一件,那末那末,若规定若规定 , 0, 1X取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X 服从服从(0 1)分布分布.Xkp0120019020010 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于两点分布分布.说明说明2.等可能等可能分布分布如果随
5、机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为实例实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,Xkp161234566161616161则有则有 ., )(),(服从等可能分布服从等可能分布则称则称其中其中Xjiaaji Xkpnaaa21nnn111将试验将试验 E 重复进行重复进行 n 次次, 若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果它各次试验的结果, 则称这则称这 n 次试验是次试验是相互独立相互独立的的, 或称为或称为 n 次次重复独立重复独立试验试验.(
6、1) 重复独立试验重复独立试验3.二项分布二项分布(2) n 重重伯努利试验伯努利试验.1)(),10()( .,:pAPppAPEAAE 此时此时设设为伯努利试验为伯努利试验则称则称及及只有两个可能结果只有两个可能结果设试验设试验伯努利资料伯努利资料. , 重重伯伯努努利利试试验验 nnE复复的的独独立立试试验验为为则则称称这这一一串串重重次次独独立立地地重重复复地地进进行行将将实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬若将硬币抛币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否 “出现出现 1 点
7、点”, 就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.(3) 二项概率公式二项概率公式,发生的次数发生的次数重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件表示表示若若AnX所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X., 2, 1, 0n,)0(时时当当nkkX .次次次试验中发生了次试验中发生了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次试验中发生次试验中发生在在得得knA,种种 kn且两两互不相容且两两互不相容.nknknnkpqpknpqnqpnkX 1110称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为).,(pnbX次的概率为
8、次的概率为次试验中发生次试验中发生在在因此因此knAknkppkn )1(pq 1记记knkqpkn 的分布律为的分布律为得得 X二项分布二项分布1 n两点分布两点分布二项分布的图形二项分布的图形例如例如 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每每次射击时击中目标的概率为次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次则击中目标的次数数 X 服从服从 b (5,0.6) 的二项分布的二项分布.5) 4 . 0(44 . 06 . 015 324 . 06 . 025 234 . 06 . 035 4 . 06 . 0454 56 . 0Xkp012345?)
9、20, 1 , 0(20.20, 2 . 0.1500,一级品的概率是多少一级品的概率是多少只只中恰有中恰有只元件只元件问问只只现在从中随机地抽查现在从中随机地抽查品率为品率为级级已知某一大批产品的一已知某一大批产品的一小时的为一级品小时的为一级品用寿命超过用寿命超过某种型号电子元件的使某种型号电子元件的使按规定按规定 kk分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.2020,重重伯伯努努利利
10、试试验验只只元元件件相相当当于于做做检检查查验验一一级级品品看看成成是是一一次次试试把把检检查查一一只只元元件件是是否否为为例例2解解,20 只只元元件件中中一一级级品品的的只只数数记记以以 X),2 . 0,20( bX则则因此所求概率为因此所求概率为.20, 1 , 0,)8 . 0()2 . 0(2020 kkkXPkk012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP时时当当11,001. 0 kkXP图示概率分布图
11、示概率分布.,400,02. 0,率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概次次独独立立射射击击设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击解解,X设击中的次数为设击中的次数为).02. 0 ,400( bX则则的分布律为的分布律为X,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP .400, 1 , 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例例3 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设设每辆汽车在一天的某段时间内每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概
12、率为出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过辆汽车通过, 问问出事故的次数不小于出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?),0001.0,1000( bX99910009999. 00001. 0110009999. 01 设设 1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X , 则则解解例例4故所求概率为故所求概率为1012 XPXPXP二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp 4. 泊松分布泊松分布 ).(,.0, 2 , 1 , 0,!e, 2, 1, 0 XXkkkXPk记为记为布布的泊松分的泊松分服从参数为服从参
13、数为则称则称是常数是常数其中其中值的概率为值的概率为而取各个而取各个的值为的值为设随机变量所有可能取设随机变量所有可能取 泊松资料泊松资料泊松分布的图形泊松分布的图形泊松分布随机数泊松分布随机数演示演示泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时, ,他他们做了们做了2608次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5秒秒) )发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊
14、松分布. . 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水上面我们提到上面我们提到单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp 设设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数
15、为出事故的次数为 X , 则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算, 1 . 00001. 01000 所求概率为所求概率为99910009999.00001.0110009999.01 .0047. 0! 1e1 . 0!0e11 . 01 . 0 解解2 XP1012 XPXPXP),0001.0,1000( bX例例4 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事
16、故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?例例5 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修需配备适量的维修工人工人 (工人配备多了就浪费工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生配备少了又要影响生产产),现有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工人问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于但不能及
17、时维修的概率小于0.01?解解.人人设需配备设需配备 N设备设备记同一时刻发生故障的记同一时刻发生故障的,X台数为台数为).01. 0 ,300(,bX那么那么所需解决的问题所需解决的问题,N是确定最小的是确定最小的使得使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题由泊松定理由泊松定理得得,!e303 NkkkNXP故有故有,99. 0!e303 Nkkk即即 Nkkk03!e31 13!e3Nkkk,01. 0 . 8是是小的小的查表可求得满足此式最查表可求得满足此式最N个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备
18、故至少需配备8.99. 0 NXP例例6 设有设有80台同类型设备台同类型设备,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的发生故障的概率都是发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由且一台设备的故障能由一个人处理一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法考虑两种配备维修工人的方法 , 其一其一是由四人维护是由四人维护,每人负责每人负责20台台; 其二是由其二是由3人共同维人共同维护台护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小及时维修的概率的大小.解解 按第一种方法按第一种方法台中台中人维护的人维护的表示事件“第表示事件“第20i,
19、201数”数”的台的台台中同一时刻发生故障台中同一时刻发生故障人维护的人维护的记“第记“第以以X)4 , 3 , 2 , 1( iAi以以发生故障时不能及时维修发生故障时不能及时维修”,而不能及时维修的概率为而不能及时维修的概率为则知则知80台中发生故障台中发生故障)()(14321APAAAAP .2 XP),01. 0 ,20( bX而而np 又又, 2 . 0 故有故有 22 . 0!)2 . 0(2kkkkXP.0175. 0 即有即有.0175. 0)(4321 AAAAP 按第二种方法按第二种方法.80障的台数障的台数台中同一时刻发生故台中同一时刻发生故记记以以Y),01. 0 ,
20、80( bY则有则有np 又又, 8 . 0 故故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为台中发生故障而不能及时维修的概率为 48 . 0!)8 . 0(4kkkkYP.0091. 0 5. 几何分布几何分布 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称 X 服从服从几何分布几何分布.实例实例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有对该批产品做有放回的抽样检查放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品那么所抽到的产品数数 X 是一个随机变量是一个随机变量 ,
21、 求求X 的分布律的分布律., 1, qpXkpk21pqppqk 1 )(121kkAAAAPkXP )()()()(121kkAPAPAPAP ppppk )1()1()1)(1(.1pqk ), 2 , 1( k所以所以 X 服从几何分布服从几何分布.说明说明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “ “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.解解., 3, 2, 1所取的可能值是所取的可能值是X,个产品是正品”个产品是正品”表示“抽到的第表示“抽到的第设设iAi离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布 两点分布两点分布均匀分布均匀分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何
22、分布几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布1010.p,n 两点分布两点分布1 n三、小结三、小结).,(,)10(), 2 , 1(, 0, 1,)10(21pnXXXXniiiXpnni参数为参数为服从二项分布服从二项分布那末那末分布并且相互独立分布并且相互独立它们都服从它们都服从次试验失败次试验失败若第若第次试验成功次试验成功若第若第设设每次试验成功的概率为每次试验成功的概率为立重复伯努里试验立重复伯努里试验次独次独对于对于分布的推广分布的推广二项分布是二项分布是 .)10(. 2关系关系分布、泊松分布之间的分布、泊松分布之间的二项分布与二项分布与 )., 2 , 1 , 0(,e!)()1(,)(,nkknpppknkXPnnppnnpkknk 即即为参数的泊松分布为参数的泊松分布于以于以时趋时趋当当为参数的二项分布为参数的二项分布以以 Jacob BernoulliBorn: 27 Dec 1654 in Basel, SwitzerlandDied: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland伯努利资料伯努利资料泊松资料泊松资料Born: 21 June 1781 in Pithiviers, FranceDied: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), FranceSimon Poisson
