1、第一节 微分中值定理(二)第四章 应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 一、泰勒中值定理（泰勒公式）一、泰勒中值定理（泰勒公式）三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 特点:10()P x )(0 xf)(0 xf )(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf1( )P x以直代曲以直代曲0 x1( )P x10()P xxx 的一次多项式 00( )f xxU x若若函函数数在在处处可可微微，则则在在有有0()ydyfxx xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 不足不足:1、精确度不高、精确度不高2、误差不能
2、估计、误差不能估计2010200( )()()()nnnP xaaxxaxxaxx 令令( )( )nnP xf x下下面面用用 次次多多项项式式来来逼逼近近，使使得得00()(),nP xf x 00()(),nP xfx ( )( )00()()nnnPxfx 1202!()naP x 故, )(0 xf !21,()10!()nnnnaPx )(0)(xfn!1n()nPx nnxxxf)(00)(!1n)(0 xf)(00 xxxf200)(xxxf !21从而( )nP x ( )nP x nan!( )( )nnPx 00()naP x , )(0 xf10()naP x , )(
3、0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)()1(nnxxann2010200( )()()()nnnP xaaxxaxxaxx0( )f xx称称为为在在处处的的n n阶阶泰泰勒勒多多项项式式. .公式 称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项 .内具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数 ,),(bax时, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR则当)0(之间与在xx公式 称为 在 处具有拉格朗日型余项的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式
4、.)(xf0 x一、泰勒中值定理（一、泰勒中值定理（泰勒泰勒公式）公式）其中证明证明: :两函数两函数)(xRn及及10)( nxx在以在以0 x及及x为端点的为端点的区间上满足柯西中值定理的条件区间上满足柯西中值定理的条件, ,得得)()(1()(0011之间之间与与在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn( )nRx令令( )( )nf xP x( )000()( )()!knkkfxf xxxk 如如此此下下去去, ,经经过过)1( n次次后后, ,得得 两两函函数数)(xRn 及及nx
5、xn)(1(0 在在以以0 x及及1 为为端端点点的的区区间间上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条件件, ,得得0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR 2201120()()(1)()nnRxn nx 在在与与之之间间 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn , 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 00( )lim0()nnxxRxxx 从从而而.)()(0nnxxoxR 即即皮亚诺余项皮亚诺余项故在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为( )0000()( )()() !knknkfxf x
6、xxo xxk 称为 在 处带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .)(xf0 x拉格朗日型余项拉格朗日型余项特例:(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为)(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 误差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0
7、(之间与在xx称为n阶麦克劳林（麦克劳林（ Maclaurin ）公式）公式 ., ) 10(,00 xx则有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn则有误差估计式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林
8、公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn! ) 1( n) 10(1nxxe)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10()sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm )sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! )
9、1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(4224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多项式逼近! )2(2mxmxxfcos)()3(类似可得xcos1!22x!44x m) 1(! )22(m)cos() 1(1xm) 10(22mx) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1(
10、) 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n特别：11x 1x 2x 3x ( 1)nnx 112( 1)1nnnxx ) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n类似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差(1)11()( )(1)!(1)!nnnnfxMRxxxnn M 为)() 1(xfn在包含 0 , x 的某区间上的上界.需解问题的
11、类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(已知例1. 计算无理数计算无理数 e 的近似值的近似值 , 使误差不超过使误差不超过.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! ) 1(!1!2111nen) 10(由于, 30ee欲使) 1 (nR!) 1(3n610由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nx
12、n!22x的麦克劳林公式为注意：计算中间结果时应比精度要求多取一位注意：计算中间结果时应比精度要求多取一位 . .例2. 用近似公式用近似公式!21cos2xx计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.解解: 近似公式的误差)cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x解得588. 0 x即当588. 0 x时, 由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005 .解解:)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30sin(1)limxxexxxx23333301()()(1)2!3!3!limxxxxxo xxo
13、 xxxx 3333032xxoxxx)(!lim31例例3 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限301xxxxexx)(sinlim2. 利用泰勒公式求极限11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式证明不等式例例4. 证明).0(82112xxxx证证:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项)(0nxxo当00 x时为麦克劳林公式麦克劳
14、林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx2. 常用函数的麦克劳林公式,xe, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算(3) 求极限 , 证明不等式 等.(2) 利用多项式逼近函数 思考与练习 1.计算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解
15、解:原式e) 10(! ) 1(!1!2111nen两边同乘 n !en!= 整数 +) 10(1ne假设 e 为有理数qp( p , q 为正整数) ,则当 时,qn 等式左边为整数;矛盾. 2. 证明证明 e 为无理数为无理数. 证证:2n 时,当故 e 为无理数 .等式右边不可能为整数.泰勒 (1685 1731)英国数学家, 他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 线性透视论(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .他是有限差分理论的奠基人 .麦克劳林 (1698 1746)英国数学家, 著作有:流数论(1742)有机几何学(1720)代数论(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数麦克劳林级数 .
