1、第三节 函数的性态（二）一、曲线凹凸的定义二、曲线凹凸的判定三、曲线的拐点及其求法第四章四、曲线的渐近线一、曲线凹凸的定义211121()()( )()()f xf xf xf xxxxx 问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的上方（凸函数）所张弦的上方（凸函数）xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的下方（凹函数）所张弦的下方（凹函数）211121()()( )()()f xf xf xf xxxxx 二、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(
2、xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在二阶导数二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y(,0) 曲曲线线在在为为凸凸的的；时，时，当当0 x, 0 y0,) 曲曲线线在在( (为为凹凹的的；.)0 , 0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,定义
3、定义. 设f (x)C(U(x0), 若曲线 y = f (x)在点 (x0, f (x0)的左右两侧凹凸性相反, 则称点(x0, f (x0)为该曲线的拐点.比如, y = x3, y =6x, 在(0,0)两边曲线凹凸性相反, 故(0,0)是一个拐点.三、曲线的拐点及其求法拐点就是连续曲线拐点就是连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧上凹弧与凸弧的分界点的分界点但反过来，使但反过来，使f (x0)=0的点的点(x0, f (x0)不一定是拐点不一定是拐点.例如，对曲线y=x4, y=12x20且y| x=0=0，但点(0, 0)不是拐点.y=x4xoy当函数当函数f (x)在点在点x0处的二阶导
4、数不存在时处的二阶导数不存在时, 点点(x0, f (x)也可能是曲线也可能是曲线y=f (x)的拐点的拐点.xoy3xy 例如，点(0, 0)是曲线y= 拐点3x但要注意使但要注意使f (x0)=0的点的点(x0, f (x0)不一定是拐点不一定是拐点.如果如果f (x)在点在点x0的左右两侧邻域异号，那么点的左右两侧邻域异号，那么点(x0, f (x0)就是曲线就是曲线y=f(x)的一个拐点的一个拐点;如果如果f (x)在点在点 的左右的左右两侧邻域同号，那么它就不是曲线两侧邻域同号，那么它就不是曲线y=f(x)的拐点的拐点.0 x 由此可知，在拐点处，函数的二阶导数由此可知，在拐点处，函
5、数的二阶导数f (x)要么为要么为零，要么不存在零，要么不存在.(1) 求f (x)和f (x)；(2) 解方程f (x)=0，求出其全部实根，并指出f (x)不存在的点；(3) 对于(2)中的每一个点x0(包括f (x)=0的实根及f (x)不存在的点)，判断f (x)在其左右两侧邻近的符号.如果f (x)在点x0的左、右两侧的符号相反时，点(x0, f (x0)就是曲线y=f (x)的拐点, 而当两侧符号相同时, 点(x0, f (x0)不是拐点.例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,
6、0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32( 22(,0),0,(,).33凹凹凸凸区区间间为为例例3. 分析由参数方程解解:233tyttx确定的曲线 y = f (x)的凹凸性并求拐点.txtyxydddddd)1 (322tttxtttxydd)1 (32dddd222322)1 (9)1 (2tt1 , 1, 0dd2122ttxy得由当1 t 1时, 0dd22xy当 t 1时,即x 4, y = f (x)是凸的., 0dd22xy即4 x 1时, 0
7、dd22xy即x 4时, y = f (x)是凸的.(4, 1) 和 (4, 1)都是曲线 y = f (x)的拐点.22223d2(1)d9(1)ytxt 1 , 1, 0dd2122ttxy得由00000( ),()0,()0,(,()( ).f xxfxfxxf xyf x 设设函函数数在在的的邻邻域域内内三三阶阶可可导导 且且而而那那么么是是曲曲线线的的拐拐点点例例4 4.)2 , 0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0
8、内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 定理定理渐近线定义: 当C上动点M沿曲线无限远离原点时, 存在一直线l, 使MN趋向于零, 则称直线l为曲线 C的一条渐近线.xyOCMNNly=f (x)说明：说明：1.1.垂直渐近线垂直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x000lim( )lim( )( ).xxxxf xf xxxyf x 如如果果或或那那么么就就是是的的一一条条垂垂直直渐渐近近线线例如例如,)3)(2(1 xxy有垂直渐近线两条有垂直渐近线两条: :. 3, 2 xx2.2.水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于
9、x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy3. 斜渐近线斜渐近线有则曲线)(xfy 斜渐近线.bxky)(x或若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)(lim)(不存在但存在kxxfkxxfx
10、x2( ).yf x 则则不不存存在在斜斜渐渐近近线线例例5. 求曲线求曲线3223xxxy的渐近线 .解解:,) 1)(3(3xxxy,lim3yx) 1(x或所以有垂直渐近线3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy为曲线的斜渐近线 .312 xy思考与练习 1 ,0上,0)( xf则, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小顺序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用)(xf 单调增加 ,) 10()()0() 1 (fff及B1. 设在证明:20 x当时，.2sinxx有证明证明:xxxF2sin)(令, 0)0(F, 则)(xF )(xF)(xF是凸凸函数)(xF即xx2sin)20( x 2 .0)2(F2cosxxsin0)2(),0(minFF0
