1、第一节 定积分的概念第六章二、定积分的定义三、定积分存在定理四、定积分的几何意义一、问题的提出abxyo? A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出)(xfy abxyoabxyo用矩形面积近似代替曲边梯形面积用矩形面积近似代替曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，0121 , 1,nna
2、bnaxxxxxb （1 1）分分割割：在在区区间间内内插插入入个个分分点点，abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间1,iiixx （2 2）近近似似代代替替：在在每每个个小小区区间间上上任任取取一一点点，iiixfA )( 为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细)0(,max,21 nxx
3、x曲边梯形面积为曲边梯形面积为(3)求和：求和：(4)取极限：取极限：实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程.思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程
4、求得路程的精确值分过程求得路程的精确值（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（3）求和）求和iinitvs )(1 （4）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值（2）近似代替）近似代替设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，在在,ba中任意插入中任意插入bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区
5、区间间上上任任取取一点一点i （iix ），），作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，二、定积分的定义定义定义1,iiixx 怎怎样样划划分分，也也不不论论在在小小区区间间上上点点 如如何何选选取取 baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量 , a b 称称为为积积分分区区间间只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：(2) 定积分定积
6、分 表示的是一个常数表示的是一个常数, 它只与被积函它只与被积函数及积分区间数及积分区间a, b有关有关, 而与积分变量的记号无关而与积分变量的记号无关, 即即badxxf)(bababaduufdttfdxxf)()()(1)定积分是一个积分和的极限定积分是一个积分和的极限, , 它与不定积分有着它与不定积分有着本质的区别本质的区别. .(3) 定义中实际上假定了定义中实际上假定了ab, 为了需要规定为了需要规定:aaabbaf(x)dxdxxfdxxf)( ; 0)(i （5 5）在在定定积积分分的的定定义义中中，极极限限值值的的存存在在与与划划分分区区间间的的方方式式无无关关，也也与与子
7、子区区间间上上点点 的的取取法法无无关关. .1,( )0,xD xx 为为有有理理数数例例：狄狄利利克克雷雷函函数数为为无无理理数数 ( ),if xa b 因因此此，如如果果由由于于对对区区间间的的划划分分不不同同或或子子区区间间上上 的的取取法法不不同同而而导导致致所所得得积积分分和和的的极极限限不不同同或或极极限限不不存存在在，则则在在上上不不可可积积. . ( ),baibaf xa bf(x)dxf(x)dx （6 6）若若已已确确定定在在上上可可积积，则则的的值值与与区区间间的的划划分分及及 的的取取法法无无关关，因因此此可可以以选选定定某某一一特特殊殊的的划划分分和和取取法法来
8、来计计算算. . , a b在在任任何何有有限限区区间间上上都都不不可可积积. .( ) , , ( ) , f xa bf xa b若若函函数数在在上上可可积积则则在在上上有有界界. .三、定积分存在定理但但有有界界函函数数不不一一定定可可积积，例例如如狄狄利利克克雷雷函函数数. .无无界界函函数数一一定定不不可可积积. .对于有界函数来说有：对于有界函数来说有： ( ) , , ( ) , f xa bf xa b若若在在上上连连续续则则在在上上可可积积. .( ) , ( ) , f xa bf xa b若若在在上上只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点，则则在在上上可可积积. .
9、 ( ) , , ( ) , f xa bf xa b若若在在上上单单调调则则在在上上可可积积. ., 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定积分的几何意义由定积分定义与曲边梯形面积问题的讨论可知( )( ),baf x dxxf xxaxbxx 是是介介于于轴轴、函函数数的的图图形形及及两两条条直直线线之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代数数和和在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在轴轴下下方方的的面面积积取取负负号号ab例11
10、20.x dx 假假定定定定积积分分存存在在，试试用用定定积积分分定定义义求求其其积积分分值值解解将将1 , 0n等等分分，分分点点为为nixi ，(ni, 2 , 1 )小区间小区间,1iixx 的长度的长度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 21niiixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn n0 dxx 102iinix 210lim 13 ?0n31(1)(21)lim6nn nnn121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2. 用定积分表示
11、下列极限用定积分表示下列极限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110 x01ni 1ni说明:, ,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii记baxxfd)(. 1xyxyxyn110)(110nnabyyy将 a , b 分成 n 等份: abxoyix1ix(左矩形公式)(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(. 2xyxyxyn21(矩形法)baxxfd)(.
12、3xyyii211)()(21110nnyyyynab( (梯形公式梯形公式) )11ni为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, abxoyix1ix现已有很多现成的数学软件可供调用.五、小结定积分的实质定积分的实质：和式的极限：和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限解：解：原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 思
13、考题将和式极限表示成积分将和式极限表示成积分 nnnnnn)1(sin2sinsin1lim10sin x dx 证明证明nnnnfnfnf 21lim nnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf 21lim试证试证.10)(ln dxxfe利用对数的性质得利用对数的性质得 nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1 指指数数上上可可理理解解为为：)(lnxf在在1 , 0区区间间上上的的一一个个积积分分和和分分割割是是将将1 , 0n等等分分分点为分点为nixi ，（ni, 2 , 1 ） nnnnfnfnfe21lnlim极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim10ln( )f x dxe 因为因为)(xf在区间在区间1 , 0上连续，且上连续，且0)( xf所所以以)(lnxf在在1 , 0上上有有意意义义且且可可积积 ,
