1、第四章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 推广推广微分中值定理 与导数的应用 第一节 微分中值定理（一）第四章一、罗尔( Rolle )定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 000000000( ),( )()( )()( );,()( )( )()( ).f xUxxUxf xf xxf xf xf xxUxf xf xxf xf xf x 定定义义：设设函函数数在在内内有有定定义义若若有有，则则称称为为函函数数的的极极大大值值点点，称称为为函函数数的的一一个个极极大大值值若若有有，则则称称
2、为为函函数数的的极极小小值值点点，称称为为函函数数的的一一个个极极小小值值函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的使函数取得极值的点称为点称为极值点极值点.一、罗尔( Rolle )定理1、函数的极值注意：极值是函数的局部性质( )0( ).fxxf x 满满足足方方程程的的点点 称称为为的的驻驻点点,显显然然可可导导函函数数的的极极值值点点必必是是它它的的驻驻点点例如例如, ,3xy , 00 xy.0不是极值点不是极值点但但 x0000( )()( )()0f xU xxf xxfx 费费马马引引理理：设设函函数数在在有有定定义义，且且在在处处可可导导
3、，若若在在处处取取得得极极值值，则则2、费马引理0( )f xx证证明明：不不妨妨设设在在处处取取极极大大值值，)(0 xf 000()()limxxfxfxxx 0()xx 0()0fx 0)(0 xf0()xx 0()0fx y0 xxo 000,0,( )()U xUxxf xf x 则则使使得得当当时时有有.但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定是是极极值值点点( )yf x 罗罗尔尔定定理理：若若函函数数满满足足(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 (a , b) 内可导(3) 在区间端点处的函数值相等，即 f ( a ) = f ( b ),( )0.f 使使xy
4、oab)(xfy 证证:，上连续在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 则( ), , f xMxa b 因此.0)(, ),(fba则在( a , b ) 内至少存在一点3、罗尔( Rolle )定理若若 M m , 则则 M 和和 m 中至少有一个与端点值不等中至少有一个与端点值不等,不妨设 , )(afM 则至少存在一点, ),(ba使,)(Mf. 0)(f注意注意:1)若三个条件同时成立则结论一定成立；但若不满足其中任一个条件，结论不一定成立（即可能成立也可能不成立）. 例如则由费马引理得 1 , 1)(xxxfx1yo1几何意义:ab
5、1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC使2) 本定理可推广为)(xfy 在 ( a , b ) 内可导, 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 内至少存在一点,. 0)(f证明提示证明提示: 设证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . )(xF(0),f axabxaxf, )(0),f bxb例1. 证明方程证明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有
6、一个小于1 的正实根 .证证: 1) 存在性 .则)(xf在 0 , 1 连续 , 且由零点定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假设另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件 ,01,xx在在之间至少存在一点,. 0)(f使但矛盾,故假设不成立设二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在区间 a , b 上连续( )yf x 若若满满足足(2) 在区间 ( a , b ) 内可导则至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数
7、作辅助函数显然 ,)(x在 a , b 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导,且分析：问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点, ),(ba,0)(使即定理结论成立 ., )(babbfaafb)()(0)()()(abafbff证毕拉格朗日中值定理的有限增量形式:,00 xxbxa令则).10()()()(000 xxxfxfxxf).10()(0 xxxfy也也可可写写成成.的的精精确确表表达达式式增增量量 y ab1 2 xoy)(xfy ABCD几何意义几何意义:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少
8、有在曲线弧在曲线弧推论推论: 若函数在区间 I 上满足,0)( xf则)(xf在 I 上必为常数.)(xf证证: 在 I 上任取两点, )(,2121xxxx上用拉在,21xx格朗日中值定理 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上为常数 .推论推论: 若函数在区间 I 内导数恒相等，C其其中中 为为常常数数则( )( ),f xg xC在 I 内有( )( )f xg x与与 0 10 10 1( )1.fxfx 设设函函数数 ： ， 可可导导，且且当当， 时时 0 1( ).f证证明明存存在在唯唯一一的的， 使
9、使推论推论: 若函数的导数在区间 I 内不变号，则( )f x在 I 内严格单调.( )f x例2例3. 证明等式证明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx证证: 设,arccosarcsin)(xxxf上则在) 1, 1()(xf由推论可知Cxxxfarccosarcsin)( (常数) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所证等式在定义域 上成立. 1, 1练习练习:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0说明说明: 欲证Ix时,)(0Cxf只需证在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使例4. 证明不等式证明不等式证证: 设, )1l
10、n()(ttf上满足拉格朗日在则,0)(xtf中值定理条件,即因为故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此应有三、柯西(Cauchy)中值定理( )( )( )( )0( )( )f bf agfg bg a )(分析分析:( )( )f xx若若函函数数及及g g满满足足(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内则至少存在一点, ),(ba使( )( )( ).( )( )( )f bf afg bg ag ( )0g
11、x ( )( )g bg a ( )()gba ba0要证( )( )( )( )( )( )( )f bf axg xf xg bg a 证: 作辅助函数作辅助函数( )( )( )( )( )( )( )f bf axg xf xg bg a ( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )f b g af a g babg bg a ,),(,)(内可导在上连续在则babax且, ),(ba( )0, 使使即即由罗尔定理知, 至少存在一点( )( )( ).( )( )( )f bf afg bg ag 思考思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?( )( )( )(),( , )f bf
12、 afbaa b ( )( )( )(),( , )g bg agbaa b 两个 不一定相同错错! !上面两式相比即得结论. 柯西定理的几何意义:( )( )( )( )( )( )f bf afg bg ag ( )g ( )g a( )( )xg tyf t )(af( )g b)(bfdydx 注意:xyo弦的斜率切线斜率考察参数方程( )( )dy dtftdtdxg t (1)(0)10ff 例5. 设设).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(22( ),g xx ,) 1 ,0(, 1 ,0)(内可导在上连续在xf至少存在一点),1,0(使证
13、证: 结论可变形为设则( ),( )f xg x在 0, 1 上满足柯西中值定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使( )2f 即)0() 1 (2)(fff证明11lncos1lnln1lnsinlnsinee( )(1)( ),(1, )( )(1)( )f effeg egg 例6. 试证至少存在一点试证至少存在一点), 1(e使.lncos1sinlncos1sin 证证: 法法1 用柯西中值定理 .( )sinln,( )lnf xxg xx在 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:( )( )f xg x则则
14、与与例6. 试证至少存在一点试证至少存在一点), 1(e使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件, ), 1 ( e使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 内容小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbf( )g xx )()(afbf( )g xx 2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维设辅助函数费马引理4412 3412思考与练习1. 填空题填空题1)
15、函数4)(xxf在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理条件, 则中值._2) 设有个根 , 它们分别在区间341530)( xf)4, 3(, )2, 1 (, )3,2(上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程2. 设设,0)(Cxf且在),0(内可导, 证明至少存在一点, ),0(使.cos)(sin)(ff提示提示: 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xF在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(3. 若若)(xf可导, 试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点. 提示提示: 设,0)()(2121xxxfxf欲证:,
16、),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0 )(xxxfe作辅助函数, )()(xfexFx验证)(xF在,21xx上满足罗尔定理条件.费马(1601 1665)法国数学家, 他是一位律师, 数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博览群书并善于思考, 在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn1995年才由美国数学家证明.他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.拉格朗日 (1736 1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献, 近百余年来, 数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.柯西(1789 1857)法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠基人之一, 他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,
