1、第七章级数的收敛、求和与展开 三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅里叶级数四、函数的幂级数和傅里叶级数 展开法展开法一、常数项级数的审敛法一、常数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 )(0 xunn 求和)(xS展开(在收敛域内进行)(0 xunn基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅里叶级数.xnbxnaxunnnsincos)(当为傅里叶系数) 时,时为常数项级数;0 xx 当nnnxaxu)(当时为幂级数;nnba ,(一、常数项级数的审敛法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数正项级数审
2、敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别部分和极限13. 任意项级数审敛法任意项级数审敛法若若 1nnu发散发散, ,而而 1nnu收敛收敛, , 则称则称 1nnu为条件收敛为条件收敛. .Leibniz判别法判别法: 若,01nnuu且,0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛 , 且余项.1nnur任意项级数任意项级数正项级数正项级数4.4.交错级数交错级数二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论Rx 非标准形式幂级数(缺项或通项为复合式)通过换元转化为
3、标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .0nnnxa的收敛半径为1limnnnaaR 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 常数项 级数求和nnnxa0四、函数的幂级数和傅里叶级数展开法 直接展开法 间接展开法 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式1. 函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法2. 函数的傅里叶级数展开法函数的傅里叶级数展开法系数公式及计算技巧;收敛定理;延拓方法处展开成泰勒级数处展开成泰勒级数在在将将141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并并求求的的幂幂级级数数展展开开成成 1(1)13(1)3xx 11(1)44xxxx 1(1)3(1)xx011(1)()33nnxx 101()3nnx 31 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 例例
