1、3.7 三重积分的应用三重积分的应用, , .如果一个量 对空间区域 具有可加性 且连续非均匀分布在区域内 则量可用三重积分计算 , . , ,dvvfx y zv考虑一小子区域在内将非均匀分布的量看成是均匀分布的 从而利用几何或物理公式得到量的元素 d d, d, ,d d dfx y zx y z元素在 内的三重积分就是所求的量 即 这种方法称为三重积分的元素法.dv的体积2222222,.xyzazxy求曲面所围成的立体的体积xyz,20 ,40 :02 ,ra42222000dsin d d dddsin daVvrrrr 340( 2 )2sind3appjj=.)12(343a 穿
2、过半径为穿过半径为4厘米的铜球的中心，钻一个半径为厘米的铜球的中心，钻一个半径为1厘米厘米的圆孔，问损失掉的铜的体积的圆孔，问损失掉的铜的体积.(铜以球直径为中心对称铜以球直径为中心对称轴轴).oxyz22224 zyx球面方程为球面方程为 所考察立体所考察立体 在在xoy面上的投影区域为面上的投影区域为: 1:22 yxD dvV dzrdrd 2216161020rrdzrdrd ).151564(34 1. 空间物体空间物体 的质量的质量.),(求其质量求其质量的体密度为的体密度为设物体设物体zyx ( ( ) )d,: d( , , )dvmx y zv任任取取质质量量元元素素r r
3、= = ,dmx y zv 4 8, , 5 1,.一一物物体体由由半半径径为为 和和 的的两两个个同同心心球球所所围围成成 其其上上任任一一点点的的密密度度与与该该点点到到球球心心的的距距离离成成反反比比 而而且且已已知知离离球球心心为为 处处的的密密度度为为求求此此物物体体的的质质量量oxyz物体为两球面围成物体为两球面围成, 即即 为为 2222284 zyx,5),( 222zyxzyx 且且2225dmvxyz5 sin d d dr 28004dsin d5 dr r .480 2.( , , )x y z空间物体 的重心).,(),(zyxzyx求其重心求其重心的体密度为的体密度
4、为设物体设物体 dvzyxxmx),(1 vdzyxvdzyxx ),(),( dvzyxymy),(1 vdzyxvdzyxy ),(),( dvzyxzmz),(1 vdzyxvdzyxz ),(),( 若分布均匀若分布均匀,则则 xdvVx1 ydvVy1 zdvVz1与二重积分类似与二重积分类似2222 ,.xyzRz+球体内各点处的体密度都等于该点到坐标原点的距离平方 试求球体的重心oxyz,),(222zyxzyx dvzyxm)(222 20d 20 d cos204sinRd51532R , 0)(222 dvzyxx而而, 0)(222 dvzyxy dvzyxz)(2222
5、2cos52000ddsincosdRppjqjrjjr=蝌638R dvzyxxmx),(1 , 0 dvzyxymy),(1 , 0 dvzyxzmz),(1 .4515323856RRR 5(0,0,).4R所求重心坐标为 3. . I物体 关于坐标轴与原点的转动惯量.,),(ozyxIIIIzyx求求的体密度为的体密度为设物体设物体 dvzyxzyIx),()(22 dvzyxzxIy),()(22 dvzyxyxIz),()(22 dvzyxzyxIo),()(222 与二重积分类似与二重积分类似R求半径为 的匀质球关于其中心轴的转动惯量.2222,1, : +,.RxyzR设球的中
6、心在原点体密度为则半径为 的球的方程为中心轴即为坐标轴222222 d ,d ,d , xyzIyzv IxzvIxyv222: = 32d .xyzxIIIIxyzv由轮换对称性得2222,d3lIxyzv故520004158ddsind32RrrR222zyxr G 为引力常数为引力常数设物体占有空间区域设物体占有空间区域 ,，连续),(zyx物体对位于原点的单位质量质点的引力物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法利用元素法,vrxzyxGFxd),(d3vryzyxGFyd),(d3vrzzyxGFzd),(d3在在 上上积分即得各引力分量积分即得各引力分量:其密度函数其密度函数r
7、zxvdyFd引力元素在三坐标轴上的投影分别为引力元素在三坐标轴上的投影分别为),(zyxFFFF 4. 引力引力vrxzyxGFxd),(3vryzyxGFyd),(3vrzzyxGFzd),(3对对 xoy 面上的平面薄片面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点它对原点处的单位质量质点的引力分量为的引力分量为,d),(3DxxyxGFDyyyxGFd),(3)(22yx Rxyzo例6. 求半径求半径 R 的均匀球的均匀球2222Rzyx对位于对位于)(), 0 , 0(0RaaM的单位质量质点的引力的单位质量质点的引力.解: 利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232222)(ddzRazrrr点点zDazyxyx23222)(dd0MazDzF200232222)(ddzRazrrrRRzazGd)( RRaz )(G2G2RRaza)(1222daazR2aMG343RM 为球的质量为球的质量dzazaRza 22211R2
