1、柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出解法解法: : 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想: :给定曲顶柱体给定曲顶柱体: :0),(yxfz底底: :xOyxOy 面上的闭区域面上的闭区域D D顶顶: :连续曲面连续曲面侧面侧面: :以以D D 的边界为准线的边界为准线, ,母线平行于母线平行于z z轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积. .“大化小大化小, ,常代变常代变, ,近似和近似和, ,求极限求极限” ” D),(yxfz D),(yxfz 1)“1)“大化小
2、大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D D为为n n个区域个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为n n个个2)“2)“常代变常代变”在每个在每个k, ),(kk3)“3)“近似和近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体k),(kk4)“4)“取极限取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(y
3、x处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyo二、二重积分的概念二、二重积分的概念如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的最最大大值值 趋趋近近于于零零时时 ， 这这 和和 式式 的的 极极 限限 存存 在在 ， 则则 称称 此此 极极 限限 为为
4、 函函 数数),(yxf在在闭闭区区域域 D D 上上的的二二重重积积分分，记记为为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的任意的.(2)当当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在的极限必存在，即二重积分必存在.对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积
5、的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为( , )dDVf x y曲顶柱体体积曲顶柱体体积: :( , )dDMx y平面薄板的质量平面薄板的质量: :( , )d dDf x yxy( , )d dDx yxy性质性质当当 为常数时为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重积分
6、与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质 若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 则有则有 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 为为 D 的的面面积积，则则性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） DMdyxf
7、m),( ),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又当当 1 yx时时, 0)ln(22 yx于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yx
8、yx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D例例4.4.设设D D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域, ,且且00y y 1,1,则则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为的大小顺序为 ( )( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示提示: :因因00y y 1,； 4 4、 . .三、三、1 1、 DDdyxdyx 32)()(； 2 2、 dyxdyxD2)ln()ln(. .四、四、 100)94(3622dyx. .练习题答案练习题答案 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体
9、的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示
