1、第一节第一节 大数定律大数定律一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结一、问题的引入一、问题的引入实例实例频率的稳定性频率的稳定性随着试验次数的增加随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳事件发生的频率逐渐稳定于某个常数定于某个常数.启示启示:从实践从实践中人们发现中人们发现大量测量值大量测量值的算术平均的算术平均值有稳定性值有稳定性.单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出二、基本定理二、基本定理定理一（定理一（契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况）有有数数则对于任意正则对于任意正的算术平均的算术平均个随机变
2、量个随机变量作前作前和方差：和方差：且具有相同的数学期望且具有相同的数学期望相互独立相互独立设随机变量设随机变量 ,1), 2, 1()(,)( ,1221 nkkkknXnXnkXDXEXXX契比雪夫契比雪夫. 11lim|lim1 nkknnXnPXP定理一（定理一（契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况）有有数数则对于任意正则对于任意正的算术平均的算术平均个随机变量个随机变量作前作前和方差：和方差：且具有相同的数学期望且具有相同的数学期望相互独立相互独立设随机变量设随机变量 ,1), 2, 1()(,)( ,1221 nkkkknXnXnkXDXEXXX. 11lim|lim1 n
3、kknnXnPXP表达式的意义表达式的意义.|, ,1, , ,|成立的概率很大成立的概率很大等式等式不不充分大时充分大时当当即对于任意正数即对于任意正数时这个事件的概率趋于时这个事件的概率趋于当当明明等式表等式表是一个随机事件是一个随机事件 XnnX二、基本定理二、基本定理证明证明)(1111 nkknkkXEnXnE,1 nn)(11121 nkknkkXDnXnD,1222nnn 由由契比雪夫不等式契比雪夫不等式可得可得,11221nXnPnkk ，在上式中令在上式中令 n并注意到概率不能大于并注意到概率不能大于1, 则则. 111 nkkXnP关于定理一的说明关于定理一的说明:,)()
4、()(1, , , 21121 knkknXEXEXEXnXXXn接近于数学期望接近于数学期望均均的算术平的算术平随机变量随机变量很大时很大时当当（这个接近是概率意义下的接近这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下即在定理条件下, n个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均, 当当n无限增加时无限增加时, 几乎变成一个常数几乎变成一个常数. , 1 ), 2, 1()(,)(, , , , 1221 PnkkkknXXnXkXDXEXXX即即依概率收敛于依概率收敛于则序列则序列和方差：和方差：且具有相同的数学期望且具有相同的数学期望相互独立相互独立设随机变量设随机变量aYaYYYaYPaYY
5、YPnnnnn 记为记为依概率收敛于依概率收敛于则称序列则称序列有有若对于任意正数若对于任意正数数数是一个常是一个常机变量序列机变量序列是一个随是一个随设设 , , 1|lim, ,2121 定理一的另一种叙述定理一的另一种叙述:依概率收敛序列的性质依概率收敛序列的性质: , ),( ),( , 连续连续在点在点又设函数又设函数设设bayxgbYaXPnPn).,(),( bagYXgPnn则则. 0lim1lim , 0 , , pnnPpnnPApAnnAnAnA或或有有则对于任意正数则对于任意正数率率在每次试验中发生的概在每次试验中发生的概是事件是事件的次数的次数发生发生次独立重复试验中
6、事件次独立重复试验中事件是是设设证明证明引入随机变量引入随机变量 ., 2, 1, 1, 0kAkAkXk发生发生次试验中次试验中若在第若在第不发生不发生次试验中次试验中若在第若在第伯努利伯努利定理二（定理二（伯努利大数定理伯努利大数定理）,21nAXXXn 显然显然是相互独立的，是相互独立的，因为因为, 21nXXX , )10( 分布分布为参数的为参数的服从以服从以且且 pXk., 2, 1),1()(,)( kppXDpXEkk所以所以根据定理一有根据定理一有, 1)(1lim21 pXXXnPnn. 1lim pnnPAn即即关于伯努利定理的说明关于伯努利定理的说明:. , 表达了频率
7、的稳定性表达了频率的稳定性它以严格的数学形式它以严格的数学形式率收敛于事件的概率率收敛于事件的概率依概依概生的频率生的频率伯努利定理表明事件发伯努利定理表明事件发pnnA 故而当故而当 n 很大时很大时, 事件发生的频率与概率事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中在实际应用中, 当试当试验次数很大时验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代便可以用事件发生的频率来代替事件的概率替事件的概率.), 2 , 1( )( , , , , 21 kXEXXXkn 且具有数学期望且具有数学期望服从同一分布服从同一分布相互独立相互独立设随机变量设随机变量. 11l
8、im,1 nkknXnP有有则对于任意正数则对于任意正数关于辛钦定理的说明关于辛钦定理的说明:(1) 与定理一相比与定理一相比, 不要求方差存在不要求方差存在;(2) 伯努利定理是辛钦定理的特殊情况伯努利定理是辛钦定理的特殊情况. 辛钦资料辛钦资料定理三（定理三（辛钦定理辛钦定理）三、典型例题三、典型例题?2111210,22221理理问是否满足契比雪夫定问是否满足契比雪夫定具有如下分布律：具有如下分布律：相互独立相互独立设随机变量设随机变量nnnPnanaXXXXnn 解解 独立性依题意可知独立性依题意可知, 检验是否具有数学期望？检验是否具有数学期望？ )(nXE2222221)11(02
9、1nnannna , 0 例例1说明每一个随机变量都有数学期望说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？检验是否具有有限方差？222222211121)(0)(nnnPnanaXn )(2nXE,21)(2222anna )(nXD22 )()(nnXEXE .2a 说明离散型随机变量有有限方差说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫定理的条件故满足契比雪夫定理的条件.有有意正数意正数证明对任证明对任且且独立同分布独立同分布设随机变量设随机变量 , 2 , 1,)(, 0)(,221 kXDXEXXXkkn解解. 11lim212 nkknXnP是相互独立的，是相互独立的，因为
10、因为, 21nXXX也是相互独立的，也是相互独立的，所以所以, 22221nXXX, 0)( kXE由由22 )()()( kkkXEXDXE 得得,2 由由辛钦定理辛钦定理知知有有对于任意正数对于任意正数 , . 11lim212 nkknXnP例例2四、小结四、小结三个大数定理三个大数定理 契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况伯努利大数定理伯努利大数定理辛钦定理辛钦定理频率的稳定性是概率定义的客观基础频率的稳定性是概率定义的客观基础, , 而伯而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性定性. .契比雪夫资料契比雪夫资料Pafnuty
11、 ChebyshevBorn: 16 May. 1821 in Okatovo, RussiaDied: 8 Dec. 1894 In St Petersburg, Russia伯努利资料伯努利资料Jacob BernoulliBorn: 27 Dec. 1654 in Basel, SwitzerlandDied: 16 Aug. 1705 in Basel, Switzerland辛钦资料辛钦资料Aleksandr Yakovlevich KhinchinBorn: 19 Jul. 1894 in Kondrovo, Kaluzhskaya guberniya, RussiaDied: 18 Nov. 1959 in Moscow, USSR
