1、数学试题 第 1 页，共 6 页 惠州市惠州市 20202 22 2 届高三第届高三第三三次调研考试次调研考试 数学数学试题试题 全卷满分 150 分，时间 120 分钟 2022.01 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。 一、一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题
2、，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分。分。 在在每小题给出的每小题给出的四个四个选项中，只有一项符合题目要求选项中，只有一项符合题目要求，选对得，选对得 5 分，选错得分，选错得 0 分。分。 1已知集合1Ax x=，集合20Bx xx=，则AB =（ ） A0 B1 C 0，1 D 1，2 2已知i为虚数单位，复数z满足1z ii = +，则=z（ ） A1 B2 C2 D0 3若随机变量 X 满足16,2XB，则()E X =（ ） A12 B2 C13 D3 4已知点36,33P是角的终边与单位圆的交点，则sin2=（ ） A13 B13 C2 23 D63 5将一枚
3、均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现奇数点”， 事件B为“第二次出现偶数点”，则有（ ） AA与B相互独立 B()( )( )P ABP AP B=+ CA与B互斥 D1()2P AB = 数学试题 第 2 页，共 6 页 6已知函数( )( )21,sinf xxg xx=+=，则如图所示的图象对应的函数解析式可能是（ ） A( )( )1yf xg x=+ B( ) ( )yf x g x= C( )( )1yf xg x= D( )( )g xyfx= 7如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心 F 为圆心的圆形轨道上绕月球飞行，然后在 P 点处变轨进以 F
4、 为一个焦点的椭圆轨道绕月球飞行，最后在 Q 点处变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道绕月球飞行，设圆形轨道的半径为 R，圆形轨道的半径为 r，则下列结论中正确的序号为（ ） 轨道的焦距为Rr； 若 R 不变，r 越大，轨道的短轴长越小； 轨道的长轴长为Rr+； 若 r 不变，R 越大，轨道的离心率越大 A B C D 8如图，点MN、分别是正四面体ABCD棱ABCD、上的点，设BMx=，直线MN与直线BC所成的角为，则（ ） A当2NDCN=时，随着x的增大而增大 B当2NDCN=时，随着x的增大而减小 C当2CNND=时，随着x的增大而减小 D当2CNND=时，随着x的增大而增大 二二、多多项
5、选择题项选择题：本题共本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分。分。在在每小题给出的每小题给出的四个四个选项选项中，中，有多有多项符合题目要求项符合题目要求。全部选对得。全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9若直线3yxb=+与圆221xy+=相切，则b的取值可以是（ ） A2 B2 C2 D5 数学试题 第 3 页，共 6 页 10对一组数据进行回归分析，作出散点图如图所示，在 5 个坐标数据中去掉异常数据()3,10D后，下列说法不正确不正确的是（ ） A残差平方和变小 B相关系数 r 变小 C相关指
6、数2R变小 D解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变弱 11关于双曲正弦函数( )sinh2xxeex=和双曲余弦函数( )cosh2xxeex+=，下列结论正确的是（ ） A()( )sinhsinhxx= Bcosh( ) sinh( )xx= C()( )cosh1cosh 2 D( )( )22sinhcosh1xx= 12已知函数( )3f xxaxb=+，其中, a bR，则下列选项中，能使得( )f x仅有一个零点的有（ ） Aab，( )f x为奇函数 B()2ln1ab=+ C3a = ，240b D0a ，3206ab + 三三、填空题：本题共、填空题：本题共4小题，每小
7、题小题，每小题5分，共分，共20分，其中分，其中16题第一空题第一空2分，第二空分，第二空3分。分。 13若ABC是边长为 1 的等边三角形，则AB BC=_. 14()()51 21xx+的展开式中，3x项的系数为_ 15请从正方体1111ABCDABC D的 8 个顶点中，找出 4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的 4 个面都是正三角形，则这 4 个点可以是_ .（只需写出一组） 数学试题 第 4 页，共 6 页 16如下图，将正三角形（1）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（2） ；将图（2）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正
8、三角形，然后去掉底边，得到图（3） ；如此类推，将图（n）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图()1n+重复上述作图过程，得到的曲线就是美丽的雪花曲线若图（1）中正三角形的边长为 1，则图（n）的周长为_，图（n）的面积为_ （1） （2） （3） （4） 四四、解答题：、解答题：本题共本题共 6 小题，小题，共共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 10 分） 疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施某制药
9、厂对预防某种疾病的两种疫苗开展临床对比试验若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效在已经接种疫苗的群体中随机抽取的100个样本，其中有60个接种了灭活疫苗，剩余40个接种了核酸疫苗根据样本数据绘制等高条形图（如图所示） ，其中两个深色条的高分别表示接种灭活疫苗和核酸疫苗样本中抗体呈阳性的频率现从这 100 个样本中随机抽取1人，已知事件“该样本接种了灭活疫苗且抗体呈阳性”发生的概率为0.54 （1）求等高条形图中a的值； （2）请在答题卷中完成下面的列联表，并判断能否在犯错概率不超过 0.10 的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异？ 0 数学试题 第 5 页，共 6 页 灭活疫苗 核酸疫苗 总计
10、 抗体为阳性 抗体为阴性 总计 60 40 100 参考公式：22()()()()()n adbcKab cd ac bd=+，其中nabcd=+ + 20()P Kk 0.15 0.10 0.01 0k 2.072 2.706 6.635 18 （本小题满分 12 分） 已知ABC的内角ABC的对边分别为abc，且()cos2cosbCacB= （1）求B； （2）若3b =，sin2sinCA=，求ABC的面积 19 （本小题满分 12 分） 已知数列 na是公差大于 1 的等差数列，23a =， 前n项和为nS， 且_ 请在下列三个条件中任选一个，补充到上述题目的条件中，并求解下面的问题
11、 136113aaa+，成等比数列； 5S是3a和23a的等差中项； 2na的前 6 项和是 78 （1）求数列 na的通项公式； （2）若2nnb =，nnncab=，求数列 nc的前n项和nT 数学试题 第 6 页，共 6 页 20 （本小题满分 12 分） 如图，S为圆锥的顶点，O为底面圆心，点A、B在底面圆周上，且60AOB=，点C、D分别为SB、OB的中点 （1）求证：ACOB； （2）若圆锥的底面半径为2，高为4， 求直线AC与平面SOA所成的角的正弦值 21 （本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点为()11,0C、()21,0C，且离心率22e = （1）求
12、椭圆C的方程； （2）设()2,0M ，过点M的直线l与椭圆C相交于E、F两点，当线段EF的中点落在由四点()11,0C、()21,0C、()10, 1B、()20,1B构成的四边形内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围 22（本小题满分 12 分） 己知函数ln( )xaxf xeax=（e为自然对数的底数）有两个零点 （1）若1a =，求( )f x在1x =处的切线方程； （2）若( )f x的两个零点分别为12xx、，证明：12212xxexxe+ 惠州市惠州市 2022 届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试 数学试题参考答案与评分细则数学试题参考答案与评分细则 一、一、单项选择
13、题单项选择题：本题共本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分。分。 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 B C D C A D C D 1【解析】因为集合0,1B，1Ax x，所以1AB.故选：B. 2【解析】2111i iiziii ，22112z .故选：C 3【解析】因为16,2XB，所以1()632E X ，故选：D. 4【解析】依题意，由任意角三角函数的定义可得6sin3，3cos3， 所以632 2sin22sincos2333 .故选：C. 5【解析】对于 A：由题意知，事件A的发生与否对事件B没有影响，所以A与B相互独立，故选项
14、A正确；对于 B：因为A与B不是互斥事件，所以()( )( )()P ABP AP BP AB，故选项 B 不正确；对于 C：因为事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件，故选项 C 不正确；对于 D：因为A与B相互独立事件，则3311()( )( )6642P ABP A P B，故选项 D 不正确；故选：A. 6【解析】因为函数图象关于原点对称，所以所求函数为奇函数. 对选项 A， 21sinyf xg xxx ，为非奇非偶函数，故排除 A， 对选项 B，设 2sin1h xf x g xx x，定义域为R， 22sin1sin1hxxxx xh x， 所以函数 2sin1h x
15、f x g xx x为奇函数， 2cos12 sinh xx xxx， 0,3x时， 2cos12 sin0h xx xxx， h x为增函数， 而函数图象在0,3先增后减，故 B 错误. 对选项 C， 21sinyf xg xxx ，为非奇非偶函数，故排除 C， 故选：D 7.【解析】由椭圆的性质知，,a cR a cr ，解得2cR r，故正确； 由知,22RrRrac，所以2222()()222244RrRrbacRr， 若 R 不变，r 越大，2b越大，轨道的短轴长越小；故错误； 由知2aRr，故轨道的长轴长为Rr，故正确； 因为2221112RrcRrreRrRaRrRrr ，若 r
16、 不变，R 越大，则21Rr越小，所以e越大，轨道的离心率越大，故正确. 故选：C 8 当2NDCN时， 如下图作/NF BC交BD于F点， 所以直线MN与直线BC所成的角即为直线MN与直线NF所成的角，即MNF，设正四面体的棱长为 3，则1,2CNBFFN，可求得221,37MFxxMNxx ， 所以在FNM中，有225118 7cos1(0,3)237237xxxxxxx， 令218 7( )37xf xxx，则 22273653)7(xxxxfx， 0,3x时， 22273653)7(xxxxfx有正有负，函数有增有减，所以故 A 与 B 错误； 当2CNND时，如下图作/NE BC交B
17、D于E点，所以直线MN与直线BC所成的角即为直线MN与直线NE所成的角，即MNE. 同样设正四面体的棱长为 3，则2,2CNBFFN，可求得224MExx， 7ANBN,在ABN中，有9773cos2 372 7ABN ， 所以2223727372 7MNxxxx ，即237MNxx， 所以在MNE中，有22419 5cos1(0,3)237237xxxxxxx， 令29 5( )37xf xxx，则 2225188037()xxfxxx， 所以( )f x在定义域内单调递减，即x增大，( )f x减小，即cos减小，从而增大，故 D 正确，C 错误. 故选：D. 二、多二、多项选择题项选择题
18、：本题共本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分。分。 题号 9 10 11 12 全部正确选项 AC BCD AC BD 9【解析】因为直线3yx b与圆221xy相切，所以13 1b，解得2b.故选：AC 10【解析】从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，若去掉D点，则变量x与变量y的线性相关性变强，所以相关系数r变大，相关指数2R变大，残差的平方和变小，解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强；故选：BCD 11【解析】因双曲正弦函数 sinh2xxeex和双曲余弦函数 cosh2xxeex， 对于 A， sinhsinh2xxeexx ，A 正确；
19、对于 B，(cosh( )()sinh( )22xxxxeeeexx，B 不正确； 对于 C，显然双曲余弦函数 cosh2xxeex是偶函数，且在(0,)递增， cosh1cosh 1cosh 2，C 正确； 对于 D， 2222sinhcosh()()122xxxxeeeexx ，D 不正确. 故选：AC 12【解析】由题意知： 23fxxa. 对于A， f x为奇函数，0b ， 则0a， 0fx有两个不等实根13ax ，23ax ， f x在,3a ，,3a上单调递增，在,33aa 上单调递减，则 f x存在两个极值点，又40333aaaf ，40333333aaaaaafa， f x有三
20、个零点，A 错误； 对于 B，21 1b ，0a ， 0fx， f x在R上单调递增， 又当x时， 0f x ；当x 时， 0f x ， f x仅有一个零点，B 正确； 对于 C，若取2b，则 f x极大值为14f ，极小值为 10f， f x有两个零点，C 错误； 对于 D， f x的极大值为2333aaafb ， 极小值为2333aaafb.0a，332240276aabb，32427ab ， 则233aab 或233aab，则03af 或03af， 可知 f x仅有一个零点，D 正确.故选：BD. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20
21、 分，其中分，其中 16 题第一个空题第一个空 2 分，第二个空分，第二个空 3 分。分。 题号题号 13 14 15 16 答案答案 12 40 11, ,A C B D（或11, ,A C B D） 【注注：只需写出一组，字母顺序不只需写出一组，字母顺序不限限！】 1433n 12 33 345209n 13【解析】因为ABC为边长为 1 的等边三角形，所以1ABBC，60B ，而AB和BC的夹角为B的补角，所以11cos1201 122AAB BBCBC .故答案为：12. 14【解析】由二项式521x展开式的通项为55551552)1(22rrrrrrTCxCxx， 则51 21xx的
22、展开式中，含3x的项为23232335521 240 xCxCxx ， 所以3x项的系数为40. 故答案为：40. 15【解析】从正方体1111ABCDABC D的 8 个顶点中，找出 4 个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的 4 个面都是正三角形，则得到的几何体为正四面体，则这 4 个点可以是11, ,A C B D或11, ,A C B D【注注：只需写出一组，字母顺序不只需写出一组，字母顺序不限限！】 16【解析】第一个三角形的周长为3 13 ，观察发现： 第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了周长的13，第三个在第二个的基础上多了其周长的13，所以第二个图形的周长为1431333 ，
23、 第三个图形的周长为21143113333 ， 第四个图形的周长为31114311133333 ， 所以第n个图形的周长是第一个周长的143n倍，所以第n个图形的周长为1433n， 由题意可知，第n个图形的边长都相等，且长度变为原来的13， 则边长nb的递推公式为11,23nnbbn，11b ，所以113nnb ， 边数na的递推公式为14,2nnaan，13a ，则13 4nna ， 第一个图形的面积为134A ；当2n时， 2112211113313 343 4443169nnnnnnnnnAAabAA 则121321()()()nnnAAAAAAAA 11441 ( )33 32 33
24、34994416520919nn 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分） 【解析】（1）依题意“1 名受访者接种灭活疫苗且接种后抗体呈阳性”发生的概率为 0.54， 所以600.54100a1 分 解得0.9a 2 分 （2）列联表如下： 灭活疫苗 核酸疫苗 总计 5 分 抗体为阳性 54 34 88 抗体为阴性 6 6 12 总计 60 40 100 【注：【注：每每写对写对 2 个个得得 1 分】分】 零假设为0:H接种两种疫苗效果无差异.6 分【注：没
25、有零假设不得此分】【注：没有零假设不得此分】 根据列联表中的数据，得到2210054 634 660 40 12 88K .7 分 25=440.568 .8 分 因为0.5680.12.706x 9 分【注：【注：无无大小比较大小比较，不得此分】不得此分】 所以不能在犯错概率不超过 0.10 的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异. 10 分【注：等义陈述结论可得【注：等义陈述结论可得 1 分】分】 18（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由正弦定理2sinsinsinabcRABC.1 分【注：未写出正弦【注：未写出正弦定理定理表达式表达式不不得此分】得此分】 得sincos2sinc
26、oscossinBCABBC， 2 分 即sincoscossin2sincosBCBCAB， sin2sincosB CAB，3 分 又A B C，sinsinBCA，4 分 sin2sincosAAB， 又sin0A， 1cos2B ，5 分 0B,，6 分【注：没有写角范围【注：没有写角范围本得分点不本得分点不得分】得分】 3B ；7 分 （2）由正弦定理及sin2sinCA得2ca， 由余弦定理2222cosbacacB，8 分【注：【注：余弦定理余弦定理公式公式正确可正确可得得 1 分】分】 得222242baaa即23a ，9 分 且0a，3a ，2 3c ，10 分 ABC的面积
27、为1sin2SacB11 分【注：面积公式【注：面积公式正确可正确可得得 1 分】分】 133 33 2 322212 分 19（本小题满分 12 分） 【解析】（1）设 na的公差为d， 选条件：2316113aaa，则2244ddd，1 分 解得2d 或25，2 分 1d ，所以2d ， 3 分 223 2221naandnn ， 4 分 选条件：由已知有53232Saa，1 分 1225 42 5212adadad，2 分 即221020222addad 解得：2d 3 分 223 2221naandnn ，4 分 选条件：2na的前 6 项和是 78， 即2461226 5622aaa
28、aad1 分 18 3078d2 分 解得：2d ，3 分 223 2221naandnn .4 分 （2）212nncn 5 分 1231 23 25 2212nnTn 6 分 234121 23 25 2232212nnnTnn 7 分 则123122 222212nnnTn 8 分2112 1 2222121 2nnn 10 分【注：求和公式正确得【注：求和公式正确得 1 分】分】 123 26nn 11 分 123 26nnTn . 12 分 【注【注】第二第二问问用用待定待定系数系数法法解答解答的的评分评分标准标准为为：如果如果没有没有待定待定系数系数的的原理原理说明说明在在结果结果
29、正确正确的的情况情况下下最多最多可可得得 5 分分，这这 5 分分分解分解为为：假设假设 1 分分，列列方程方程组组 2 分分，解解方程组方程组 1 分分，结果结果 1 分分；如果如果 0 结果结果错误错误第第二二问问得得 0 分分。 20（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由题意，点C，D分别为SB，OB的中点，/CDSO， SO底面圆O，CD底面圆O，1 分 OB在底面圆O上，OBCD 2 分 60AOB，AOB为正三角形， 又因为D为OB的中点，OBAD，3 分 又ADCDD，且AD 面ACD， CD面ACD，4 分 【注：没有【注：没有写全这三个写全这三个条件条件，本得分点，本得分
30、点不得分】不得分】 OB平面ACD，5 分 AC 平面ACD，ACOB6 分 （2）因为DA，DB，DC所在直线两两垂直，如图，以D为原点，DA，DB，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，7 分 则3,0,0A，0,0,2C，0, 1,0O，0, 1,4S， 故3,0,2AC ，3, 1,4AS ，3,1,0OA，8 分 设平面SOA的法向量为, ,nx y z， 由00n ASn OA ，可得34030 xyzxy，9 分 令1x ，得1,3,0n 为平面SOA的一个法向量，.10 分 设直线AC与平面SOA所成的角为， 则300sincos,1 33 4n ACn ACnAC
31、 11 分 321142 7 即直线AC与平面SOA所成角的正弦值为2114.12 分【注：没有回答不得此分】【注：没有回答不得此分】 21（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由题可知：21,2ccea，1 分 所以2a 2 分 又2221bac，3 分 所以椭圆的方程为2212xy4 分 （2）由题可知：过点M的直线斜率一定存在， 设直线方程为2yk x，1122,E x yF x y，线段EF的中点00,G x y5 分 所以22222221 2882012yk xkxk xkxy6 分 由222222= 84 1 282022kkkk7 分 又212281 2kxxk，8 分 所以2
32、1202421 2xxkxk ，9 分 则002221 2kyk xk， 因为202401 2kxk ，所以G不可能在y轴的右边 又因为直线1211,C B C B的方程为1,1yxyx 所以222002002224111 21 212411 21 2kkyxkkyxkkkk ， 10 分 即2222102210kkkk ，所以3 13 122k11 分 由可知：3 13 122k12 分 22（本小题满分 12 分） 【解析】（1）当1a 时，ln( )1xxf xex， 21 ln( )xxfxex 1 分 切线的斜率为(1)1kfe ，2 分 又(1)1fe ，所以切点坐标为(1,1)e
33、，3 分 所以切线的方程为(1)(1)(1)yeex，即(1)yex4 分 （2）由己知得.(ln)( )0 xxeaxxf xx有两个不等的正实根， 所以方程(ln)0 xxeaxx有两个不等的正实根， 即ln()0 xxxeaxe有两个不等的正实根. 5 分 要证1221 2xxex xe，只需证12212() ()xxxex ee， 即证1212()()2xxln xeln x e，6 分 令111xtxe，222xtx e，7 分 所以只需证12lnln2tt 由得11lnatt，22lnatt，所以2121(lnln )atttt，2121(lnln )atttt， 消去a得221121212122111 lnlnln(lnln )1tttttttttttttt， 只需证2211211 ln21tttttt8 分 设120tt，令21ttt，则1t ，所以只需证1ln21ttt 令1( )ln21th ttt，1t ，9 分 则22214(1)( )0(1)(1)th tttt t ， 10 分 所以( )(1)0h th，即当1t 时，4ln201tt成立 11 分 所以12lnln2tt，即12212() ()xxxex ee，即1221 2xxex xe12 分
