1、理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院1理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院2例例 是指刚体的平行是指刚体的平行 移动和定轴转动移动和定轴转动刚体的运动刚体的运动平行移动、定轴转动平行移动、定轴转动平面运动、定点运动、一般运动平面运动、定点运动、一般运动简单运动简单运动理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院3OB作定轴转动作定轴转动CD作平移作平移AB、凸轮均作平移、凸轮均作平移理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院4一、刚体平移的定义一、刚体平移的定义 刚体在运动中刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变其上任
2、意两点的连线始终保持方向不变。由由A, ,B 两点的运动方程式两点的运动方程式 而而( )( )AABBrr t ,rrtABABrrr7-1 7-1 刚体的平行移动刚体的平行移动AB在运动中方向和大小始在运动中方向和大小始终不变终不变它的轨迹它的轨迹可以是直线可以是直线可以是曲线可以是曲线直线平移、曲线平移直线平移、曲线平移理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院5得出结论得出结论:即即二、刚体平移的特点二、刚体平移的特点 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状，速度和平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状，速度和 加速度都一样。加速度都一样。 即即: :平移刚体的运动可以简化为
3、一个点的运动。平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。dddd()(0)ddddrrrvrrvBAABBAABAtttt222222ddd:()dddrrarraBABAABAttt同同理理理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院6一、刚体定轴转动的特征及其简化一、刚体定轴转动的特征及其简化 特点特点: :有一条不变的线称为转轴有一条不变的线称为转轴, ,其余各点都在垂直于其余各点都在垂直于 转轴的平面内做圆周运动。转轴的平面内做圆周运动。二、转角和转动方程二、转角和转动方程 - -转角转角, ,单位弧度单位弧度(rad)(rad) = =f( (t t) )-为转动方程为转动方
4、程 方向规定方向规定: : 从从z z 轴正向看去轴正向看去, , 逆时针为正逆时针为正 顺时针为负顺时针为负7-2 7-2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院7三、定轴转动的角速度和角加速度三、定轴转动的角速度和角加速度 工程中常用单位：工程中常用单位： n = 转转/分分(r / min=rpm)则则n与与w w的关系为的关系为:2(rad/s)6030wnn)(:tf w则单位单位 rad/s若已知转动方程若已知转动方程( )f t0d lim dw ttt定义定义代数量代数量1 1、角速度、角速度理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南
5、大学土木建筑学院82 2、角加速度、角加速度 设当设当t 时刻为时刻为w w , t +t 时刻为时刻为w w+w w 3 3、匀速转动和匀变速转动、匀速转动和匀变速转动当当w w =常数常数，为匀速转动为匀速转动；当当a a=常数常数，为匀变速转动为匀变速转动。020220122tttwwawawwa常用公式常用公式与点的运动相类似。与点的运动相类似。220ddlim( )ddtfttttwwa 单位单位:rad/s2 (代数量代数量)角加角加速度速度如果如果w w与与a a同号，则转动是同号，则转动是加速加速的；如果的；如果w w与与a a异号，异号，则转动是则转动是减速减速的。的。理论力
6、学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院9 w ,a 描述整个刚体的运动描述整个刚体的运动(各点都一样各点都一样)； v, a 描述刚体中每个点的运动描述刚体中每个点的运动(各点不一样各点不一样)。0dlimd tSSvtt0limtRvRtw vRw( (即角量与线量的关系即角量与线量的关系) )一、线速度一、线速度v和角速度和角速度w w之间的关系之间的关系7-3 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院10即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度
7、与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。转动的一方。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院11tddd()dddvaRRRtttwwa222n()vRaRRww二、角加速度二、角加速度a a与与an ,at 的关系的关系即：即：转动刚体内任一点的切向加速度转动刚体内任一点的切向加速度( (又称转动加速度又称转动加速度) )的的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，当它的方向由角加速度的符号决定，当a a是正
8、值时，它沿圆周是正值时，它沿圆周的切线，指向角的切线，指向角 的正向；否则相反。的正向；否则相反。即：即：转动刚体内任一点的法向加速度转动刚体内任一点的法向加速度( (又称向心加速度又称向心加速度) )的的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院12如果如果w w与与a a同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度动，这时点的切向加速度at与速度与速度v
9、的指向相同；如果的指向相同；如果w w与与a a异号，刚体作减速转动，异号，刚体作减速转动， at与与v的指向相反。这两种情况的指向相反。这两种情况如图所示。如图所示。atat理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院13 (1) 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。 (2) 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的与半径间的夹角夹角q q 都有相同的值。都有相同的值。点的全加速度为：点的全加速度为：2
10、224tnt2ntanaaaRaaawaqw理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院14 例例 半径为半径为R=0.2m的圆轮绕定轴的圆轮绕定轴O的转动方的转动方程程 ，单位为弧度。求单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点时，轮缘上任一点M的速度和加速度。如的速度和加速度。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当求当t=1s时，物体时，物体A的速度和加速度。的速度和加速度。tt42 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为d24dttw 22d2dta 当当t=1s时，时，
11、2rad/sw22rad/sa 因此轮缘上任一点因此轮缘上任一点M的速度和加速度为的速度和加速度为0.4m/svRw2t0.4m/saRa22n0.8m/saRw方向如图所示。方向如图所示。ARMOvtana理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院15 M点的全加速度及其偏角为点的全加速度及其偏角为ARMOtanaaq22222tn( 0.4)(0.8)0.894m/saaa2arctgarctg0.526 34aqw如图。如图。现在求物体现在求物体A的速度和加速度。因为的速度和加速度。因为MAss 上式两边求一阶及二阶导数，则得上式两边求一阶及二阶导数，则得MAvv tAMa
12、a因此因此0.4m/sAv 20.4m/sAa 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院16例例 在刮风期间，风车的角加速度在刮风期间，风车的角加速度 ，其中转角，其中转角 以以rad计。若初瞬时计。若初瞬时 ，其叶片半径为，其叶片半径为0.75m 。试求叶片转过两圈（试求叶片转过两圈（ ）时其顶端）时其顶端 P 点的速度。点的速度。 20.2 rad/sa000,6rad/sw4 rad w wa aPddddddddttwwwawd0.2dww040d0.2 dwww w 22200.2(4 )8.221rad/s6.166m/svRwwww解：解：理论力学理论力学中南大学
13、土木建筑学院中南大学土木建筑学院17 我们常见到在工程中我们常见到在工程中, ,用一系列互相啮合的齿轮来实现用一系列互相啮合的齿轮来实现变速变速, ,它们变速的基本原理是什么呢它们变速的基本原理是什么呢? ? 一、齿轮传动一、齿轮传动因为是做纯滚动因为是做纯滚动(即没有相对滑动即没有相对滑动)定义齿轮传动比定义齿轮传动比EFEFFEEFZZrriwwEFvv EFvv EEFFrrww7-4 7-4 轮系的传动比轮系的传动比主动轮转速主动轮转速从动轮转速从动轮转速1 1、内啮合、内啮合理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院18DDCCDCDCrrvvvvwwCDCDDCCDZ
14、Zrriww2 /2 /FFFEEErrtZrrtZ2、外啮合、外啮合2rZt齿数齿数理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院19由于转速由于转速n与与w w 有如下关系：有如下关系：11222 60nnnwww显然当显然当: 时时, ,为加速转动；为加速转动； 时时, ,为减速转动。为减速转动。1|2, 1i12ww1|2 , 1i12ww大轮（主动轮）带动小轮（从动轮）大轮（主动轮）带动小轮（从动轮）1,2i主动轮转速主动轮转速从动轮转速从动轮转速11222211nrznrzww 小轮（主动轮）带动大轮（从动轮）小轮（主动轮）带动大轮（从动轮）加速加速减速减速理论力学理论力
15、学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院20三、链轮系三、链轮系（多级传动）（多级传动）HGGFFEEDDCCBBAmHGGFFEEDDCCBBAmHAHAiiiiiiii, ) 1() 1(wwwwwwwwwwwwwwww 其中其中m代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与第一个轮转向相反。第一个轮转向相反。BAvv (而不是而不是 方向不同方向不同 ) BAvv BBAArrww皮带传动皮带传动ABBAABrriww设有： A,B,C,D,E,F,G,H 轮系,则总传动比为：总传动比等于各级总传动比等于各级传动比的连乘积传动比的连乘积二、带轮系
16、传动二、带轮系传动理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院21例例下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比求减速箱的总减速比i13；(b)如果如果n1=3000r/min，求，求n3.13n142n3n2解：求传动比：解：求传动比：11224133231334.8nnnZ ZinnnZ Z则有：则有：1313300086 r/min34.8nni理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院227-5 7-5 角速度和角加速度的矢量表示角速度和角
17、加速度的矢量表示 点的速度和加速度的矢量表示点的速度和加速度的矢量表示一、角速度和角加速度的矢量表示一、角速度和角加速度的矢量表示w w角速度矢量角速度矢量 从转轴上任一点画出，指向由从转轴上任一点画出，指向由右手法则确定。右手法则确定。ww w以以 表示表示Z轴的单位矢量，如图，则轴的单位矢量，如图，则kzwkwkkw w对上式求导，对上式求导，则角加速度矢量则角加速度矢量ddddttwakkw wa aza ak如图。如图。 角速度矢量和角加速度矢量均为滑动矢量。当角速度矢量和角加速度矢量均为滑动矢量。当二者方向相同时，刚体越转越快；当二者方向相反二者方向相同时，刚体越转越快；当二者方向相
18、反时，刚体越转越慢。时，刚体越转越慢。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院23二、刚体内任一点的速度和加速度的矢积表示二、刚体内任一点的速度和加速度的矢积表示zwRrwMvrwOq 如图，在轴线上任选一点如图，在轴线上任选一点O为原点，为原点，动点的矢径用动点的矢径用 表示，则点表示，则点M的速度可的速度可以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示。以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示。rvrw w将上式对时间求一阶导数，有将上式对时间求一阶导数，有dddd()ddddttttvrarrw ww ww w即即arva aw w于是于是tara anavw wzRrwMvrwOqara
19、tavwna如图所示。如图所示。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院24例已知：重物例已知：重物A的的aA=1m/s2（常数）（常数）,初瞬时速度初瞬时速度v0=1.5m/s。 方向如图示方向如图示R=0.5m，r =0.3m。求：。求： 滑轮滑轮3s内的转数；内的转数；重物重物B在在3s内的行程；内的行程；重物重物B在在3s时的速度；时的速度；滑轮边上滑轮边上C点在初瞬时的加速度；点在初瞬时的加速度；滑轮边上滑轮边上C点在点在3s时的加速度。时的加速度。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院25212 rad/s0.5CaRarad/s35 .05 .1
20、 ,m/s5 .10RvvvCACw）常数（）21m/s ,CAaa解：解： 因为绳子不可以伸长，所以有因为绳子不可以伸长，所以有22011332318rad,2.86(222ttnw转 ）m4 .5183 .0rs m/s7 . 293 . 0wrvB）03239 rad/stwwa（理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院26 t = 0 时， 222201m/s ,0.534.5m/sCAnCaaaRw22222( )()14.54.61 m/s1tg0.222, 12.5 4.5nCCCCnCaaaaaqq t=3s 时，22221m/s ,0.5 940.5m/snC
21、ACaaaRw41. 1 ,0247. 051.401 tg,m/s51.405 .401222qqCa理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院27asinaRa2rad/s 504 . 030sin40sinRaRaa解：解：2220025502121,0ttttww225t转动方程例例 已知：圆轮已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，由静止开始作等加速转动，OM0.4m， 在在 某瞬时测得某瞬时测得30,m/s 402aMa求：求： 转动方程转动方程; t5s时，时，点的速度和点的速度和 法向加速度的大小。法向加速度的大小。M理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院28ttRvttM20504 . 0 ,50 0www222m/s250004 . 0100RvaMnM当当5s时，时，m/s100520MvM理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院29例试画出图中刚体上例试画出图中刚体上两点在图示位置时的速度和两点在图示位置时的速度和加速度。加速度。),(2121ABOOBOAO 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院30
