1、)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当一、线性方程一、线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2.
2、线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(xuC 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换 dxxPexuy)()( )(
3、 )( )( )( ),P x dxP x dxyu x eu xP x e代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解)()(xQyxPdxdy dxxPexuy)()(.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin
4、 Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1例例2 2 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy
5、 伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.二、伯努利方程二、伯努利方程时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式. )1)(
6、)()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy 1 12dzdydxdxy则,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解例例 3例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx ;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,
7、dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy ;1. 3yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程变形为方程变形为1.1.一阶线性方程一阶线性方程d( )( )dyP x yQ xx方法方法1 1 先解齐次方程先解齐次方程, ,再用
8、常数变易法再用常数变易法. .方法方法2 2 用通解公式用通解公式三、小结三、小结( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC( )( );P x dxyu x e令( )( );P y dyxu y e(或( )( )( )P y dyP y dyxeQ y edyC（或）d( )( )dxP y xQ yy或化为线性方程求解化为线性方程求解. .2. 2. 伯努利方程伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n;1zyn 令令d( )( )(0,1)dnxP y xQ y xny(或1);nxz(或思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin
9、2sincoscos 思考题解答思考题解答yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 1.判别下列方程类型判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离变可分离变量方程量方程xyxyxylndd齐次方程齐次方程221dd2xyxxy线性方程线性方程221dd2yx
10、yyx线性方程线性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利方伯努利方程程2. 求一连续可导函数求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0令令txu提示提示:uufxxfxd)(sin)(0则有则有xxfxfcos)()(0)0(f线性方程线性方程)esin(cos21)(xxxxf利用公式可求出利用公式可求出3. 设有微分方程设有微分方程, )(xfyy其中其中)(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件试求此方程满足初始条件00 xy的连续解的连续解.解解: 1) 先解初值问题先解初值问题10, 2xyy00 xy利用通解公式利用通解公式
11、, 得得xyde1dde2Cxx)e2(e1CxxxCe21利用利用00 xy得得21C故有故有) 10(e22xyx2) 再解初值问题再解初值问题1,0 xyy11e22) 1 ( yyx此齐次线性方程的通解为此齐次线性方程的通解为) 1(e2xCyx利用衔接条件得利用衔接条件得) 1(e22C因此有因此有) 1(e) 1(e2xyx3) 原问题的解为原问题的解为y10),e1 (2xx1,e) 1(e2xx) 10(e22xyx一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydx
12、dyxy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxdy练练 习习 题题三、设有一质三、设有一质的的量为量为m质点作直线运动从速度等于零质点作直线运动从速度等于零的时刻起的时刻起,有一个与运动方向一致有一个与运动方向一致,大小与时间成正大小与时间成正比比(比例比例1k系数为系数为)的力作用于它的力作用于它,此外还受此外还受一与速度成正比一与速度成正比(比例比例2k系数为系数为)的阻力作用的阻力作用,求质求质点运动的速度与时间的函数关系点运动的速度
13、与时间的函数关系 .四、四、 求下列伯努利方程的通解求下列伯努利方程的通解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1(3 dxxxyyxdy.五、五、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程方程, ,然后求出通解然后求出通解: :1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12. .六、六、 已知微分方程已知微分方程)(xgyy , ,其中其中 0,010,2)(xxxg, ,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy , ,满满足条件足条件0)0( y, ,且在区间且在区间),0 满足上述方程满足上述方程 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、xeCxysin)( ； 2 2、Cyyx 2lnln2； 3 3、2321yCyx . .二、二、1 1、15sincos xexy； 2 2、113322 xexxy. .三、三、)1(022121tmkekmktkkv . .四、四、1 1、Cxxy ； 2 2、)32(ln32322 xxCyx. .五、五、1 1、Cxyx 2)(2； 2 2、Cxxy 1sin1； 3 3、Cxxyxy 4)2sin(2. .六、六、 1,)1(210, )1(2)(xeexexyyxx. .
